23.6: Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas

Esta sección está destinada a ser informativa, ya que el material está más allá del alcance de este libro de texto. No obstante, vale la pena resumir lo que hemos aprendido sobre la electricidad y el magnetismo, como lo hizo Maxwell. Podemos resumir las principales leyes del electromagnetismo de la siguiente manera:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A &= \frac{Q}{\epsilon_0}&\text{(Gauss' Law)}\\ \oint \vec B\cdot d\vec A &= 0 &\text{(No magnetic monopoles)}\\ \oint \vec B\cdot d\vec l &= \mu_0 I^{enc} &\text{(Ampere's Law)}\\ \oint \vec E\cdot d\vec l &= -\frac{d}{dt}\int \vec B\cdot d\vec A &\text{(Faraday's Law)}\\\end{aligned}\] donde escribimos el flujo magnético en la Ley de Faraday usando explícitamente la integral. Como usted recuerda, la Ley de Gauss es equivalente a la Ley de Coulomb, relacionando el campo eléctrico con las cargas eléctricas que producen el campo eléctrico. Aunque no usamos explícitamente la segunda ecuación, es el equivalente a la Ley de Gauss para el campo magnético. El flujo del campo magnético fuera de una superficie cerrada siempre debe ser cero, ya que no hay monopolos magnéticos, de manera que las líneas de campo magnético nunca terminan.

Cuando cubrimos la Ley, solo consideramos una corriente estática como fuente del campo magnético. Sin embargo, si hay un campo eléctrico presente, que es creado por cargas que se mueven, entonces esas también pueden aportar una corriente a la Ley:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A &= \frac{Q}{\epsilon_0}\quad \text{(Gauss' Law)}\\ \therefore Q &= \epsilon_0 \oint \vec E\cdot d\vec A\\ \therefore I &= \frac{dQ}{dt} = \epsilon_0\frac{d}{dt} \oint \vec E\cdot d\vec A\\\end{aligned}\] así que esa es la Ley, en su forma más general, está escrita:\[\begin{aligned} \oint \vec B\cdot d\vec l &= \mu_0 \left(I^{enc}+\epsilon_0\frac{d}{dt} \oint \vec E\cdot d\vec A\right)\quad \text{(Ampere's Law)}\end{aligned}\] Escribiendo de nuevo las cuatro ecuaciones:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A &= \frac{Q}{\epsilon_0} &\text{(Gauss' Law)}\\ \oint \vec B\cdot d\vec A &= 0 &\text{(No magnetic monopoles)}\\ \oint \vec B\cdot d\vec l &= \mu_0 \left(I^{enc}+\epsilon_0\frac{d}{dt} \oint \vec E\cdot d\vec A\right) &\text{(Ampere's Law)}\\ \oint \vec E\cdot d\vec l &= -\frac{d}{dt}\int \vec B\cdot d\vec A &\text{(Faraday's Law)}\\\end{aligned}\] Estas cuatro ecuaciones se conocen como Maxwell ' y formar nuestra teoría más completa del electromagnetismo clásico. Es bastante interesante observar las similitudes y relaciones entre el campo eléctrico y magnético. Las ecuaciones de Maxwell contienen ecuaciones para la circulación y el flujo total de una superficie cerrada para ambos campos. La ley implica que un campo eléctrico cambiante producirá un campo magnético. La Ley de Faraday implica que un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico. Si una carga puntual oscila hacia arriba y hacia abajo, producirá un campo eléctrico cambiante, que producirá un campo magnético cambiante, que inducirá un campo magnético cambiante, etc. ¡Esto es precisamente lo que es una onda electromagnética! La luz que vemos, las señales wifi para nuestros preciosos teléfonos, la radiación altamente penetrante de los reactores nucleares son todos ejemplos de ondas electromagnéticas (de diferentes longitudes de onda).

De hecho, como lo hizo Maxwell, podemos obtener la ecuación de onda (Sección 14.2) a partir de las ecuaciones de Maxwell. Aquí esbozamos la derivación, pero definitivamente está más allá del alcance de este libro de texto. Sin embargo, estás tan cerca de ver una de las revelaciones más emocionantes de la física que ¡sería una pena saltarse!

Primero escribimos las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, como ya hemos demostrado para la Ley de Gauss (Sección 17.4) y la Ley de la Ley (Sección 22.3)\[\begin{aligned} \nabla \cdot \vec E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} &\text{(Gauss' Law)}\\ \nabla \cdot \vec B&= 0 &\text{(No magnetic monopoles)}\\ \nabla \times \vec B &= \mu_0 \left(\vec j + \epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\right) &\text{(Ampere's Law)}\\ \nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t} &\text{(Faraday's Law)}\\\end{aligned}\] Si consideramos una región de vacío en el espacio, sin cargas y sin corrientes, estas ecuaciones se reducen a:\[\begin{aligned} \nabla \cdot \vec E &= 0 &\nabla \cdot \vec B&= 0\\ \nabla \times \vec B &= \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} & \nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t}\end{aligned}\] Haremos uso de la siguiente identidad de cálculo vectorial:\[\begin{aligned} \nabla \times (\nabla \times \vec E)=\nabla(\nabla\cdot \vec E)-\nabla^2\vec E\end{aligned}\] donde:\[\begin{aligned} \nabla^2\vec E &= \frac{\partial^2 \vec E}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \vec E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec E}{\partial z^2}\\ &=\left(\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \right) \hat x+ \left( \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \right) \hat y \\ &+ \left(\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2} \right) \hat z\end{aligned}\] se llama el “vector Laplaciano”.

Considera tomar el curl (\(\nabla \times\)) de la ecuación que tiene el rizo del campo eléctrico (Ley de Faraday):\[\begin{aligned} \nabla \times \bigg(\nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t}\bigg)\\ \nabla(\nabla\cdot \vec E)-\nabla^2\vec E &= -\nabla \times \frac{\partial\vec B}{\partial t}\\ -\nabla^2\vec E &= - \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec B\\ -\nabla^2\vec E &= - \frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\\ -\nabla^2\vec E &= - \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2} \end{aligned}\] donde, en la tercera línea, hicimos uso de la Ley de Gauss (\(\nabla \cdot \vec E=0\)), y, en la cuarta línea, la Ley de Ampere (\(\nabla \times \vec B = \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\)). La última ecuación que obtuvimos es una ecuación vectorial (el vector Laplaciano tiene tres componentes, al igual que la derivada del tiempo\(\vec E\) en el lado derecho). Considera el\(x\) componente de esta ecuación:\[\begin{aligned} \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} &= \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} \end{aligned}\] Si definimos la cantidad:\[\begin{aligned} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\end{aligned}\] entonces, el\(x\) componente de la ecuación se puede escribir como:\[\begin{aligned} \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} &= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} \end{aligned}\] que es exactamente la ecuación de onda para el componente\(E_x\),, del eléctrico campo, propagándose con una velocidad,\(c\), ¡la velocidad de la luz! Así, la velocidad de la luz está directamente relacionada con la constante\(\epsilon_0\), y\(\mu_0\). Puedes escribir ecuaciones similares para\(z\) los componentes\(y\) y del campo eléctrico, y encontrar las ecuaciones similares para el campo magnético si comienzas tomando el rizo de la Ley de's en lugar de la Ley de Faraday.

Acabamos de demostrar que los campos eléctricos y magnéticos pueden comportarse como ondas, que ahora entendemos que son las ondas que son responsables de la luz, las ondas de radio, los rayos gamma, la radiación de infrarrojos, etc. Todos estos son tipos de ondas electromagnéticas, con diferentes frecuencias. Aunque no lo demostramos, las ondas electromagnéticas que se propagan son tales que los vectores de campo magnético y eléctrico son siempre perpendiculares entre sí. Las ondas electromagnéticas también transportan energía. Así, una carga que esté oscilando (digamos en un resorte) y creando una onda electromagnética necesariamente debe estar perdiendo energía (o se debe trabajar para mantener la carga oscilando con la misma amplitud). Por último, cabe señalar que, según la Mecánica Cuántica, la luz (y las otras frecuencias de radiación), son realmente transportadas por partículas llamadas “fotones”. Esas partículas son extrañas, ya que su propagación se describe mediante una ecuación de onda.