23.7: Resumen

Claves para llevar

La Ley de Faraday conecta un flujo magnético cambiante a un voltaje inducido:\[\begin{aligned} \Delta V = -\frac{d\Phi_B}{dt}\end{aligned}\] El flujo magnético,\(\Phi_B\), se calcula como el flujo del campo magnético a través de una superficie abierta,\(S\):\[\begin{aligned} \Phi_B = \int_S \vec B\cdot d\vec A\end{aligned}\] El voltaje inducido,\(\Delta V\), es el potencial diferencia que se induce a lo largo de la trayectoria cerrada (un “bucle”) que delimita la superficie,\(S\). Si una carga,\(q\), fuera a moverse por ese camino cerrado, ganaría (o perdería) energía,\(q\Delta V\). Tenga en cuenta que la diferencia de potencial que se induce corresponde a una fuerza eléctrica no conservadora, ya que una carga puede ganar/perder energía al moverse a lo largo de una trayectoria cerrada. El voltaje inducido a menudo se denomina fuerza electromotriz inducida (emf), incluso si es un voltaje.

El signo menos en la Ley de Faraday es en algún momento referido como “Ley Lenz'a”, ya que indica en qué dirección estará el voltaje inducido. Es más fácil pensar en la ruta cerrada como un cable físico (por ejemplo, un bucle de cable) a través del cual se inducirá una corriente como resultado del voltaje inducido. El signo menos es más fácil de interpretar en términos de la dirección relativa entre el vector de área utilizado para definir el flujo, y el vector de momento dipolo magnético\(\vec \mu\), asociado a la corriente inducida (que apunta en la misma dirección que el campo magnético que es producido por el inducido actual).

Al calcular el flujo del campo magnético, el vector del elemento superficial\(d\vec A\), debe ser perpendicular a la superficie a través de la cual se calcula el flujo, lo que conduce a dos posibles elecciones. Una vez que se hace una elección, y se ha aplicado la Ley de Faraday, el signo de\(\Delta V\) indicará si el momento dipolo magnético de la corriente inducida apunta en la misma dirección que\(d\vec A\) (positiva\(\Delta V\)) o en la dirección opuesta (negativa \(\Delta V\)).

Si\(N\) los bucles de cable se combinan juntos en una bobina, los voltajes a través de cada bucle se suman juntos, de modo que el voltaje inducido a través de la bobina viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta V = -N\frac{d\Phi_B}{dt}\end{aligned}\]

La Ley de Lenz es una declaración sobre la conservación de la energía. En efecto, la corriente inducida debe crear un campo magnético que se oponga al cambio de flujo, de lo contrario, la corriente inducida crecería indefinidamente. La Ley de Lenz se puede resumir de la siguiente manera:

• Si la magnitud del flujo magnético está aumentando en el bucle, entonces la corriente inducida produce un campo magnético que está en la dirección opuesta al campo magnético original.
• Si la magnitud del flujo magnético está disminuyendo en el bucle, entonces la corriente inducida produce un campo magnético que está en la misma dirección que el campo magnético original.

Se induce una tensión a lo largo de una trayectoria cerrada cada vez que cambia el flujo del campo magnético a través de la superficie correspondiente. El flujo puede cambiar ya sea porque el campo magnético está cambiando, o porque el bucle está cambiando (en tamaño u orientación en relación con el campo magnético). En este último caso (bucle cambiante), se habla de una “emf mocional”. Un generador crea una emf móvil al rotar una bobina (con\(N\) bucles, cada uno con área,\(A\)), dentro de un campo magnético uniforme fijo,\(\vec B\). El voltaje producido por un generador viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta V = NAB\omega\sin(\omega t)\end{aligned}\] donde\(\omega\) esta la velocidad angular de la bobina. Un generador produce así voltaje/corriente alterna. La corriente que se induce en la bobina del generador disipará la energía a medida que fluye a través de una resistencia,\(R\). Por lo tanto, se debe hacer un trabajo para que el generador siga girando. La corriente inducida en la bobina del generador también dará como resultado un momento magnético, y se ejercerá un “par contador” sobre la bobina. Por lo tanto, se debe ejercer un par para mantener el generador girando (y el trabajo realizado al ejercer ese par se convierte en la energía eléctrica disipada en la resistencia). El contrapar en el generador siempre está en la misma dirección, y tiene una magnitud:\[\begin{aligned} \tau = \frac{NA^2B^2\omega\sin^2(\omega t)}{R}\end{aligned}\]

Cuando se utiliza un motor eléctrico, se induce una “fuerza electromotriz” en la bobina del motor. El back emf es tal que resiste la dirección de la corriente (Ley de Lenz), o bien el motor giraría infinitamente rápido. A medida que el motor gira más rápido, la fuerza electromotriz posterior crece, hasta alcanzar un equilibrio. Por lo tanto, los motores consumen una gran corriente cuando arrancan por primera vez, ya que a baja velocidad, no tienen fuerza electromotriz trasera.

Dado que un flujo magnético cambiante induce una tensión, también se induce un campo eléctrico. Podemos sustituir el voltaje en la Ley de Faraday con la circulación del campo eléctrico para escribir una versión más general de la Ley de Faraday:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec l &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\end{aligned}\] El campo eléctrico inducido forma líneas de campo cerradas, y es diferente al campo eléctrico que se produce por cargas estáticas, ya que este último tendrá campo líneas que comienzan y terminan con cargos. La fuerza asociada al campo eléctrico inducido no es conservadora.

Cuando un objeto metálico pasa a través de una región de campo magnético, el campo eléctrico inducido inducirá bucles de corriente en el material llamado corrientes parásitas. El campo magnético también ejercerá una fuerza sobre estas corrientes parásitas para oponerse al movimiento que está creando las corrientes (Ley de Lenz); a medida que las corrientes parásitas disipan la energía eléctrica en el material, el objeto metálico debe perder energía cinética a menos que una fuerza esté actuando sobre él. Los frenos magnéticos hacen uso de este principio.

Los transformadores se utilizan para convertir una tensión alterna,\(\Delta V_p\), en una tensión alterna diferente,\(\Delta V_s\). Una bobina “primaria”, con\(N_p\) devanados, crea un flujo magnético cambiante que es guiado (por ejemplo, por un núcleo de hierro) a una bobina “secundaria”, con\(N_s\) devanados. El voltaje inducido en la bobina secundaria viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta V_s &= \frac{N_p}{N_s}\Delta V_p\end{aligned}\]

Las cuatro ecuaciones de Maxwell forman nuestra mejor teoría clásica del electromagnetismo. Esas ecuaciones implican que un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico (Ley de Faraday), mientras que un campo eléctrico cambiante puede producir un campo magnético (Ley de Faraday). Al combinar la ecuación de Maxwell (con algunos cálculos vectoriales pesados), se puede demostrar que esto conduce a la formación de ondas electromagnéticas, que se propagan con una velocidad,\(c\), dada por:\[\begin{aligned} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\end{aligned}\]

Ecuaciones Importantes

Flujo magnético:

\[\begin{aligned} \Phi_B = \int_S \vec B\cdot d\vec A\end{aligned}\]

Ley de Faraday:

\[\begin{aligned} \Delta V = -N\frac{d\Phi_B}{dt}\end{aligned}\]

Ley de Faraday:

\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec l &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\end{aligned}\]

Voltaje producido por un generador:

\[\begin{aligned} \Delta V = NAB\omega\sin(\omega t)\end{aligned}\]

Par de contratorsión en un generador:

\[\begin{aligned} \tau = \frac{NA^2B^2\omega\sin^2(\omega t)}{R}\end{aligned}\]

Tensión secundaria en un transformador:

\[\begin{aligned} \Delta V_s &= \frac{N_p}{N_s}\Delta V_p\end{aligned}\]