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24.3: Dilatación del Tiempo

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    Einstein era famoso por sus “experimentos de pensamiento”, que nos permiten entender las consecuencias de una teoría realizando experimentos pensativos que no serían prácticos de llevar a cabo realmente (como el experimento con Alice y Brice descrito anteriormente, que sería poco práctico de llevar a cabo, ya que la velocidad de la luz es tan alta que Brice nunca notaría que el reloj\(A\) emitía el pulso un poco antes).

    Imagínese que construimos un reloj utilizando un pulso de luz viajando (oscilando) de un lado a otro entre dos espejos, separados por una distancia,\(L\), como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Un reloj se realiza al tener un pulso de luz que rebota hacia adelante y hacia atrás entre dos espejos paralelos separados por una distancia,\(L\).

    Dado que la velocidad de la luz es\(c\),, el tiempo que tardará el pulso de luz en viajar de un lado a otro entre los dos espejos, es decir, el periodo del reloj, viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta t = \frac{2L}{c}\end{aligned}\] donde la velocidad de la luz,\(c\), viene dada por la distancia total recorrida por el pulso de luz dividida por el tiempo que se tarda en hacerlo:\[\begin{aligned} c=\frac{2L}{\Delta t}\end{aligned}\] Ahora, imagina colocar este reloj en una nave espacial que viaja con velocidad\(v\),, perpendicular a la dirección del movimiento de la luz. El reloj se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\), visto desde el suelo.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Un reloj se realiza al tener un pulso de luz que rebota hacia adelante y hacia atrás entre dos espejos paralelos separados por una distancia,\(L\). Cuando el reloj se coloca en una nave espacial que se mueve con velocidad,\(v\), la luz recorre una distancia más larga antes de completar un ciclo completo, como lo observa alguien que no viaja con el reloj.

    Desde la perspectiva de una persona que ve pasar el reloj, el pulso de luz recorre una distancia mayor en un periodo de reloj, ya que los espejos se mueven hacia la derecha a medida que el pulso de luz se mueve hacia arriba y hacia abajo. No obstante, para el segundo postulado de Einstein, el pulso de luz aún debe viajar con la misma velocidad\(c\), por lo que debe tomar el pulso de luz más tiempo para rebotar entre los dos espejos que cuando el reloj está en reposo. Determinemos la relación entre el periodo del reloj,\(\Delta t\), medido cuando el reloj está en reposo, y el periodo del reloj\(\Delta t'\),, medido por un observador que ve pasar el reloj con velocidad,\(v\).

    A un observador que ve pasar el reloj con velocidad,\(v\), la velocidad del pulso de luz, que también debe ser igual a\(c\), viene dada por:\[\begin{aligned} c&=\frac{2\sqrt{L^2+\left(\frac{v\Delta t'}{2}\right)^2}}{\Delta t'}\end{aligned}\] donde la distancia en el numerador fue encontrada simplemente por el teorema de Pitágoras, ya que la nave espacial recorrerá una horizontal distancia,\(v\Delta t'\), medida por el observador que no se mueve con la nave espacial. Al cuadrar esta relación, podemos aislar el periodo del reloj,\(\Delta t'\), medido por el observador que ve al reloj moverse con velocidad,\(v\):\[\begin{aligned} c^2&=\frac{4L^2}{\Delta t'^2}+v^2\\ \Delta t'^2 (c^2-v^2)&=4L^2\\ \therefore \Delta t' &= 2L\frac{1}{\sqrt{c^2-v^2}}=\frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{aligned}\] Tenga en cuenta que el término\(2L/c\),, es simplemente el período del reloj medido en un marco de referencia donde el reloj está estacionario. Así, podemos relacionar los dos periodos de reloj:

    \[\Delta t^{'}=\Delta t\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\]

    Reiterar: el periodo del reloj\(\Delta t'\), como se mide en un marco de referencia que se mueve con relación al reloj es más largo que el periodo del reloj,\(\Delta t\), medido en el “cuadro de descanso” del reloj (el marco de referencia donde el reloj está estacionario). A este efecto le llamamos “dilatación del tiempo”, y no es sólo alguna curiosidad matemática. El reloj que imaginamos con un pulso de luz es un reloj real que en realidad se podría construir; podríamos usarlo para medir el tiempo. Ese reloj parecerá marcar más lento si se está moviendo. El tiempo pasa más lento en un marco de referencia móvil. Si una persona sube a un barco que se mueve, esa persona envejecerá a un ritmo más lento que una persona que permaneció en la Tierra. Al viajar a altas velocidades, efectivamente viajas hacia el futuro, como se observa en la Tierra. La ecuación anterior nos permite relacionar la cantidad de tiempo que pasó en un marco de referencia con la cantidad de tiempo que pasó en un marco de referencia diferente.

    Definimos el tiempo que se mide en reposo como el “tiempo adecuado”. En nuestro ejemplo,\(\Delta t\), es el tiempo adecuado (periodo propio) para el reloj, ya que se define en un marco de referencia donde el reloj está en reposo. El “tiempo dilatado”,\(\Delta t'\), se mide en un marco de referencia que se mueve con relación al reloj.

    El factor por el cual se dilata el tiempo aparece a menudo en Relatividad Especial, y se llama factor gamma:

    \[\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\]

    Como corolario de los postulados de Einstein, veremos que nada puede superar nunca la velocidad de la luz en el vacío. El factor gamma siempre es mayor que 1, ya que\(v\) (la velocidad entre los dos diferentes marcos inerciales de referencia), siempre debe ser menor que\(c\). También puede reconocer que el factor gamma apareció en nuestro ejemplo introductorio con la fuerza entre dos cables. Aquí, derivamos el factor gamma a partir de consideraciones cinemáticas, mientras que en el ejemplo con los dos cables, salió directamente de las ecuaciones para electromagnetismo.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Qué es gamma para una velocidad de\(v=0.75c\)?

    1. \(1.51\)
    2. \(0.75\)
    3. \(75\)
    4. \(1.68\)
    Responder

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Qué velocidad corresponde,\(v\), to a gamma factor of \(2.5\)?

    1. \(v=2.5c\)
    2. \(v=0.92c\)
    3. \(v=0.25c\)
    4. \(v=0.47c\)
    Responder

    La dilatación en el tiempo es un efecto real que se ha observado, por ejemplo al colocar relojes atómicos de alta precisión en un avión para observar que su período se ralentiza. Otro ejemplo de dilatación del tiempo es el hecho de que observamos muchas partículas llamadas muones en la superficie de la Tierra. Los muones son muy similares a los electrones, excepto que tienen una masa mayor, y que son inestables (desintegran radiactivamente en un electrón y neutrinos, después\(2.2\mu \text{s}\) en promedio). Los muones se producen en grandes cantidades cuando los rayos cósmicos (partículas de alta energía del exterior de nuestro Sistema Solar) golpean las moléculas en nuestra atmósfera superior, a altitudes de decenas de kilómetros. A medida que los muones viajan hacia abajo hacia la Tierra, se descomponen.

    Supongamos que los muones se producen viajando a la velocidad de la luz; en ese caso, recorrían una distancia\(d=(3\times 10^{8}\text{m/s})(2.2\times 10^{-6}\text{s})=(660\text{m})\), en promedio, antes de descomponerse. Sin embargo, los muones se producen decenas de kilómetros sobre la superficie de la Tierra, viajan más despacio que la velocidad de la luz, y sin embargo, somos capaces de detectar muchos muones en la superficie de la Tierra. Esperaríamos que todos los muones hubieran decaído antes de llegar a la superficie de la Tierra.

    Esto lo podemos entender en términos de dilatación temporal; en el marco de referencia del muón, el muón decae después\(\Delta t=2.2\mu\text{s}\). En un marco de referencia a partir del cual el muón parece moverse con velocidad,\(v\), el “reloj” que mide cuánto tiempo ha existido el muón marca más lento. Así, desde la Tierra, observamos que el muón tarda más que en\(2.2\mu\text{s}\) descomponerse, dándole tiempo para llegar a la superficie de la Tierra.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un muón viaja con una velocidad de\(0.9c\) as observed from the surface of the Earth. As measured in the frame of reference of the Earth, how far has the muon traveled after \(2.2\mu\text{s}\) have elapsed in the muon’s frame of reference?

    Solución:

    El muón está viajando con una velocidad\(v=0.9c\) relativa a la Tierra, así el factor gamma viene dado por:\[\begin{aligned} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0.9^2}}=2.29\end{aligned}\] La cantidad de tiempo que pasa en el marco de referencia de la Tierra\(\Delta t\),, cuando\(\Delta t'=2.2\mu\text{s}\) ha pasado en el marco de referencia del muón será dilatada por el factor gamma. \(\Delta t'\)es el tiempo adecuado en los marcos de referencia muones, que corresponde a un tiempo más largo en el marco de referencia de la Tierra:\[\begin{aligned} \Delta t = \gamma \Delta t' = (2.29)(2.2\mu\text{s})=5.0\mu\text{s}\end{aligned}\] En el marco de referencia de la Tierra, el muón ha recorrido una distancia:\[\begin{aligned} d' = v\Delta t'=(0.8c)(5.0\mu\text{s})=1350\text{m}\end{aligned}\]

    Discusión:

    En este ejemplo, vemos que un objeto, como un muón, que viaja con una velocidad que es 90 por ciento de la velocidad de la luz tendrá un factor gamma alrededor de 2. Así, a partir del marco de referencia de la Tierra, parece que los muones “envejecen” a aproximadamente la mitad de la velocidad a la que se observaría al muón para envejecer si se mueve junto con el muón. Este es el mecanismo que permite que los muones existan mucho más tiempo que\(2.2\text\mu\text{s}\) cuando viajan en relación con la Tierra.

    También, en el marco de referencia de la Tierra, los muones recorren una distancia de\(1350\text{m}\) en el periodo de tiempo entre ser producidos y en descomposición. En el marco de referencia del muón, sólo\(2.2\mu\text{s}\) transcurren a medida que la Tierra se acerca al muón, a la misma velocidad. En el marco de referencia del muón, la Tierra ha recorrido una distancia:\[\begin{aligned} d' = v\Delta t=(0.9c)(2.2\mu\text{s})=594\text{m}\end{aligned}\] Así, como se ve desde el marco de referencia del muón, la distancia que recorrió entre ser producida y en descomposición es aproximadamente la mitad de la distancia medida en el marco de referencia de la Tierra. Esto se llama “contracción de longitud” y es una consecuencia necesaria de la dilatación del tiempo.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Una nave espacial que transporta a tu amiga Alice se aleja a una velocidad de\(0.99c\) towards the nearest star, Proxima Centauri, a distance of \(4.2\text{ly}\) (light-years) away. How much time does the trip take as measured by Alice?

    Solución:

    ¿Hasta dónde ha viajado la nave espacial, según Alice? El viaje de Alice se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\), mostrando el viaje visto desde el marco de referencia de la Tierra y de Alicia.

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Alicia viaja en una nave espacial desde la Tierra hasta la estrella Próxima Centauri. En el marco de referencia de la Tierra, la estrella está\(4.2\text{ly}\) lejos.

    En el marco de referencia de la Tierra, la nave espacial recorre una distancia de\(4.2\text{ly}\) a una velocidad de\(0.99c\), lo que llevará un tiempo,\(\Delta t'\), dado por:

    \[\begin{aligned} \Delta t^{'}=\frac{(4.21\text{ly})}{(0.99c)}=4.2\text{y} \end{aligned}\]

    lo cual no es de extrañar, ya que Alice viaja casi a la velocidad de la luz. Este es el tiempo que pasa en el planeta Tierra. Dado que la nave espacial de Alice se está moviendo, pasará menos tiempo en la nave espacial, ya que\(4.2\text{y}\) es el tiempo dilatado medido en la Tierra, no el tiempo adecuado medido por Alice. Primero, determinamos el factor gamma:\[\begin{aligned} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0.99^2}}=7.1\end{aligned}\] El tiempo adecuado medido por Alice es: Es\[\begin{aligned} \Delta t = \frac{\Delta t'}{\gamma}=\frac{(4.2\text{y})}{(7.1)}=0.6\text{y}\end{aligned}\] decir, Alice solo envejece por\(0.6\text{y}\) (alrededor de 7 meses), mientras que todos en la Tierra envejecen\(4.2\text{y}\)!

    En el marco de referencia de Alice, ella no se mueve, y Próxima Centauri se mueve hacia ella a una velocidad de\(0.99c\). Dado que su viaje sólo dura alrededor de 7 meses (\(0.6\text{y}\)), Próxima Centauri se mueve hacia ella por una distancia,\(L'\):\[\begin{aligned} L'=(v)(\Delta t)=(0.99c)(0.6\text{y})=0.6\text{ly}\end{aligned}\] como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Así, Alice concluye que la distancia entre la Tierra y Próxima Centauri es sólo\(0.6\text{ly}\) en lugar de\(4.2\text{ly}\). La distancia que observa se contrae en comparación con la “distancia adecuada” entre la Tierra y Próxima (la distancia medida cuando estamos en reposo en relación con la Tierra y Próxima).

    Discusión:

    En este ejemplo vimos, nuevamente, cómo el tiempo que se mide depende del marco de referencia. En particular, si se pueden construir naves espaciales que se acerquen a la velocidad de la luz, se pueden recorrer grandes distancias en el Universo sin envejecer mucho. También vimos que la contracción de la longitud es un corolario necesario para la dilatación del tiempo. Los objetos aparecen contraídos cuando se mueven, con relación a su longitud cuando se miden en reposo (su “longitud de reposo” o su “longitud adecuada”).

    Un tema interesante descubierto por el Ejemplo 24.3.2 es la llamada “paradoja del gemelo”. Imagina que Alice tiene un hermano gemelo, Brice, que permanece en la Tierra. Alice viaja a Próxima Centauri y regresa (viaje de regreso), y habrá envejecido por unos\(14\) meses, mientras que Brice, habrá envejecido por aproximadamente\(8.4\) años (usando los números del Ejemplo 24.3.2). Sin embargo, el primer postulado de Einstein implica que no hay marcos especiales de referencia que estén en reposo. Deberíamos poder pensar en esta situación desde la perspectiva en la que Alice está en reposo, y es la Tierra (con Brice en ella), la que se aleja de ella y luego vuelve. En este caso, Alice está en reposo, y concluirá que Brice tardará unos\(8.4\) años en alejarse y regresar, y que Brice habría envejecido unos\(7\) meses. Cuando Alice y Brice se encuentran de nuevo, claramente Alice no puede ser tanto más joven como mayor que Brice, entonces, ¿cuál es? (Tendrás que buscar esto, ver pregunta asociada en la sección “Pensando en el material”).


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