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24.4: Contracción de Longitud

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    Como vimos en los ejemplos de la sección anterior, la dilatación del tiempo implica “contracción de longitud”. Cuando un objeto se mide en un marco de referencia que está en reposo relativo al objeto, la longitud del objeto\(L\), se denomina “longitud de reposo” o la “longitud apropiada” del objeto. Si ese objeto se mueve en relación con un observador, el observador medirá el objeto para que sea más corto, y tendrá una “longitud contraída”\(L'\), dada por:

    \[L'=L\sqrt{a-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{L}{\gamma}\]

    En el Ejemplo 24.3.2, Alice midió una distancia contraída entre la Tierra y Próxima Centauri, ya que se encontraba en un marco de referencia que se mueve en relación con el marco de referencia Tierra-Próxima Centauri. Un punto que es importante tener en cuenta es que la contracción de la longitud solo ocurre a lo largo de la dirección paralela a la dirección del movimiento.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Una pintura cuadrada que cuelga en un museo tiene un lado con una longitud de\(1\text{m}\). If you view the stationary painting from a train moving in the horizontal direction at a speed of \(0.85c\), what is the surface area of the painting that you measure?

    Solución:

    Dado que tu tren se mueve horizontalmente, solo se contrae la dimensión horizontal de la pintura. El factor gamma viene dado por:\[\begin{aligned} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0.85^2}}=1.9\end{aligned}\] Así, el lado horizontal de la pintura tendrá una longitud contraída:\[\begin{aligned} L'=\frac{L}{\gamma}=\frac{(1\text{m})}{(1.9)}=0.53\text{m}\end{aligned}\] El área de la pintura, medida en el marco de referencia móvil, viene dada por:\[\begin{aligned} A= (1\text{m})(0.53\text{m})=0.53\text{m}^{2}\end{aligned}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Qué velocidad debe viajar un objeto para que aparezca\(1\)% shorter

    1. \(0.01c\)
    2. \(0.04c\)
    3. \(0.99c\)
    4. \(0.65c\)
    Responder

    La contracción de la longitud también nos permite discutir una famosa paradoja (la paradoja del “granero”, o de la “escalera” o del “granero”). Considera un tren que tenga una longitud de descanso de\(500\text{m}\), viajando a una velocidad tal que\(\gamma = 2.5\). A medida que pasa el tren, desde la Tierra, parece tener una longitud (contratada):\[\begin{aligned} L'_{train}=\frac{(500\text{m})}{2.5}=200\text{m}\end{aligned}\]

    Supongamos que hay un túnel en la Tierra que es exactamente\(200\text{m}\) largo, para que el tren, cuando se contraiga, cabrá en el túnel. Cuando pasa el tren, un operador cierra brevemente (y vuelve a abrir) las puertas en los extremos del túnel, “capturando” brevemente el tren, y como el tren está contratado, nunca golpea ninguna de las puertas, y todo está bien.

    Desde el marco de referencia del tren, el tren tiene una longitud adecuada de\(500\text{m}\), y el túnel se contrae a una longitud de:\[\begin{aligned} L'_{tunnel}=\frac{(200\text{m})}{(2.5)}=80\text{m}\end{aligned}\] Así, desde la perspectiva del tren, si las puertas del túnel están cerradas, no hay forma de que el tren\(500\text{m}\) largo pueda caber alguna vez en el \(80\text{m}\)túnel largo, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Entonces, ¿qué sucede cuando el operador en la Tierra cierra las puertas del túnel para “capturar” brevemente el tren?

    clipboard_e6e3e76bae775a952ba4d0a69a4594f93.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): En el marco de referencia del suelo, el tren contraído parece encajar dentro del túnel. Desde el tren, el tren (longitud adecuada) no cabrá en el túnel contratado.

    Claramente, la gente en la Tierra y la gente del tren tienen que ponerse de acuerdo sobre si el tren fue destruido por las puertas del túnel. El operador en la Tierra puede cerrar claramente ambas puertas del túnel cuando el tren está dentro y no destruir el tren. De ahí que la gente en el tren deba estar de acuerdo en que el tren nunca chocó con las puertas, y que las puertas estaban cerradas. La respuesta a esta paradoja radica en que la simultaneidad es relativa. La operadora del túnel cree que ha cerrado las dos puertas del túnel exactamente al mismo tiempo, precisamente cuando el tren contratado está alineado con el túnel. No obstante, a las personas en el tren, en un marco de referencia diferente, las puertas no cerraron al mismo tiempo, ya que los eventos que son simultáneos en un marco de referencia no son necesariamente simultáneos en un marco de referencia diferente. A la gente del tren, nunca hubo un momento en que el tren estuviera en el túnel y ¡ambas puertas estaban cerradas al mismo tiempo!

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    En referencia a la paradoja anterior, a las personas en el tren, ¿qué puerta del túnel cierra primero?

    1. La puerta a la entrada del túnel se cierra primero.
    2. La puerta a la salida del túnel se cierra primero.
    Responder


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