25.7: Problemas y soluciones de la muestra

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es el vector de desplazamiento de una posición\((1,2,3)\) a otra\((4,5,6)\)?
¿Qué ángulo hace ese vector de desplazamiento con el\(x\) eje?

Responder

a. El vector de desplazamiento viene dado por:\[\begin{aligned} \vec d = \begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}\end{aligned}\]

b. Podemos encontrar el ángulo que este vector hace con el\(x\) eje tomando el producto escalar del vector de desplazamiento y el vector unitario en la\(x\) dirección (1,0,0):\[\begin{aligned} \hat x \cdot \vec d = (1)(3)+(0)(3)+(0)(3) = 3\end{aligned}\] Esto es igual al producto de la magnitud de\(\hat x\) y \(\vec d\)multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos:\[\begin{aligned} \hat x \cdot \vec d &= ||\hat x||||\vec d||\cos\theta = (1)(\sqrt{3^2+3^2+3^2})\cos\theta= \sqrt{27}\cos\theta\\ 3 &= \sqrt{27}\cos\theta\\ \therefore \cos\theta &= \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \theta&=54.7^{\circ}\end{aligned}\]