26.4: Resumen

Claves para llevar

La derivada de una función,\(f(x)\), con respecto a\(x\) puede escribirse como:\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} f(x)=\frac{df}{dx}=f'(x)\end{aligned}\] y mide la tasa de cambio de la función con respecto a\(x\). La derivada de una función es generalmente en sí misma una función. La derivada se define como:\[\begin{aligned} f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\end{aligned}\] Gráficamente, la derivada de una función representa la pendiente de la función, y es positiva si la función está aumentando, negativa si la función es decreciente y cero si la función es plana. Las derivadas siempre se pueden determinar analíticamente para cualquier función continua.

Una derivada parcial mide la tasa de cambio de una función multivariada,\(f(x,y)\), con respecto a una de sus variables independientes. La derivada parcial con respecto a una de las variables se evalúa tomando la derivada de la función con respecto a esa variable mientras se tratan todas las demás variables independientes como si fueran constantes. La derivada parcial de una función (con respecto a\(x\)) se escribe como:\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}\end{aligned}\] El gradiente de una función,\(\nabla f(x,y)\), es un vector en la dirección en la que esa función está aumentando más rápidamente. Está dado por:\[\begin{aligned} \nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\hat x + \frac{\partial f}{\partial y} \hat y\end{aligned}\]

Dada una función,\(f(x)\), su anti-derivada con respecto a\(x\),\(F(x)\), se escribe:\[\begin{aligned} F(x) = \int f(x) dx\end{aligned}\]\(F(x)\) es tal que su derivada con respecto a\(x\) es\(f(x)\):\[\begin{aligned} \frac{dF}{dx}=f(x)\end{aligned}\] La anti-derivada de una función sólo se define alguna vez hasta una constante,\(C\). Normalmente escribimos esto como:\[\begin{aligned} \int f(x) dx = F(x) + C\end{aligned}\] ya que la derivada de también\(F(x) +C\) será igual a\(f(x)\). El anti-derivado también se llama la “integral indefinida” de\(f(x)\).

La integral definida de una función\(f(x)\), entre\(x=a\) y\(x=b\), se escribe:\[\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx\end{aligned}\] y es igual a la diferencia en el anti-derivado evaluado en\(x=a\) y\(x=b\):\[\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\end{aligned}\] donde la constante \(C\)ya no importa, ya que cancela. Las cantidades físicas sólo dependen alguna vez de integrales definidas, ya que deben determinarse sin una constante arbitraria.

Las integrales definidas son muy útiles en física porque están relacionadas con una suma. Dada una función\(f(x)\), se puede relacionar la suma de términos de la forma\(f(x_i)\Delta x\) en un rango de valores desde\(x=a\)\(x=b\) hasta la integral de\(f(x)\) sobre ese rango:\[\begin{aligned} \lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{i=N} f(x_{i-1}) \Delta x = \int_{x_0}^{x_N}f(x) dx=F(x_N) - F(x_0)=\end{aligned}\]