5.1: Bosones y Fermiones

Dos electrones en un pozo unidimensional

Hasta ahora, hemos utilizado la ecuación de Schrödinger para ver cómo una sola partícula, generalmente un electrón, se comporta en una variedad de potenciales. Si vamos a pensar en átomos distintos al hidrógeno, es necesario extender la ecuación de Schrödinger para que describa más de una partícula.

Como ejemplo sencillo de un sistema de dos partículas, consideremos dos electrones confinados al mismo pozo cuadrado infinito unidimensional,

\[ \begin{matrix} V(x) = 0,& -L/2 < x < L/2\\ V(x) = \infty & otherwise. \end{matrix} \label{5.1.1}\]

Para hacer las cosas aún más simples, supongamos que los electrones no interactúan entre sí, apagamos su repulsión electrostática. Luego, por analogía con nuestra construcción de la ecuación de Schrödinger para un solo electrón, podemos construir el análogo de dos electrones:

\[ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi(x_1,x_2,t)}{\partial x_1^2}-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi(x_1,x_2,t)}{\partial x_2^2}= E\Psi(x_1,x_2,t) \label{5.1.2}\]

dentro del pozo, con la función de onda yendo a cero para\(x_1\) o\(x_2\) igual a\(L/2\) o\(-L/2\).

Al mirar la Ecuación\ ref {5.1.2}, vemos que es lo mismo que la ecuación de Schrödinger para un solo electrón en un pozo cuadrado bidimensional, y así se puede resolver de la misma manera, por separación de variables. Por ejemplo, la función de onda que trazamos para el pozo rectangular bidimensional está en el caso cuadrado:

\[ \Psi_{(2,3)}(x_1,x_2,t)=A\sin \left( \dfrac{2\pi x_1}{L} \right)\cos \left( \dfrac{3\pi x_2}{L} \right)e^{-iEt/\hbar} \label{5.1.3}\]

tiene la misma energía

\[ E=\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\pi^2}{L^2} \left(2^2+3^2 \right) \label{5.1.4}\]

como la función de onda físicamente distinta:

\[ \Psi_{(3,2)}(x_1,x_2,t)=A\sin \left(\dfrac{2\pi x_2}{L} \right)\cos \left( \dfrac{3\pi x_1}{L} \right)e^{-iEt/\hbar} \label{5.1.5}\]

Interpretación de la función Onda

Ya hemos discutido cómo deben interpretarse las funciones de onda anteriores si se consideran como funciones de onda bidimensionales para un solo electrón:\(|\Psi(x_1,x_2)|^2 dx_1dx_2\) es la probabilidad de encontrar el electrón en un área pequeña\(dx_1dx_2\) en\((x_1,\, x_2)\).

La extensión natural de esta interpretación a dos electrones es asumir que ahora\(|\Psi(x_1,\,x_2)|^2 dx_1dx_2\) es la probabilidad conjunta de encontrar el electrón 1 en una pequeña longitud de línea\(dx_1\) en la posición\(x_1\), y al mismo tiempo encontrar el electrón 2 en una pequeña longitud\(dx_2\) en \(x_2\).

Esto, sin embargo, lleva a un problema real. Consideremos\(\ref{5.1.3}\) nuevamente la función de onda en Ecuación. Tomemos ahora puntos específicos,\(x_1 = 0,\; x_2= L/4\). Entonces la probabilidad de encontrar el electrón 1 en un intervalo infinitesimal at\(x_1\) y el electrón 2 de manera similar at\(x_2\) es cero, porque\(\Psi\) es cero at\(x_1= 0\). Por otro lado, la probabilidad de encontrar el electrón 2 at\(x_1= 0\) y el electrón 1 at no\(x_2 = L/4\) es cero.

El problema es este: los electrones son idénticos (suponemos que sus espines apuntan de la misma manera). No podemos decir cuál es cuál, y nadie más puede tampoco. La indistinguibilidad de las partículas elementales no es como la de objetos macroscópicos aparentemente idénticos, donde siempre se podría colocar alguna pequeña marca. No hay manera de marcar un electrón. Esto significa, sin embargo, que lo mejor que podemos hacer es hablar de la probabilidad de encontrar un electrón en\(x_1\) y otro en\(x_2\), no podemos especificar en qué electrón encontramos dónde. Por lo tanto, cualquier supuesta función de onda que dé diferentes probabilidades de encontrar el electrón 1 at\(x_1\), 2 at\(x_2\) y encontrar 2 at\(x_1\), 1 at no\(x_2\) es físicamente significativo.

Podemos formular la probabilidad de encontrar un electrón en\(x_1\) y otro en\(x_2\), pero no podemos especificar qué electrón específico encontramos en ninguna de las posiciones.

Es decir, una función de onda que describa dos partículas idénticas debe tener una distribución de probabilidad simétrica

\[ |\Psi(x_1,x_2)|^2=|\Psi(x_2,x_1)|^2 \label{5.1.6}\]

Este definitivamente no es el caso con nuestra función\(\Psi_{(2,3)}(x_1,x_2)\), así que aunque es una solución a la ecuación de Schrödinger de dos partículas (Ecuación\(\ref{5.1.2}\)), no es una función de onda físicamente significativa para dos partículas en una caja.

De hecho, esto no es difícil de arreglar, recordemos que la función\(\Psi_{(3,2)}(x_1,x_2)\) tiene la misma energía, y de hecho solo corresponde a que las dos partículas se cambien, es decir:

\[\Psi_{(3,2)}(x_1,x_2)=\Psi_{(2,3)}(x_2,x_1).\]

De ello se deduce que la función simétrica

\[ \Psi_{(2,3)}^S(x_1,x_2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\Psi_{(2,3)}(x_1,x_2) + \Psi_{(2,3)}(x_2,x_1)) \label{5.1.7A}\]

y la función antisimétrica

\[ \Psi_{(2,3)}^A(x_1,x_2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\Psi_{(2,3)}(x_1,x_2) - \Psi_{(2,3)}(x_2,x_1)) \label{5.1.7B}\]

son ambas soluciones a la ecuación de Schrödinger para la energía\(E\), y ambas satisfacen el requisito\(|\Psi(x_1,x_2)|^2=|\Psi(x_2,x_1)|^2\) necesario para partículas idénticas, por lo que estas son las funciones de onda candidatas apropiadas para las dos partículas en la caja unidimensional.

Bosones, fermiones y el principio de exclusión de Pauli

Resulta que tanto las funciones de onda simétricas como antisimétricas surgen en la naturaleza al describir partículas idénticas. De hecho, todas las partículas elementales son fermiones, que tienen funciones de onda multipartículas antisimétricas, o bosones, que tienen funciones de onda simétricas. Los electrones, protones y neutrones son fermiones; los fotones, las partículas a y los átomos de helio son bosones.

Es importante darse cuenta de que este requisito de simetría de la distribución de probabilidad, derivado de la verdadera indistinguibilidad de las partículas, tiene un gran efecto en la distribución de probabilidad, y, además, el efecto es muy diferente para fermiones y bosones. La forma más sencilla de ver esto es simplemente trazar\(|\Psi(x_1,x_2)|^2\) para las funciones de onda simétricas y antisimétricas, y compararlas.

Para el caso simétrico, la distribución de probabilidad (no normalizada) se ve así:

(La figura de tono gris es un mapa de contorno.)

El punto principal a tener en cuenta aquí es que la mayor probabilidad conjunta es la de encontrar las dos partículas juntas, cerca de (1,1) y (4,4). (Estos puntos reales dependen de la función de onda que elegimos inicialmente, por supuesto).

Ahora mira el caso antisimétrico:

La diferencia es dramática. Para la función de onda antisimétrica, es más probable que las partículas se encuentren lejos unas de otras. De hecho, hay cero probabilidad de que se encuentren en el mismo lugar, porque si\(\Psi(x_1,x_2)=-\Psi(x_2,x_1)\), obviamente\(\Psi(x,x)=0\). Una afirmación más general es que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico, porque si lo fueran, la función ondulada sería de la forma simétrica\(f(x_1)f(x_2)\), y no podría antisimetrizarse. Este es el principio de exclusión de Pauli —es la base de la tabla periódica, y consecuentemente de casi todo lo demás.

Principio de exclusión de Pauli

Dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico (es decir, el mismo conjunto de números cuánticos relevantes).

Quizás deberíamos enfatizar que estas funciones de onda se calcularon con la repulsión electrostática entre los electrones apagados. Eso no es lo que está manteniendo separados a los electrones, aunque aumentará la separación si se incluye. También debemos advertir contra una simple imagen clásica del principio Pauli, la idea de que dos cosas no pueden estar en el mismo lugar, después de todo, así que quizás no es de sorprender que dos electrones no puedan estar en el mismo estado. Dos electrones pueden estar en la misma función de onda espacial idéntica siempre que sus espines apunten de maneras opuestas. Además, dos bosones pueden estar en el mismo estado, y aunque eso quizás sea razonable para los fotones, es igualmente cierto para los átomos pesados. En la Condensación de Bose-Einstein, una gran cantidad de átomos ocupan el mismo estado cuántico. Esto sucede en líquido ⁴ Helio por debajo de aproximadamente dos kelvin, se convierte en un superfluido y fluye sin fricción. La condensación BE también se ha logrado con colecciones enfriadas por láser de grandes átomos en una trampa.