10.3: Amplitudes de Dispersión, Estados Encuadernados, Resonancias

Aproximaciones de baja energía para la matriz S

En esta sección, examinamos las propiedades de la matriz de dispersión de onda parcial\[ S_l(k)=1+2ikf_l(k) \label{10.3.1}\]

para valores complejos de la variable momentum\(k\). Por supuesto, los valores complejos generales de no\(k\) corresponden a la dispersión física, pero resulta que la dispersión de las ondas físicas a menudo se puede entender más simplemente en términos de singularidades dominantes en el\(k\) plano complejo.

Comenzamos con la compleja\(k\) conexión entre la dispersión (energía positiva) y los estados unidos (energía negativa). La forma asintótica de la función de onda\(l=0\) parcial en un experimento de dispersión es (de la conferencia anterior)\[ \frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-ikr}}{r}-\frac{S_0(k)e^{+ikr}}{r}\right) .\label{10.3.2}\]

Un estado\(l=0\) ligado tiene función de onda asintótica\[ \frac{Ce^{-\kappa r}}{r} \label{10.3.3}\]

donde\(C\) es una constante de normalización.

Observe que esto se asemeja a una “onda saliente” con impulso imaginario\(k=i\kappa\). Si continuamos analíticamente la función de onda dispersante de lo real\(k\) al plano complejo\(k\), obtenemos tanto las funciones de onda exponencialmente crecientes como decrecientes, sin tener ningún sentido físico. Pero hay una excepción a esta observación general: si la matriz de dispersión\(S_0(k)\) se vuelve infinita a algún valor complejo de\(k\), el término exponencialmente decreciente será infinitamente mayor que el término exponencialmente creciente. En otras palabras, solo tendremos una función de onda decreciente, un estado ligado. Sabemos que la energía de un estado ligado tiene que ser real y negativa, y también es igual a\(\hbar^2k^2/2m\), así que esto sólo puede suceder para\(k\) puro imaginario,\(k=i\kappa\).

Ahora bien, la existencia de un estado limitado de baja energía significa que la matriz\(S\) - tiene un polo (en el eje imaginario) cercano al origen, por lo que esto afectará fuertemente la dispersión de baja energía (cerca del origen, pero real\(k\)). Veamos cómo funciona eso utilizando la aproximación de baja energía discutida anteriormente. Recordemos que la amplitud de onda\(l=0\) parcial\[ f_0(k)=\frac{1}{k(\cot\delta_0(k)-i)}, \label{10.3.4}\]

y a baja energía\(\delta_0(k)=-ka\), por lo\[ f_0(k)=\frac{1}{k((-1/ka)-i)}=-\frac{1}{ik+1/a}, \label{10.3.5}\]

y\[ S_0(k)=1+2ikf_0(k)=-\frac{k+(i/a)}{k-(i/a)}. \label{10.3.6}\]

Tenga en cuenta que\(S\to 1\) como\(k\to 0\), como debería, desde\(\delta_0(k)=-ka\to 0\) y\(S_0(k)=e^{2i\delta_0(k)}\). Obsérvese también que esta aproximación da correctamente\(|S_0(k)|=1\).

Esto\(S_0(k)\) tiene un polo en el plano complejo en\(k=i/a\), y si esto corresponde a un estado ligado que tiene\(\kappa =1/a\), entonces la energía de enlace\(\hbar^2\kappa^2/2m=\hbar^2/2ma^2\). De hecho, sin embargo, nos encontramos con un problema aquí: obtenemos la misma forma de\(S_0(k)\) a bajas energías incluso para un potencial repulsivo, ¡que ciertamente no tiene un estado atado! El polo en\(S_0(k)\) solo significa que podemos tener una onda asintótica de la forma correcta, pero no garantiza que esta forma asintótica vaya sin problemas a un comportamiento no singular en el origen. Para un potencial repulsivo, es fácil ver que la función de onda de energía cero (o negativa) al integrarse desde el origen se inclina cada vez más pronunciadamente hacia arriba, por lo que nunca podría, con el aumento\(r\), pasar a la descomposición asintótica.

Rango Efectivo

La aproximación de baja energía anterior se puede escribir\[ k\cot\delta_0(k)\simeq -1/a. \label{10.3.7}\]

Ahora vamos a derivar una mejor aproximación,\[ k\cot\delta_0(k)\simeq -(1/a)+\frac{1}{2}r_0k^2, \label{10.3.8}\]

donde\(r_0\), llamado el “rango efectivo”, da alguna medida de la extensión del potencial (en contraste con\(a\), que, como hemos visto puede ser arbitrariamente grande, incluso para un potencial de corto alcance).

Una herramienta matemática útil necesaria en este punto es la Wronskian. Para dos funciones\(f(x)\),\(g(x)\) el Wronskian se define como\[ W(f,g)=fg'-f'g, \label{10.3.9}\]

el primo denota diferenciación como de costumbre. A partir de esto\(W'(f,g)=fg''-f''g\),, y si\(f(x), g(x)\) satisfacer la misma ecuación diferencial de segundo orden (como la ecuación de Schrödinger con la misma energía) entonces\(W'=0\), así\(W(f,g)\) es constante, independiente de\(x\).

Para la ecuación radial de Schrödinger, asintóticamente\[ u(k,r)\to C\sin(kr+\delta_0)≡v(k,r) \label{10.3.10}\]

donde ahora mostramos\(k\) explícitamente. Esta función asintótica\(v(k,r)\) satisface la ecuación de Schrödinger para el potencial cero, pero no tiene el comportamiento de límite físico correcto en\(r=0\).

Ya que en el límite de baja energía\(\delta_0(k)=-ka\), la función de onda\(k=0\) asintótica\[ v(0,r)=1-r/a \label{10.3.11}\]

(tomando\(C=1/sin\delta_0\)).

De la ecuación de Schrödinger\[ -u''(k,r)+(2mV(r)/\hbar^2)u(k,r)=k^2u(k,r) \label{10.3.12}\]

es fácil comprobar que el Wronskian de\(u(k,r)\) con la función de cero energía correspondiente\(u(0,r)\) satisface:\[ \frac{d}{dr}W[u(k,r),u(0,r)]=k^2u(k,r)u(0,r). \label{10.3.13}\]

(El término que involucra el potencial ha cancelado:\(dW/dr\) es distinto de cero aquí porque estas dos funciones no satisfacen la misma ecuación diferencial, los términos energéticos son diferentes).

Las funciones correspondientes\(v(k,r), v(0,r)\) satisfacen la misma ecuación wronskiana:\[ \frac{d}{dr}W[v(k,r),v(0,r)]=k^2v(k,r)v(0,r). \label{10.3.14}\]

Podemos encontrar una fórmula para el rango efectivo\(r_0\) integrando la diferencia entre estas dos ecuaciones desde\(r=0\) el infinito: las dos soluciones\(u,v\) difieren solo dentro del rango del potencial, y normalizándolas apropiadamente, luego tomando la diferencia, da una medida de esto gama.

Entonces\[ \begin{matrix} \{ W[v(k,r),v(0,r)]-W[u(k,r),u(0,r)]\}^{r=\infty}_{r=0} \\ =k^2\int_{0}^{\infty} [v(k,r)v(0,r)-u(k,r)u(0,r)] dr \end{matrix} \label{10.3.15}\]

Para\(r\) grandes,\(u(k,r)\to v(k,r)\), por lo que hay cero contribución desde el extremo superior. Para\(r\to 0\), las\(u\) funciones que se comportan correctamente van a cero, las\(v\) funciones son\[ v(k,r)=C\sin(kr+\delta_0) =\sin(kr+\delta_0)/sin\delta_0 \label{10.3.16}\]

de la cual, con\[ \delta_0(k)=-ka,\;\;  v(0,r)=1-r/a. \label{10.3.17}\]

de ello se deduce inmediatamente que\[ W[v(k,r),v(0,r)]_{r=0}=-\frac{1}{a}-k\cot\delta_0 \label{10.3.18}\]

y por lo tanto\[ k\cot\delta_0=-\frac{1}{a}+k^2\int_{0}^{\infty} [v(k,r)v(0,r)-u(k,r)u(0,r)] dr \label{10.3.19}\]

con un límite de baja energía\[ k\cot\delta_0=-\frac{1}{a}+\frac{1}{2}k^2r_0 \label{10.3.20}\]

donde\[ r_0=2\int_{0}^{\infty} [v^2(0,r)-u^2(0,r)] dr. \label{10.3.21}\]

Ahora, por definición\(u(0,r), v(0,r)\) coinciden fuera del rango del potencial, pero moviéndose de esa región hacia el origen, se desprenden de la compañía cuando el potencial entra en acción, con\(u\to 0\),\(v\to 1\) as\(r\to 0\). Por lo tanto, la integral anterior es una medida aproximada del rango real del potencial, aproximadamente la mitad del mismo (de ahí el factor\(2\) de definición\(r_0\)). Observe nuevamente el contraste con\(a\), que puede ser infinito para un potencial de corto alcance.

Dispersión de culombo y los estados unidos a átomos de hidrógeno

Un conjunto particular de estados unidos en un potencial en el que hemos pasado mucho tiempo son los estados del átomo de hidrógeno, y es interesante ver cómo se relacionan con la dispersión. Recordemos que la forma asintótica de la función de onda de estado ligado es:\[ R_{nl}(r)\sim r^n\frac{e^{-r/na_0}}{r}. \label{10.3.22}\]

Pero esto no tiene la forma de estado límite que encontramos arriba del argumento de continuación analítica, ¡hay un extra\(r^n\)! ¿Qué está pasando? El problema es que en todos nuestros trabajos anteriores, asumimos que si miramos lo suficientemente lejos del centro del potencial, la ecuación radial de Schrödinger podría tomarse como la de potencial cero, con cualquier precisión deseada. El potencial de Coulomb, sin embargo, no decae lo suficientemente rápido con la distancia para que esto sea cierto. Por ejemplo, tiene estados vinculados que tienen radios arbitrariamente grandes.

Redacción

\[ \kappa =\frac{1}{na_0}=\frac{me^2}{n\hbar^2} \label{10.3.23}\]

tenemos

\[ R_{nl}(r)\sim \frac{1}{r}e^{-\kappa r+(me^2/\hbar^2\kappa )\ln r}. \label{10.3.24}\]

Tenga en cuenta que el término extra en el exponente sigue creciendo, ¡sin límite! Nunca estamos libres del potencial.

Pero, ¿cómo se relaciona este análisis de las funciones de onda de los átomos de hidrógeno con los estados de dispersión de energía positiva? Solo podemos continuar analíticamente este resultado de vuelta a lo real\(k\) para averiguarlo. Sustituir\(-\kappa\) por\(ik\) da:

\[ R_{nl}(r)\sim \frac{1}{r}e^{i(kr+(me^2/\hbar^2k)\ln r)}. \label{10.3.25}\]

Entonces tenemos estados dispersos que tampoco son de la forma estándar, el desplazamiento de fase es infinito y no está bien definido. Pero encontramos que este resultado continúa analíticamente a partir de los estados unidos a átomos de hidrógeno. Comprobémoslo: veamos la ecuación radial de Schrödinger para las energías positivas en general\(r\). Escribiendo\(R(r)=u(r)/r\) como de costumbre, pongamos también\(u(r)=e^{ikr}v(r)\) para grandes\(r\), y también podemos ignorar el término de barrera centrífuga, así\[-\frac{\hbar^2}{2m}u''-\frac{e^2}{r}u=Eu=\frac{\hbar^2k^2}{2m}u. \label{10.3.26}\]

La ecuación para\(v(r)\) es

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}(2ikv'+v'')-\frac{e^2}{r}v=0 \label{10.3.27}\]

y dado que\(v(r)\) va variando lentamente, la segunda derivada puede ser ignorada, por lo

\[ v'\cong \frac{ime^2}{\hbar^2kr}v \label{10.3.28}\]

Esto lleva inmediatamente a la misma forma que encontramos por continuación analítica.

Resonancias y ceros Asociados

Recordemos en el primer semestre que discutimos\(\alpha\) - decaimiento: una\(\alpha\) partícula en un núcleo pesado puede considerarse atrapada en un pozo potencial generado por las atractivas fuerzas nucleares. Un pozo cuadrado esférico es una aproximación viable, excepto que este pozo cuadrado está en la cima de una colina, fuera del núcleo, el potencial electrostático repulsivo es\((Z-2)2e^2/r\), inclinándose desde el borde del pozo hasta cero como\(r\to \infty\). Esto quiere decir que para un núcleo radiactivo, aunque el nivel de energía estaría en energía negativa para el pozo cuadrado en terreno llano, en realidad está por encima del fondo de la colina electrostática, y la\(r\to \infty\) función de onda no estará en descomposición sino oscilante. Esta onda asintótica es por supuesto muy pequeña, ya que típicamente las posibilidades de detectar el\(\alpha\) pozo fuera del núcleo, es decir, de decaimiento, son una en millones de años.

Ahora considere el proceso inverso: imagínese que bombardeamos un núcleo en descomposición con\(\alpha\) partículas. Si enviamos uno exactamente con la energía correcta (muy difícil, ¡esto es un experimento mental!) la función de onda sería exactamente la misma que la de la\(\alpha\) decadencia. La función ondulada dentro del núcleo sería enorme comparada con la de afuera, nunca volveríamos\(\alpha\) a ver nuestra. Menos dramáticamente, si enviáramos uno cercano a esa energía, la función de onda seguiría siendo muy grande dentro del núcleo, lo que significa que la partícula pasaría mucho tiempo adentro antes de volver a salir. (Recordemos para una partícula en un potencial de montaña rusa en una dimensión, la función de onda es grande donde la partícula pasa mucho tiempo, ahí es donde es más probable que la encuentres). Esta es una resonancia: a la energía correcta, la amplitud de la función de onda dentro del potencial se vuelve muy grande, análoga a la amplitud de un oscilador accionado clásico ya que la frecuencia de accionamiento se ajusta a la frecuencia del oscilador natural.

¿Podemos entender esto en términos de polos en la matriz\(S\) -? Considerada como una función de la energía, la matriz\(S\) - tiene polos en energías negativas correspondientes a estados unidos. Pero esta es una energía positiva y\(|S(k)|=1\) para las energías positivas: ese es el régimen de dispersión física real. Lo que puede tener es un polo cerca de una energía positiva, en el plano complejo. Para mantener\(|S(k)|=1\), entonces tendría que tener un cero en el punto de imagen especular, es decir, ser localmente de la forma\[ S_l(E)=e^{2i\delta_l(E)}=\frac{E-E_0-i\Gamma /2}{E-E_0+i\Gamma /2}. \label{10.3.29}\]

A partir de esto,\[ \tan\delta_l(E)=-\Gamma /2(E-E_0), \label{10.3.30}\]

por lo\[ \delta_l(E_0)=\pi/2, \label{10.3.31}\]

y la sección transversal de dispersión alcanza su valor máximo posible, recordar

\[ \sigma =4\pi\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)|f_l(k)|^2=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)\sin^2\delta_l, \label{10.3.32}\]

por lo

\[ \sigma^{max}_l=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1) .\label{10.3.33}\]

Para una resonancia estrecha (pequeña\(\Gamma\)), el desplazamiento de fase\(\delta_l(E)\) va rápidamente de\(0\) a\(\pi\) medida que aumenta la energía\(E_0\). La mayor parte de la variación ocurre dentro de un rango\(\Gamma\) de energía de\(E_0\),\(\Gamma\) se llama el ancho de la resonancia. Si la resonancia se superpone a un desplazamiento de fase de fondo que varía lentamente\(\delta\), entonces causa un aumento de\(\delta\) a\(\delta+\pi\). Esto pasará a través\(0\) o\(\pi\), dependiendo del signo inicial de\(\delta\), por lo que la dispersión máxima en el desplazamiento de fase\(\pi/2\) tendrá asociada a ella una energía a la que hay dispersión cero. Para un fondo sustancial\(\delta\), el cero podría estar cerca del pico, como se ilustra a continuación: