1.3: Ecuaciones de Onda, Wavepackets y Superposición

Un reto para Schrödinger

La tesis doctoral de De Broglie, defendida a finales de 1924, creó mucha emoción en los círculos europeos de física. Poco después de que se publicara en el otoño de 1925 Pieter Debye, teórico en Zúrich, sugirió a Erwin Schrödinger que impartiera un seminario sobre la obra de de Broglie. Schrödinger dio una presentación pulida, pero al final Debye remarcó que consideraba toda la teoría bastante infantil: ¿por qué una ola debería limitarse a un círculo en el espacio? No era como si el círculo fuera una cuerda circular ondulante, ondas reales en el espacio difractadas y difundidas, de hecho obedecieron ecuaciones de ondas tridimensionales, y eso era lo que se necesitaba. Esto fue un desafío directo para Schrödinger, quien pasó algunas semanas en las montañas suizas trabajando en el problema, y construyendo su ecuación.

No hay una derivación rigurosa de la ecuación de Schrödinger a partir de la teoría previamente establecida, pero puede hacerse muy plausible pensando en la conexión entre las ondas de luz y los fotones, y la construcción de una estructura análoga para las ondas y electrones de Broglie (y, posteriormente, otras partículas).

Ecuación de Ondas de Maxwell

Examinemos lo que nos dicen las ecuaciones de Maxwell sobre el movimiento del tipo más simple de onda electromagnética: una onda monocromática en el espacio vacío, sin corrientes ni cargas presentes.

Como discutimos en la última conferencia, Maxwell encontró la ecuación de onda\[ \nabla^2 \vec E -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} =0 \tag{1.3.1}\]

lo que reduce a\[ \frac{\partial^2 \vec E}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} =0 \tag{1.3.2} \]

para una onda plana que se mueve en la dirección x, con solución\[ \vec E (x,t) =\vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} \tag{1.3.3} \]

Aplicación del operador diferencial de ecuación de onda a esta solución de onda plana\[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =\left( k^2-\frac{\omega^2}{c^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =0 \tag{1.3.4} \]

por lo\[ \omega =ck \tag{1.3.5} \]

Esta es solo la declaración familiar a la que debe viajar la ola\(c\).

¿Qué nos dice la Ecuación de Ondas sobre el Fotón?

Sabemos por el efecto fotoeléctrico y la dispersión Compton que la energía fotónica y el momento están relacionados con la frecuencia y longitud de onda de la luz por\[ E= h\nu =\hbar \omega \tag{1.3.6} \]

\[ p=\frac{h}{\lambda} =\hbar k \tag{1.3.7} \]

Observe, entonces, que la ecuación de onda nos dice eso\(\omega =ck\) y por lo tanto\(E = cp\).

Para decirlo de\(e^{i(kx-\omega t)}\) otra manera, si pensamos en describir una partícula (fotón) sería más natural escribir la onda plana como\[ \vec E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \tag{1.3.8} \]

es decir, en términos de la energía y el impulso de la partícula.

En estos términos, aplicar el operador de ecuación de onda (Maxwell) a los rendimientos de onda plana\[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} = \left( p^2 -\frac{E^2}{c^2} \right) \vec E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} =0 \tag{1.3.9} \]

o

\[ E^2=c^2p^2 \tag{1.3.10} \]

El operador de ecuación de onda aplicado a la onda plana que describe la propagación de partículas produce la relación energía-momento para la partícula.

Construyendo una ecuación de onda para una partícula con masa

La discusión anterior sugiere cómo podríamos extender el operador de ecuación de onda desde el caso de fotones (masa de reposo cero) a una partícula que tiene masa en reposo\(m_0\). Necesitamos un operador de ecuación de onda que, cuando opera en una onda plana, rinde

\[ E^2=c^2p^2 +m_0^2 c^4 \tag{1.3.11} \]

Escribir la función de onda plana

\[ \varphi (x,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \tag{1.3.12} \]

donde\(A\) es una constante, encontramos que podemos obtener\(E^2=c^2p^2 +m_0^2 c^4 \) agregando un término constante (masa) a los términos de diferenciación en el operador de onda:

\[ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} -\frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2} \right) Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} =-\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 -\frac{E^2}{c^2} +m_0^2 c^2 \right) Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} =0 \tag{1.3.13} \]

Esta ecuación de onda se llama ecuación de Klein-Gordon y describe correctamente la propagación de partículas relativistas de masa\(m_0\). Sin embargo, es un poco inconveniente para las partículas no relativistas, como el electrón en el átomo de hidrógeno, así como\(E^2=m_0^2 c^4 +c^2p^2\) es menos útil que\(E= p^2/2m\) para este caso.

Una ecuación de onda no relativista

Continuando por las mismas líneas, supongamos que un electrón no relativista en el espacio libre (sin potenciales, entonces sin fuerzas) es descrito por una onda plana:\( \psi (x,t) =Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \tag{1.3.14} \)

Necesitamos construir un operador de ecuación de onda que, aplicado a esta función de onda, solo nos dé la relación energía-impulso no relativista ordinaria,\(E = p^2/2m\). El\(p^2\) obviamente viene como de costumbre de diferenciar dos veces con respecto a\(x\), pero la única manera que podemos obtener\(E\) es teniendo una sola diferenciación con respecto al tiempo, por lo que esto se ve diferente de las ecuaciones de onda anteriores:\[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi (x,t)}{\partial x^2} \tag{1.3.15} \]

Esta es la ecuación de Schrödinger para una partícula libre. Es fácil comprobar que si\( \psi (x,t)\) tiene la forma de onda plana dada anteriormente, la condición para que sea una solución de esta ecuación de onda es justa\(E = p^2/2m\).

Observe una característica notable de la ecuación anterior:\(i\) en la izquierda significa que\(\psi\) no puede ser una función real.

¿Cómo afecta un potencial variable a una onda de Broglie?

El efecto de un potencial en una onda de Broglie fue considerado por Sommerfeld en un intento de generalizar las condiciones bastante restrictivas en el modelo de Bohr del átomo. Como el electrón orbitaba en una fuerza cuadrada inversa, al igual que los planetas alrededor del sol, Sommerfeld no podía entender por qué el átomo de Bohr solo tenía órbitas circulares, ni elipses similares a Kepler. (Recordemos que todas las líneas espectrales observadas de hidrógeno se contabilizaron por diferencias de energía entre órbitas circulares).

El análisis de De Broglie de las órbitas circulares permitidas se puede formular asumiendo en algún instante en el tiempo que la variación espacial de la función de onda al girar alrededor de la órbita incluye un término de fase de la forma\( e^{ipq/\hbar} \), donde aquí el parámetro\(q\) mide la distancia alrededor de la órbita. Ahora para una función de onda aceptable, el cambio de fase total al dar la vuelta a la órbita debe ser\( 2n\pi \), donde\(n\) es un entero. Para la habitual órbita circular de Bohr,\(p\) es constante dando vueltas,\(q\) cambia por\( 2\pi r \), dónde\(r\) está el radio de la órbita, dando\[ \frac{1}{\hbar} p2\pi r=2n\pi , \: so \: pr=n\hbar , \tag{1.3.16} \]

la cuantificación de momento angular habitual.

Lo que hizo Sommerfeld fue considerar una órbita general de elipse Kepler, y visualizar la onda que rodeaba dicha órbita. Asumiendo la relación habitual\( p=h/\lambda \), la longitud de onda variará a medida que la partícula se mueva alrededor de la órbita, siendo la más corta donde la partícula se mueve más rápido, en su aproximación más cercana al núcleo. Sin embargo, el cambio de fase al moverse una distancia corta\( \Delta q \) debería ser todavía\( p\Delta q/\hbar \), y requerir que la función de onda se vincule suavemente al ir una vez alrededor de la órbita da\[ \oint pdq=nh \tag{1.3.17} \]

Por lo tanto, solo se permiten ciertas órbitas elípticas. Las matemáticas no son triviales, pero resulta que cada órbita elíptica permitida tiene la misma energía que una de las órbitas circulares permitidas. Por eso la teoría de Bohr dio todos los niveles de energía. En realidad, todo este análisis es anticuado (se llama la “vieja teoría cuántica”) pero lo hemos repasado para introducir la idea de una onda con longitud de onda variable, cambiando con el impulso a medida que la partícula se mueve a través de un potencial variable.

El lector bien puede estar preguntándose en este punto por qué es de alguna utilidad visualizar una onda real que gira alrededor de una órbita, cuando hemos afirmado que cualquier solución de la ecuación de Schrödinger es necesariamente una función compleja. Como veremos, a menudo es posible encontrar soluciones, incluidas las correspondientes a los niveles de energía de Bohr, en las que la naturaleza compleja de la función de onda solo aparece en un factor de fase variable en el tiempo,\( e^{-iEt/\hbar} \). También hay que añadir que si la dependencia espacial es una función real, tal como\(\sin kx\), representa una onda estacionaria, no una partícula dando vueltas en una dirección, que sería\(e^{ikx}\), o\( e^{ipx/\hbar} \). Teniendo todo esto en mente, a menudo sigue siendo instructivo esbozar funciones de onda reales, especialmente para problemas unidimensionales.

Ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial

Consideremos primero la situación unidimensional de una partícula que va en la dirección x sujeta a un potencial de “montaña rusa”. ¿Cómo esperamos que se vea la función de onda? Esperaríamos que la longitud de onda sea más corta donde el potencial es más bajo, en los valles, porque ahí es donde la partícula va más rápido, el impulso máximo.

Con un potencial distinto de cero presente, la relación energía-impulso para la partícula se convierte en la ecuación energética\[ E=\frac{p^2}{2m} +V(x) \tag{1.3.18} \]

Necesitamos construir una ecuación de onda que conduzca naturalmente a esta relación. En contraste con los casos de partículas libres discutidos anteriormente, la función de onda relevante aquí ya no será una onda plana, ya que la longitud de onda varía con el potencial. Sin embargo, en un momento dado\(x\), el impulso viene determinado por la “longitud de onda local”, es decir,\[ p=-i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} \tag{1.3.19} \]

De ello se deduce que la ecuación de onda apropiada es:\[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} +V(x)\psi(x,t) \tag{1.3.20} \]

Esta es la ecuación unidimensional estándar de Schrödinger.

En tres dimensiones, el argumento es precisamente análogo. La única diferencia es que el cuadrado del impulso es ahora una suma de tres componentes cuadrados, para el\(x\),\(y\) y\(z\) direcciones, así\( \frac{\partial^2}{\partial x^2} \) se convierte\( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} =\nabla^2 \),

por lo que ahora\[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,y,z,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z,t) +V(x,y,z)\psi(x,y,z,t) \tag{1.3.21} \]

Esta es la ecuación completa de Schrödinger. Hasta el momento, por supuesto, se basa en argumentos de plausibilidad y agitando las manos. ¿Por qué alguien debería creer que realmente describe una onda de electrones? La prueba de Schrödinger de su ecuación fue el átomo de hidrógeno. Buscó los “estados estacionarios” de Bohr: estados en los que el electrón estaba localizado en algún lugar cerca del protón, y teniendo una energía definida. La dependencia del tiempo sería la misma que para una onda plana de energía definida\( e^{-iEt/\hbar} \), la dependencia espacial sería una función independiente del tiempo disminuyendo rápidamente a grandes distancias del protón. Es decir, se llevó\[ \psi(x,y,z,t) = e^{-iEt/\hbar} \psi(x,y,z) \tag{1.3.22} \]

Aprovechó la simetría esférica reexpresando la función de onda espacial en coordenadas polares esféricas, y encontró que su ecuación se convirtió en una ecuación diferencial estándar resuelta en el siglo XIX. La solución dio la forma de posibles funciones de onda, y también permitió valores de energía e impulso angular. Estos valores eran exactamente los mismos que los de Bohr (excepto que el estado más bajo permitido en la nueva teoría tenía un impulso angular cero): evidencia impresionante de que la nueva teoría era correcta.

Conservación Actual

Cuando Schrödinger publicó este resultado en 1926, también anotó la compleja ecuación conjugada, y demostró que tomarlos juntos no era difícil deducir una ecuación de continuidad:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} +div \vec j =0 \tag{1.3.23} \]

\[ where \: \rho =\psi^{\ast} \psi =|\psi |^2 \tag{1.3.24} \]

\[ and \; \: \vec j =\frac{\hbar}{2mi} (\psi^{\ast} \vec \nabla \psi -\psi \vec \nabla \psi^{\ast} ) \tag{1.3.25} \]

Pero ¿qué significan estas ecuaciones?

Schrödinger creía que las ecuaciones de continuidad anteriores representaban la conservación de la carga eléctrica, y no tenían más importancia. Pensó que después de todo su propia ecuación mostraba que el electrón era solo una onda clásica suave al nivel más profundo. De hecho, logró resolver la ecuación tridimensional con un potencial Coulomb y encontró los niveles de energía Bohr del átomo de hidrógeno. ¡Obviamente, estaba en el camino correcto! Este enfoque de renacimiento clásico, sin embargo, no podía lidiar con la imprevisibilidad de la mecánica cuántica, como donde un solo fotón, o un electrón, aterrizaría en un patrón de difracción de dos rendijas.

La verdad es que Schrödinger no entendía su propia ecuación. Otro físico, Max Born, publicó un artículo pocos días después del de Schrödinger en el que sugería que\( |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz \) era la probabilidad relativa de encontrar el electrón en un pequeño volumen\(dxdydz\)\( (x,y,z) \) a la vez\(t\). Esta interpretación se basó directamente en la analogía con las ondas de luz y los fotones, y ha resultado ser correcta.

Nota

\(\psi\)se llama la “amplitud” o a veces la “amplitud de probabilidad”.

Fotones y Electrones

Hemos visto que los electrones y los fotones se comportan de manera muy similar, ambos exhiben efectos de difracción, como en el experimento de doble rendija, ambos tienen un comportamiento similar a partículas o cuántico. Como ya hemos comentado, ahora tenemos un marco para entender los fotones; primero descubrimos cómo se propaga la onda electromagnética, usando las ecuaciones de Maxwell, es decir, nos encontramos\(E\) en función de\(x,y,z,t\). Habiendo evaluado\(E(x,y,z,t)\), la probabilidad de encontrar un fotón en un pequeño volumen de espacio dado\(dxdydz\), en el tiempo\(t\), es proporcional a\( |E(x,y,z,t)|^2 dxdydz \), la densidad de energía.

Born asumió que la función de onda de Schrödinger para el electrón correspondía a la onda electromagnética para el fotón en el sentido de que el cuadrado del módulo de la amplitud de onda de Schrödinger en un punto era la densidad de probabilidad relativa para encontrar el electrón en ese punto. Entonces la rutina es la misma: para condiciones de límite dadas y un potencial dado, se puede resolver la ecuación diferencial de Schrödinger y\(\psi(x,y,z,t)\) evaluar la función de onda. Entonces,\( |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz \) da la probabilidad relativa de encontrar el electrón\((x,y,z)\) a la vez\(t\).

Observe, sin embargo, que esta interpretación de la función de onda no es esencial para encontrar los niveles de energía permitidos en un potencial dado, como las energías orbitales de Bohr, que Schrödinger derivó antes de que se entendiera el significado físico de su función de onda.

Cómo varía la amplitud de onda en un potencial de montaña rusa

Mencionamos anteriormente que para un electrón que viaja a lo largo de un potencial de montaña rusa, la longitud de onda local está relacionada con el impulso del electrón a medida que pasa por ese punto.

Quizás un poco menos obvio es que la amplitud de la ola varía: será mayor en las cimas de los cerros (siempre que la partícula tenga suficiente energía para llegar allí) porque ahí es donde la partícula se mueve más lentamente, y por lo tanto es más probable que se encuentre.

¿Manteniendo la Onda y la Partícula Juntos?

Supongamos que siguiendo de Broglie escribimos la relación entre las “propiedades de las partículas” del electrón y sus “propiedades de onda”:\[ \frac{1}{2} mv^2 =E=hf \, , \; \; mv=p=h/\lambda \tag{1.3.26} \]

Parecería que de inmediato podemos averiguar la velocidad de la ola, solo usando\(\lambda f=c\), digamos. Nos encontramos con:\[ \lambda f=\frac{h}{mv} \cdot \frac{\frac{1}{2} mv^2}{h} =\frac{1}{2} v \tag{1.3.27} \]

¡Entonces la velocidad de la onda parece ser solo la mitad de la velocidad del electrón! ¿Cómo podrían permanecer juntos? ¿Qué tiene de malo este cálculo?

Localización de un electrón

Para responder a esta pregunta, es necesario pensar un poco más detenidamente sobre la función de onda correspondiente a un electrón que viaja a través de un tubo de rayos catódicos, digamos. El electrón sale del cátodo, dispara a través del vacío e incide en la pantalla. En un punto intermedio de este proceso, se está moviendo a través del vacío y la función de onda debe ser distinta de cero sobre algún volumen, pero cero en los lugares donde el electrón no ha llegado todavía, y cero en los lugares que definitivamente ha dejado.

No obstante, si el electrón tiene una energía precisa, digamos exactamente mil electrón voltios, también tiene un impulso preciso. Esto implica necesariamente que la onda tiene una longitud de onda precisa. Pero la única onda con una longitud de onda precisa\(\lambda\) tiene la forma\[ \psi(x,t) =Ae^{i(kx-\omega t)} \tag{1.3.28}\]

dónde\(k=2\pi /\lambda\), y\(\omega =2\pi f\). El problema es que esta onda sinusoidal plana se extiende hasta el infinito en ambas direcciones espaciales, por lo que no puede representar una partícula cuya función de onda sea distinta de cero en una región limitada del espacio.

Por lo tanto, para representar una partícula localizada, debemos superponer ondas que tengan diferentes longitudes de onda. Ahora, las ondas que representan electrones, a diferencia de las ondas de luz que representan fotones, viajan a diferentes velocidades para diferentes energías. ¡Cualquier intuición obtenida al pensar en superponer ondas de luz de diferentes longitudes de onda puede ser engañosa si se aplica a ondas de electrones!

Afortunadamente, hay muchos ejemplos en la naturaleza de las olas cuya velocidad depende de la longitud de onda. Un ejemplo sencillo son las olas de agua en el océano. Consideramos que las olas tienen una longitud de onda mucho más corta que la profundidad del océano. ¿Cuál es la\(k\) relación\(\omega\), para estas olas? Sabemos que no lo es\(\omega =Ck\), con una constante\(C\), porque ondas de diferentes longitudes de onda se mueven a diferentes velocidades. De hecho, es fácil averiguar la\(k\) relación\(\omega\), conocida como la relación de dispersión, para estas ondas a partir de un simple argumento dimensional. ¿De qué parámetros físicos puede depender la frecuencia de onda? Obviamente, la longitud de onda\(\lambda\). Vamos a utilizar\(k=2\pi /\lambda\) como nuestra variable. \(k\)tiene dimensiones\(L^{-1}\).

Estas ondas son impulsadas por la gravedad, por lo que\(g\), con dimensiones\(LT^{-2}\), es relevante. En realidad, eso es todo. Para las olas oceánicas, la tensión superficial es ciertamente insignificante, al igual que la densidad del aire y la viscosidad del agua. Se podría pensar que la densidad del agua importa, pero estas ondas son más bien como un péndulo, en el sentido de que son impulsadas por la gravedad, por lo que aumentar la densidad aumentaría tanto la fuerza como la masa inercial en la misma cantidad.

Para estas ondas de aguas profundas, entonces, el análisis dimensional da inmediatamente:

\[ \omega^2 =Cgk \tag{1.3.29} \]

donde\(C\) hay alguna constante adimensional que no podemos fijar por argumento dimensional, pero en realidad resulta ser 1.

Wavepackets y el principio de superposición

Para regresar momentáneamente al electrón que viaja a través de un vacío, es claro físicamente que debe tener una función de onda que vaya a cero muy lejos en cualquier dirección (todavía trabajaremos en una dimensión, por simplicidad). Una función de onda localizada de este tipo se denomina “paquete de ondas”. Descubriremos que un paquete de ondas se puede construir sumando ondas planas juntas. Ahora, las ondas planas que sumamos juntas serán individualmente soluciones de la ecuación de Schrödinger.

Pero, ¿se deduce que la suma de tales soluciones de la ecuación de Schrödinger es en sí misma una solución a la ecuación? La respuesta es sí, en otras palabras, la ecuación de Schrödinger\[ i\hbar \frac{\partial \psi(x,y,z,t)}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z,t) +V(x,y,z)\psi(x,y,z,t) \tag{1.3.21} \]

es una ecuación lineal, es decir, si\(\psi_1(x,y,z,t)\),\(\psi_2(x,y,z,t)\) son ambas soluciones de la ecuación, entonces así es\[ \psi(x,y,z,t) =c_1\psi_1(x,y,z,t)+c_2 \psi_2(x,y,z,t) \tag{1.3.30} \]

donde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias, como es fácil de verificar. Esto se llama el Principio de Superposición.

El punto esencial es que en la ecuación de Schrödinger cada término contiene un factor\(\psi\), pero ningún término contiene un factor\(\psi^2\) (o una potencia superior). Eso es lo que se entiende por una ecuación “lineal”. Si la ecuación contuviera un término constante, o un término que incluyera\(\psi^2\), la superposición no funcionaría, la suma de dos soluciones a la ecuación no sería en sí misma una solución a la ecuación.

De hecho, hemos estado asumiendo esta linealidad todo el tiempo: cuando analizamos la interferencia y la difracción de ondas, simplemente agregamos las dos amplitudes de onda en cada punto. Para la doble hendidura, tomamos que si la onda que irradia de una hendidura satisface la ecuación de onda, entonces sumar las dos ondas juntas dará una nueva onda que también satisface la ecuación.

El primer paso para construir un paquete de ondas: agregar dos ondas sinusoidales

Si sumamos dos ondas sinusoidales con frecuencias cercanas, obtenemos beats. Este patrón puede verse como una cadena de paquetes de ondas, y es útil para comprender por qué la velocidad de los electrones calculada desde\( \lambda f=c \) arriba es aparentemente la mitad de lo que debería ser.

Utilizamos la fórmula de adición trigonométrica:

\[ \sin((k-\Delta k)x -(\omega-\Delta \omega)t) +\sin((k+\Delta k)x -(\omega+\Delta \omega)t) =2\sin(kx-\omega t)\cos((\Delta k)x-(\Delta \omega)t) \tag{1.3.31} \]

Esta fórmula representa el fenómeno de latidos entre ondas cercanas en frecuencia. El primer término,\(\sin(kx-\omega t)\), oscila en el promedio de las dos frecuencias. Se modula por el segundo término que varía lentamente, a menudo llamado la “función envolvente”, que oscila una vez sobre una extensión espacial de orden\(\pi/\Delta k\). Esta es la distancia sobre la cual las olas inicialmente en fase en el origen se vuelven completamente desfasadas. Por supuesto, yendo una mayor distancia de orden\(\pi/\Delta k\), las olas volverán a sincronizarse.

Es decir, batir dos frecuencias cercanas juntas rompe la onda continua en una serie de paquetes, los beats. Para describir un solo electrón que se mueve por el espacio, necesitamos un solo paquete. Esto se puede lograr superponiendo ondas que tienen una distribución continua de longitudes de onda, o números de onda dentro del orden\(\Delta k\), digamos, de\(k\). En este caso, las ondas estarán fuera de fase después de una distancia de orden\(\pi/\Delta k\) pero como tienen muchas longitudes de onda diferentes, nunca volverán a entrar en fase otra vez.

Velocidad de fase y velocidad de grupo

Inmediatamente se hará evidente que hay dos velocidades diferentes en la dinámica: primero, la velocidad con la que los picos individuales se mueven hacia la derecha, y segundo la velocidad a la que se mueve la función envolvente que varía lentamente, el patrón de latidos. La velocidad máxima\(\lambda f=c\) individual está determinada por el término\(\sin(kx-\omega t)\), es\(\omega/k\): a esto se le llama velocidad de fase. La velocidad con la que se mueve el patrón de latidos, en cambio, está determinada por el término\(\cos((\Delta k)x-(\Delta \omega)t)\), esta velocidad es\(\Delta\omega/\Delta k =d\omega/dk\) para frecuencias cercanas.

Volviendo una vez más al paquete de ondas de electrones, armado con esta nueva visión, podemos ver de inmediato que la velocidad de onda a partir de la que calculamos\(\lambda f=c\) era la velocidad de fase de las ondas. El paquete en sí, por supuesto, se moverá a la velocidad de grupo, y es fácil verificar que esto sea solo v.

Adición de Más Ondas

Hemos visto como dos ondas sinusoidales de igual amplitud juntas en frecuencia producen latidos: si las ondas están en fase en el origen, a medida que avanzamos a lo largo del eje x caen gradualmente fuera de fase, y se cancelan entre sí a distancia\(x=\pi/2\Delta\), donde\(2\Delta\) está la diferencia en\(k\) del dos\(\sin kx\) olas. (Por el momento, estamos ignorando el desarrollo temporal de estas ondas: solo estamos mirando t = 0.). Si seguimos por el eje x hasta\(\pi/\Delta\), las dos olas volverán a estar de nuevo en fase, este es el siguiente latido. Ahora bien, si en lugar de sumar dos ondas, agregamos muchas olas, todas diferentes\(k\), pero con las\(k\)'s tomadas de algún pequeño intervalo de tamaño de orden\(\Delta k\), y todas estas ondas están en fase en el origen, entonces, nuevamente, todas se quedarán más o menos en fase para una distancia de orden\(x=\pi/2\Delta\). Sin embargo, a medida que avanzamos más allá de ese punto, las posibilidades de que todos vuelvan a estar en fase se vuelven más pequeñas rápidamente a medida que aumentamos el número de olas diferentes.

Esto sugiere una manera de construir un paquete de ondas: sumar muchas ondas desde dentro de un rango de frecuencia estrecho, y solo estarán en fase en una región que contenga el origen.

Agregar ondas de esta manera conduce a una derivación más general de la fórmula\(d\omega/dk\) para la velocidad del grupo. El enfoque estándar es reemplazar la suma sobre ondas planas por una integral, con el número de onda\(k\) como variable de integración, y la convención es poner un factor\(2\pi\) en el denominador:

\[ \psi(x,t) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx-i\omega(k)t} \, \phi(k) \tag{1.3.32} \]

Ya que estamos construyendo un paquete de ondas con un impulso bastante bien definido, tomaremos la función\(\phi(k)\) para alcanzar su punto máximo fuerte\(k_0\), y yendo rápidamente a cero lejos de ese valor, por lo que la única contribución significativa a la integral es de la vecindad de\(k_0\). Por lo tanto, si\(\omega(k)\) es razonablemente suave (que es) es seguro poner

\[ \omega(k) =\omega(k_0)+(k-k_0)\omega'(k_0) \tag{1.3.33} \]

en lo exponencial.

Esto da

\[ \psi(x,t) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx-i\omega(k_0)t-i(k-k_0)\omega'(k_0)t} \, \phi(k) =e^{i(k_0x-\omega(k_0)t)} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{i(k-k_0)(x-\omega'(k_0)t)} \, \phi(k) \tag{1.3.34} \]

El primer término solo representa una sola onda en\(k_0\), y los picos se mueven a la velocidad de fase\[ v_{phase}=\omega/k \tag{1.3.35} \]

El segundo término, el integral, es la función envolvente: aquí x solo aparece en la combinación\[ x-\omega'(k_0)t \tag{1.3.36} \]

entonces la envolvente, y por lo tanto el paquete de ondas, se mueve hacia la derecha a la velocidad del grupo:\( v_{group} =\omega'(k_0) \). Tenga en cuenta que si también\(\omega(k)\) se incluye el siguiente término en la expansión Taylor de, eso equivale a agregar paquetes de ondas con velocidades de grupo ligeramente diferentes, y el paquete de ondas inicial (total) se ampliará gradualmente.

La Wavepacket Gaussiana

Afortunadamente, existe una simple realización matemática explícita de la adición de ondas planas para formar una función localizada: el paquete de ondas gaussianas,\[ \psi(x,t=0) =Ae^{ik_0x}e^{-x^2/2\Delta^2} \tag{1.3.37}\]

donde\(p_0=\hbar k_0\). Para que este paquete de ondas represente un electrón, con la probabilidad de encontrar el electrón en una pequeña sección de longitud\(x\) igual\(dx\) a\(|\psi|^2 dx\), y la probabilidad total de encontrar el electrón en algún lugar igual a uno, la constante\(A\) se determina de manera única (aparte de un posible multiplicador de fase\(e^{i\delta}\), que no afectaría a la probabilidad).

Usando el resultado estándar\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1.3.38} \]

nos parece\(|A|^2=(\pi \Delta^2)^{-1/2}\)\[ \psi(x,t=0) =\frac{1}{(\pi\Delta^2)^{1/4}} e^{ik_0x}e^{-x^2/2\Delta^2} \tag{1.3.39} \]

Pero, ¿cómo construimos este paquete de ondas particular superponiendo ondas planas? Es decir, necesitamos una representación de la forma:\[ \psi(x) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \, \phi(k) \tag{1.3.40} \]

La función\(\phi(k)\) representa la ponderación de las ondas planas en la vecindad del número de onda\(k\). Este es un ejemplo particular de una transformada de Fourier —estaremos discutiendo el caso general en detalle un poco más adelante en el curso. Tenga en cuenta que si\(\phi(k)\) es una función delimitada, cualquier\(k\) valor en particular da una contribución esfumantemente pequeña, la contribución de onda plana a\(y(x)\) desde un rango\(dk\) es\(\phi(k) dk/2\pi\). De hecho,\(\phi(k)\) se da en términos de\(\psi(x)\) por\[ \phi(k) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dxe^{-ikx} \, \psi(x) \tag{1.3.41} \]

Quizás valga la pena mencionar en este punto que esto se puede entender cualitativamente observando que el prefactor de onda plana\(e^{-ikx}\) interferirá destructivamente con todos los componentes de onda plana de\(\psi(x)\) excepto el del número de onda\(k\), donde puede aparecer en un principio que la contribución es infinita, pero recordemos que como se indicó anteriormente, cualquier\(k\) componente en particular tiene un peso esfumantemente pequeño y, de hecho, esta es la respuesta correcta, como mostraremos de manera más convincente más adelante.

En el presente caso, el argumento anterior es innecesario, ya que ambas integrales se pueden llevar a cabo exactamente, utilizando el resultado estándar:\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2+bx} \, dx =e^{b^2/4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1.3.42} \]

dando\[ \phi(k) =(4\pi\Delta^2)^{\frac{1}{4}} e^{-\Delta^2(k-k_0)^2/2} \tag{1.3.43}\]

Poner esto de nuevo en la integral para\(\psi(x)\) muestra que las ecuaciones integrales son consistentes.

Tenga en cuenta que las integrales de normalización en el espacio x y el espacio k son:

\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |\psi|^2 dx =1, \; \; \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |\phi(k)|^2 \frac{dk}{2\pi} =1 \tag{1.3.44} \]

El significado físico de la segunda ecuación anterior es que si el paquete de ondas pasa por una rejilla de difracción de manera que los diferentes k -componentes se dispersan en diferentes direcciones, como los colores en luz blanca, y se dispone un detector para registrar el electrón si tiene número de onda entre\(k\) y\(k + dk\), la probabilidad de encontrarlo en ese rango de número de onda es\(|\phi(k)|^2 dk/2\pi\).

Valores de expectativa y principio de incertidumbre

Es claro a partir de las expresiones para\(\psi(x)\) y su transformada de Fourier\(\phi(k)\) anteriores que la propagación de la función de onda en el espacio x está inversamente relacionada con su propagación en k-espacio: la función de onda x -espacio se ha extendido\(\sim\Delta\), el k-espacio función de onda\(\sim 1/\Delta\). Este es quizás el ejemplo más simple del famoso Principio de Incertidumbre de Heisenberg: en la mecánica cuántica, tanto la posición como el impulso de una partícula no se pueden conocer precisamente en el mismo momento; cuanto más exactamente se especifica una, menos bien se conoce la otra. Esta es una consecuencia inevitable de la naturaleza de onda de la distribución de probabilidad. Como ya hemos visto, una partícula con un impulso exacto tiene una onda de longitud de onda específica, y la única onda de este tipo es una onda plana que se extiende desde menos el infinito hasta el infinito, por lo que la posición de la partícula es completamente indeterminada. Una partícula con una posición definida con precisión se describe mediante un paquete de ondas que tiene todas las longitudes de onda incluidas con el mismo peso, el momento es completamente indefinido. Daremos más ejemplos del Principio Incertidumbre, de esfuerzos por evadirlo y de sus usos en estimaciones, en la próxima conferencia.

Definiciones de\(\Delta x,\Delta p\)

La notación estándar para el valor de expectativa de un operador en un estado cuántico dado es\[ \langle x \rangle =\int x|\psi(x)|^2 dx \tag{1.3.45} \]

En otras palabras,\(\langle x\rangle\) sería el resultado estadístico promedio de hacer muchas mediciones de\(x\) en sistemas preparados idénticamente todos en el estado cuántico\(\psi(x)\) (ignorando la dependencia del tiempo aquí en aras de la simplicidad).

Cuando hablamos de la “incertidumbre” en\(x\), nos referimos en mecánica cuántica a la desviación cuadrática media raíz en las mediciones. Esto suele estar escrito\(\Delta x\) (desafortunado en vista de nuestro —también estándar— uso de\(\Delta\) en la función gaussiana anterior, ¡así que el lector debe mirar cuidadosamente!).

Por lo tanto\[ \Delta x=\sqrt{\int (x-\langle x\rangle)^2|\psi(x)|^2 dx} \tag{1.3.46} \]

Para nuestra wavepacket,\(\langle x\rangle=0\). Es fácil comprobarlo

\[ \Delta x=\frac{\Delta}{\sqrt{2}}, \;\; and \; writing \;\; p=\hbar k, \;\; \Delta p=\frac{\hbar}{\Delta\sqrt{2}} \;\; giving \;\; \Delta x\cdot\Delta p =\frac{\hbar}{2} \tag{1.3.47} \]

Colaborador

• Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)