6.1: Partículas cargadas en un campo magnético

Clásicamente, la fuerza sobre una partícula cargada en campos eléctricos y magnéticos viene dada por la ley de fuerza de Lorentz:

\[ \vec{F}=q\left( \vec{E}+\frac{\vec{v}\times\vec{B}}{c}\right) \label{6.1.1}\]

Esta fuerza dependiente de la velocidad es bastante diferente de las fuerzas conservadoras de los potenciales que hemos tratado hasta ahora, y la receta para pasar de la mecánica clásica a la cuántica, reemplazar los momentos por los operadores derivados apropiados, tiene que llevarse a cabo con más cuidado. Comenzamos demostrando cómo la ley de fuerza Lorentz surge clásicamente en las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana.

Leyes de la Mecánica Clásica

Recordemos primero que el Principio de Menor Acción conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange para los lagrangianos\(L\):

\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_i}\right) -\frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial q_i}=0 \label{6.1.2}\]

con\(q_i\) y\( \dot{q}_i\) siendo coordenadas y velocidades. El impulso canónico\(p_i\) se define por la ecuación

\[ p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \label{6.1.3}\]

y el hamiltoniano se define realizando una transformación Legendre del Lagrangiano:

\[ H(q_i,p_i)=\sum_i \left( p_i\dot{q}_i-L(q_i,\dot{q}_i) \right) \label{6.1.4}\]

Es sencillo comprobar que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir:

\[ \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\; \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \label{6.1.5}\]

Estas se conocen como Ecuaciones de Hamilton. Tenga en cuenta que si el hamiltoniano es independiente de una coordenada particular\(q_i\), el impulso correspondiente\(p_i\) permanece constante. (Tal coordenada se denomina cíclica, porque el ejemplo más común es una coordenada angular en un hamiltoniano esféricamente simétrico, donde el momento angular permanece constante).

Para las fuerzas conservadoras que hemos estado considerando hasta ahora,

\[L = T - V\]

y

\[H= T + V\]

con\(T\) la energía cinética,\(V\) la energía potencial.

Soportes Poisson

Cualquier variable dinámica\(f\) en el sistema es alguna función de los\(q_i\)'s y\(p_i\)'s y (asumiendo que no depende explícitamente del tiempo) su desarrollo viene dado por:

\[ \frac{d}{dt}f(q_i,p_i)=\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i=\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}=\{ f,H\}. \label{6.1.6}\]

Los corchetes se denominan corchetes de Poisson, y se definen para cualquier variable dinámica como:

\[ \{ A,B\}=\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}. \label{6.1.7}\]

Hemos demostrado a partir de las ecuaciones de Hamilton que para cualquier variable\(\dot{f}=\{ f,H\}\).

Es fácil comprobar que para las coordenadas y momento canónico,

\[ {q_i,q_j}=0={p_i,p_j},\; {q_i,p_j}=\delta_{ij}. \label{6.1.8}\]

Esta fue la estructura matemática clásica que llevó a Dirac a vincular la mecánica clásica y cuántica: se dio cuenta de que los corchetes de Poisson eran la versión clásica de los conmutadores, por lo que un impulso canónico clásico debe corresponder al operador diferencial cuántico en la coordenada correspondiente.

Los brackets de Poisson son la versión clásica de los conmutadores

Partícula en un Campo Magnético

La fuerza de Lorentz depende de la velocidad, por lo que no puede ser solo el gradiente de algún potencial. Sin embargo, la trayectoria clásica de las partículas sigue siendo dada por el Principio de Menor Acción. Los campos eléctricos y magnéticos se pueden escribir en términos de un potencial escalar y un vector:

\[ \vec{B}=\vec{\nabla}\times \vec{A}\label{6.1.9A}\]

\[\vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}. \label{6.1.9B}\]

El derecho lagrangiano resulta ser:

\[ L=\frac{1}{2}m\vec{v}^2-q\varphi+\frac{q}{c}\vec{v}\cdot\vec{A}. \label{6.1.10}\]

Efectos de Relatividad

Si estás familiarizado con Relatividad, el término de interacción aquí parece menos arbitrario: la versión relativista tendría la relativista invariante\((q/c)\int A^{\mu} dx_{\mu}\) agregada a la integral de acción, donde el cuatro-potencial\(A_{\mu} =(\vec{A},\varphi)\) y\(dx_{\mu} =(dx_1,dx_2,dx_3,cdt)\). Esta es la interacción invariante más simple posible entre el campo electromagnético y las cuatro velocidades de la partícula. Entonces en el límite no relativista,\((q/c)\int A^{\mu} dx_{\mu}\) solo se vuelve\(\int q(\vec{v}\cdot\vec{A}/c-\varphi) dt\).

La derivación de la fuerza de Lorentz a partir de las ecuaciones de Hamilton es sencilla.

Tenga en cuenta que para el potencial vectorial cero, el lagrangiano tiene la\(T-V\) forma habitual.

Para este problema de una partícula, las coordenadas generales\(q_i\) son solo las coordenadas cartesianas\(x_i=(x_1,x_2,x_3)\), la posición de la partícula y\(\dot{q}_i\) son los tres componentes\(\dot{x}_i=v_i\) de la velocidad de la partícula.

El nuevo punto importante es que el impulso canónico\[ p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=mv_i+\frac{q}{c}A_i \label{6.1.11}\]

ya no es\(\times\) velocidad de masa, ¡hay un término extra!

El hamiltoniano es

\[ \begin{matrix} H(q_i,p_i)=\sum p_i\dot{q}_i-L(q_i,\dot{q}_i)\\ =\sum (mv_i+\frac{q}{c}A_i)v_i-\frac{1}{2}m\vec{v}^2+q\varphi-\frac{q}{c}\vec{v}\cdot\vec{A}\\ =\frac{1}{2}m\vec{v}^2+q\varphi \end{matrix} \label{6.1.12}\]

De manera tranquilizadora, el hamiltoniano solo tiene la forma familiar de energía cinética más energía potencial. Sin embargo, para obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton, el hamiltoniano tiene que expresarse únicamente en términos de las coordenadas y momentos canónicos. Es decir,

\[ H=\frac{(\vec{p}-q\vec{A}(\vec{x},t)/c)^2}{2m}+q\varphi (\vec{x},t) \label{6.1.13}\]

donde hemos señalado explícitamente que los potenciales significan aquellos en la posición\(\vec{x}\) de la partícula en el momento\(t\).

Consideremos ahora las ecuaciones de Hamilton

\[ \dot{x}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\; \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i} \label{6.1.14}\]

Es fácil ver cómo sale la primera ecuación, teniendo en cuenta que

\[ p_i=mv_i+\frac{q}{c}A_i=m\dot{x}_i+\frac{q}{c}A_i. \label{6.1.15}\]

La segunda ecuación arroja la ley de fuerza de Lorentz, pero es un poco más complicada. El primer punto a tener en cuenta es que no\(dp/dt\) es la aceleración, el\(A\) término también varía en el tiempo, y de una manera bastante complicada, ya que es el campo en un punto que se mueve con la partícula. Es decir,

\[ \dot{p}_i=m\ddot{x}_i+\frac{q}{c}\dot{A}_ i=m\ddot{x}_i+\frac{q}{c}\left( \frac{\partial A_ i}{\partial t}+v_j\nabla_j A_i\right). \label{6.1.16}\]

El lado derecho de la segunda ecuación de Hamilton\(\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i}\) es\[ \begin{matrix} -\frac{\partial H}{\partial x_i}=\frac{(\vec{p}-q\vec{A}(\vec{x},t)/c)}{m}\cdot\frac{q}{c}\cdot\frac{\partial \vec{A}}{\partial x_i}-q\frac{\partial \varphi(\vec{x},t)}{\partial x_i}\\ =\frac{q}{c}v_j\nabla_iAj-q\nabla_i\varphi. \end{matrix} \label{6.1.17}\]

Al juntar los dos lados, la ecuación de Hamilton dice:

\[ m\ddot{x}_i=-\frac{q}{c}\left( \frac{\partial A_i}{\partial t}+v_j\nabla_jA_i\right) +\frac{q}{c}v_j\nabla_iA_j-q\nabla_i\varphi . \label{6.1.18}\]

Usando\(\vec{v}\times (\vec{\nabla}\times \vec{A})=\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\)\(\vec{B}=\vec{\nabla}\times \vec{A}\), y las expresiones para los campos eléctricos y magnéticos en términos de los potenciales, surge la ley de fuerza de Lorentz:\[ m\ddot{\vec{x}}=q\left( \vec{E}+\frac{\vec{v}\times\vec{B}}{c}\right) \label{6.1.19}\]

Mecánica cuántica de una partícula en un campo magnético

Hacemos la sustitución estándar:

\[ \vec{p}=-i\hbar \vec{\nabla},\; so\; that\; [x_i,p_j]=i\hbar \delta_{ij}\; as\; usual:\; but\; now\; p_i\neq mv_i. \label{6.1.20}\]

Esto lleva a la novedosa situación de que las velocidades en diferentes direcciones no conmutan. Desde\[ mv_i=-i\hbar \nabla_i-qA_i/c \label{6.1.21}\]

es fácil comprobar que\[ [v_x,v_y]=\frac{iq\hbar}{m^2c}B \label{6.1.22}\]

Para resolver realmente la ecuación de Schrödinger para un electrón confinado a un plano en un campo magnético perpendicular uniforme, es conveniente usar el calibre Landau,\[ \vec{A}(x,y,z)=(-By,0,0) \label{6.1.23}\]

dando un campo constante\(B\) en la dirección z. La ecuación es\[ H\psi(x,y)=\left[ \frac{1}{2m}(p_x+qBy/c)^2+\frac{p^2_y}{2m}\right] \psi(x,y)=E\psi(x,y). \label{6.1.24}\]

Tenga en cuenta que x no aparece en este hamiltoniano, por lo que es una coordenada cíclica, y\(p_x\) se conserva. En otras palabras, esto\(H\) conmuta con\(p_x\), así\(H\) y\(p_x\) tienen un conjunto común de autoestados. Sabemos que los autoestados de\(p_x\) son solo las ondas planas\(e^{ip_xx/\hbar}\), por lo que los autoestados comunes deben tener la forma:\[ \psi(x,y)=e^{ip_xx/\hbar}\chi (y). \label{6.1.25}\]

Operando en esta función de onda con el hamiltoniano, el operador\(p_x\) que aparece en\(H\) simplemente da su propio valor. Es decir, ¡el\(p_x\) in\(H\) solo se convierte en un número! Por lo tanto\(p_y=-i\hbar d/dy\), al escribir, el componente y\(\chi (y)\) de la función ondasatisface:\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dy^2}\chi (y)+\frac{1}{2}m\left( \frac{qB}{mc}\right)^2(y-y_0)^2\chi (y)=E\chi (y) \label{6.1.26}\]

donde\[ y_0=-cp_x/qB. \label{6.1.27}\]

Ahora vemos que el impulso canónico conservado\(p_x\) en la dirección x es en realidad la coordenada del centro de un simple oscilador armónico potencial en la dirección y! Este simple oscilador armónico tiene frecuencia\(\omega =|q|B/mc\), por lo que los valores permitidos de energía para una partícula en un plano en un campo magnético perpendicular son:\[ E=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega =(n+\frac{1}{2})\hbar |q|B/mc. \label{6.1.28}\]

La frecuencia es, por supuesto, la frecuencia del ciclotrón, la del electrón clásico en una órbita circular en el campo (dada por\(mv^2/r=qvB/c,\; \omega =v/r=qB/mc\)).

Vamos a confinar nuestra atención a los estados correspondientes al estado del oscilador más bajo,\(E=\frac{1}{2}\hbar \omega\). ¿Cuántos estados de este tipo hay? Considere un cuadrado de conductor, área y\(A=L_x\times L_y\), por simplicidad, tome condiciones de límite periódicas. El centro de la función de onda del oscilador\(y_0\) debe estar entre 0 y\(L_y\). Pero recuerda eso\(y_0=-cp_x/qB\), y con condiciones de contorno periódicas\(e^{ip_xL_x/\hbar} =1\), así\(p_x=2n\pi\hbar /L_x=nh/L_x\). Esto significa que\(y_0\) toma una serie de valores discretos espaciados uniformemente, separados por\[ \Delta y_0=ch/qBL_x. \label{6.1.29}\]

Entonces el número total de estados\(N=L_y/\Delta y_0\),\[ N=\frac{L_xL_y}{\left( \frac{hc}{qB}\right)}=A\cdot \frac{B}{\Phi_0}, \label{6.1.30}\]

donde\(\Phi_0\) se llama el “flujo cuántico”. Entonces, el número total de estados en el nivel de energía más bajo\(E=\frac{1}{2}\hbar \omega\) (generalmente referido como el nivel más bajo de Landau, o LLL) es exactamente igual al número total de cuantos de flujo que componen el campo que\(B\) penetra en el área\(A\).

Es instructivo encontrar a\(y_0\) partir de un análisis puramente clásico.

Escribir\(m\dot{\vec{v}}=\frac{q}{c}\vec{v}\times \vec{B}\) en componentes,

\[ \begin{matrix} m\ddot{x}=\frac{qB}{c}\dot{y},\\ m\ddot{y}=-\frac{qB}{c}\dot{x}. \end{matrix} \label{6.1.31}\]

Estas ecuaciones se integran trivialmente para dar:

\[ \begin{matrix} m\dot{x}=\frac{qB}{c}(y-y_0),\\ m\dot{y}=-\frac{qB}{c}(x-x_0) \end{matrix}. \label{6.1.32}\]

Aquí\((x_0, y_0)\) están las coordenadas del centro del movimiento circular clásico (el vector de velocidad siempre\(\dot{\vec{r}}=(\dot{x},\dot{y})\) es perpendicular a\((\vec{r}-\vec{r}_0)\)), y\(\vec{r}_0\) viene dado por

\[ \begin{matrix} y_0=y-cmv_x/qB=-cp_x/qB\\ x_0=x+cmv_y/qB=x+cp_y/qB. \end{matrix} \label{6.1.33}\]

(Recordemos que estamos usando el medidor\(\vec{A}(x,y,z)=(-By,0,0)\), y\(p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=mv_x+\frac{q}{c}A_x\), etc.)

Así como\(y_0\) es una cantidad conservada, así es\(x_0\): se desplaza con el hamiltoniano desde

\[ [x+cp_y/qB,p_x+qBy/c]=0. \label{6.1.34}\]

Sin embargo,\(x_0\) y\(y_0\) no viajen entre sí:\[ [x_0,y_0]=-i\hbar c/qB. \label{6.1.35}\]

Es por ello que, cuando elegimos un calibre en el que\(y_0\) estaba claramente definido,\(x_0\) se extendió sobre la muestra. Si intentamos localizar el punto lo mejor\((x_0, y_0)\) posible, se difumina sobre un área esencialmente ocupada por un flujo cuántico. La escala de longitud natural del problema es, por lo tanto, la longitud magnética definida por\[ l=\sqrt{\frac{\hbar c}{qB}}. \label{6.1.36}\]

Referencias: la mecánica clásica al principio es similar a la presentación de Shankar, la mecánica cuántica se acerca más a la de Landau.