10.2: Teoría de Más Dispersión - Ondas Parciales

Ondas Planas y Ondas Parciales

Estamos considerando la solución a la ecuación de Schrödinger para la dispersión de una onda plana entrante en la dirección z por un potencial localizado en una región cercana al origen, de manera que la función de onda total más allá del rango del potencial tenga la forma\[ \psi(r,\theta,\varphi)= e^{ikr\cos\theta}+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r}. \label{10.2.1}\]

La normalización general no es motivo de preocupación, sólo nos interesa la fracción de la onda entrante que se dispersa. Claramente, la corriente saliente generada por la dispersión en un ángulo sólido\(d\Omega\) en ángulo\(\theta, \varphi\) se\(|f(\theta,\varphi)|^2d\Omega\) multiplica por un factor de velocidad que también aparece en la onda entrante.

Muchos potenciales en la naturaleza son esféricamente simétricos, o casi así, y desde el punto de vista de un teórico sería bueno que los experimentalistas pudieran explotar esta simetría disponiendo para enviar ondas esféricas correspondientes a diferentes momentos angulares en lugar de romper la simetría eligiendo un particular dirección. Desafortunadamente, esto es difícil de arreglar, y debemos estar satisfechos con la simetría acimutal restante de las rotaciones alrededor de la dirección del haz entrante.

De hecho, sin embargo, un análisis completo de las ondas dispersas salientes de una onda plana entrante produce la misma información que la dispersión de ondas esféricas. Esto se debe a que una onda plana en realidad se puede escribir como una suma sobre ondas esféricas:\[ e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}=e^{ikr\cos\theta}=\sum_l i^l(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos\theta) \label{10.2.2}\]

Visualizando esta onda plana que fluye más allá del origen, es claro que en términos esféricos la onda plana contiene ondas esféricas tanto entrantes como salientes. Como discutiremos con más detalle en las próximas páginas, la función real\(j_l(kr)\) es una onda estacionaria, compuesta por ondas entrantes y salientes de igual amplitud.

Estamos, obviamente, interesados únicamente en las ondas esféricas salientes que se originan por dispersión desde el potencial, por lo que debemos tener cuidado de no confundir los componentes de onda saliente preexistentes de la onda plana con las nuevas ondas salientes generadas por el potencial.

Las funciones radiales\(j_l(kr)\) que aparecen en la expansión anterior de una onda plana en sus componentes esféricos son las funciones esféricas de Bessel, discutidas a continuación. La simetría rotacional azimutal de la onda plana+ potencial esférico alrededor de la dirección de la onda entrante asegura que la dependencia angular de la función de onda sea justa\(P_l(\cos\theta)\), no\(Y_{lm}(\theta,\varphi)\). El coeficiente\(i^l(2l+1)\) se deriva en Landau y Lifshitz,\(\S\) 34, comparando el coeficiente de\((kr\cos\theta)^n\) en los dos lados de la ecuación: como veremos a continuación,\((kr)^n\) no aparece en\(j_l(kr)\) para\(l\) mayor que\(n\), y\((\cos\theta)^n\) no aparece en\(P_l(\cos\theta)\) por\(l\) menos de\(n\), por lo que la combinación\((kr\cos\theta)^n\) solo ocurre una vez, en el\(n^{th}\) término, y los coeficientes en ambos lados de la ecuación pueden ser emparejados. (Para obtener el coeficiente correcto, por supuesto, debemos especificar las normalizaciones para la función de Bessel —ver abajo— y el polinomio Legendre.)

Intervalo matemático: las funciones esféricas de Bessel y Neumann

La onda plana\(e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\) es una solución trivial de la ecuación de Schrödinger con potencial cero, y por lo tanto, dado que la\(P_l(\cos\theta)\) forma un conjunto linealmente independiente, cada término\(j_l(kr)P_l(\cos\theta)\) en la serie de ondas planas debe ser en sí mismo una solución a la ecuación de Schrödinger de potencial cero. De ello se deduce que\(j_l(kr)\) satisface la ecuación de Schrödinger radial de potencial cero:\[ \frac{d^2}{dr^2}R_l(r)+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}R_l(r)+\left( k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right) R_l(r)=0. \label{10.2.3}\]

Los\(R_l(r)=u_l(r)/r\) rendimientos de sustitución estándar\[ \frac{d^2u_l(r)}{dr^2}+\left( k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)u(r)=0 \label{10.2.4}\]

Para el caso simple\(l=0\) las dos soluciones son\(u_0(r)=\sin kr,  \cos kr.\) Las funciones radiales correspondientes\(R_0(r)\) son (aparte de las constantes generales) las funciones de Bessel y Neumann de orden cero respectivamente.

La normalización estándar para la función Bessel de orden cero es\[ j_0(kr)=\frac{\sin kr}{kr}, \label{10.2.5}\]

y la función Neumann de orden cero\[ n_0(kr)=-\frac{\cos kr}{kr}. \label{10.2.6}\]

Tenga en cuenta que la función Bessel es la que se porta bien en el origen: podría generarse integrando desde el origen con condiciones de límite iniciales de valor uno, pendiente cero.

Aquí hay una trama de\(j_0(kr)\) y\(n_0(kr)\) de\(kr=0.1\; to\; 20\):

Para distinto de cero\(l\), cerca del origen\(R_l(r)\sim r^l\) o\(\sim r^{-(l+1)}\). La\(\sim r^l\) solución de buen comportamiento es la función Bessel, la función singular la función Neumann. A continuación se dan las normalizaciones estándar de estas funciones.

Aquí están\(j_5(kr)\) y\(j_{50}(kr)\):

Derivación detallada de las funciones de Bessel y Neumann

Esta subsección solo está aquí para ser completa. Utilizamos la variable adimensional\(\rho=kr\).

Para encontrar las\(l\) soluciones superiores, seguimos un ingenioso truco dado en Landau y Lifshitz (\(\S\)33).

Factorizar el\(\rho^l\) comportamiento cerca del origen escribiendo\[ R_l=(\rho)^l\chi_l(\rho). \label{10.2.7}\]

La función\(\chi_l(\rho)\) satisface\[ \frac{d^2}{d\rho^2}\chi_l(\rho)+\frac{2(l+1)}{\rho}\frac{d}{d\rho}\chi_l(\rho)+\chi_l(\rho)=0. \label{10.2.8}\]

El truco es diferenciar esta ecuación con respecto a\(\rho\):\[ \frac{d^3}{d\rho^3}\chi_l(\rho)+\frac{2(l+1)}{\rho}\frac{d^2}{d\rho^2}\chi_l(\rho)+\left( 1-\frac{2(l+1)}{\rho^2}\right)\frac{d}{d\rho}\chi_l(\rho)=0. \label{10.2.9}\]

Escribiendo puramente formalmente\(\frac{d}{d\rho}\chi_l(\rho)=\rho\chi_{l+1}(\rho)\), la ecuación se convierte\[ \frac{d^2}{d\rho^2}\chi_{l+1}(\rho)+\frac{2(l+2)}{\rho}\frac{d}{d\rho}\chi_{l+1}(\rho)+\chi_{l+1}(\rho)=0. \label{10.2.10}\]

¡Pero esta es la ecuación que\(\chi_{l+1}(\rho)\) debe obedecer! Entonces tenemos una fórmula de recursión para generar todo el\(j_l(\rho)\) desde el cero uno:\(\chi_{l+1}(\rho)=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\chi_l(\rho)\), y\(j_l(\rho)=(\rho)^l\chi_l(\rho)\), hasta una constante de normalización fijada por convención.

De hecho, la normalización estándar es\[ j_l(\rho)=(-\rho)^l\left(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right)^l\left(\frac{\sin\rho}{\rho}\right). \label{10.2.11}\]

Ahora\[ (\sin\rho)/\rho=\sum_0^{\infty} (-1)^n\rho^{2n}/(2n+1)! \label{10.2.12}\]

Esta es una suma de sólo incluso poderes de\(\rho\). Se comprueba fácilmente que operar en esta serie con nunca\(\left(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right)^l\) puede generar ninguna potencia negativa de\(\rho\). De ello se deduce que\(j_l(\rho)\), escrito como una serie de poder en\(\rho\), tiene término principal proporcional a\(\rho^l\). El coeficiente de este término principal se puede encontrar aplicando el operador diferencial a la serie para\((\sin\rho)/\rho\),\[ j_l(\rho)\sim \frac{\rho^l}{(2l+1)!!} \; as \; \rho\to0. \label{10.2.13}\]

Este\(r^l\) comportamiento cerca del origen es la solución habitual de buen comportamiento a la ecuación de Schrödinger en la región donde domina el término centrífugo.

Tenga en cuenta que el pequeño\(\rho\) comportamiento no es inmediatamente evidente a partir de la presentación habitual de los\(j_l(\rho)\)'s, escrita como una mezcla de poderes y funciones trigonométricas, por ejemplo\[ j_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho},\;\; j_2(\rho)=\left( \frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3\cos\rho}{\rho^2}, \; etc. \label{10.2.14}\]

Pasando ahora al comportamiento de los\(j_l(\rho)\)'s para grandes\(\rho\), desde\[ j_l(\rho)=(-\rho)^l\left(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right)^l\left(\frac{\sin\rho}{\rho}\right) \label{10.2.15}\]

es evidente que el término dominante en el\(\rho\) régimen grande (el de orden\(1/\rho\)) se genera diferenciando solo la función trigonométrica en cada paso. Cada diferenciación de este tipo puede verse como equivalente a multiplicar por (-1) y restar\(\pi /2\) del argumento, por lo que\[ j_l(\rho)\to \frac{1}{\rho}\sin\left(\rho-\frac{l\pi}{2}\right) \; as\; \rho\to\infty . \label{10.2.16}\]

Estas\(j_l(\rho)\), entonces, son las soluciones físicas de onda parcial a la ecuación de Schrödinger con potencial cero. Cuando se enciende un potencial, la función de onda cerca del origen sigue siendo\(\sim \rho^l\) (suponiendo, como siempre lo hacemos, que el potencial es insignificante en comparación con el\(l(l+1)/\rho^2\) término suficientemente cercano al origen). La función de onda más allá del rango del potencial se puede encontrar numéricamente en principio integrándose desde el origen, y de hecho será como\(j_l(\rho)\) arriba excepto que habrá un factor de fase extra, llamado el “desplazamiento de fase” y denotado por\(\delta\)) en el seno. La importancia de esto es que en la región lejana, la función de onda es una combinación lineal de la función de Bessel y la función de Neumann (la solución a la ecuación de Schrödinger de potencial cero singular en el origen). Por lo tanto, es necesario revisar también las funciones de Neumann.

Como se indicó anteriormente, la función\(l=0\) Neumann es\[ n_0(\rho)=-\frac{\cos\rho}{\rho}, \label{10.2.17}\]

siendo el signo menos la convención estándar.

Un argumento paralelo al anterior para las funciones de Bessel establece que las funciones Neumann de orden superior vienen dadas por:\[ n_l(\rho)=(-\rho)^l\left(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right)^l\left(-\frac{\cos\rho}{\rho}\right). \label{10.2.18}\]

Cerca del origen\[ n_l(\rho)\sim \frac{(2l-1)!!}{\rho^{l+1}} \; as\; \rho\to0 \label{10.2.19}\]

y para grandes\(\rho\)\[ n_l(\rho)\to -\frac{1}{\rho}\cos\left(\rho-\frac{l\pi}{2}\right)\; as\; \rho\to\infty , \label{10.2.20}\]

por lo que una función de la forma\(\frac{1}{\rho}\sin\left(\rho-\frac{l\pi}{2}+\delta\right)\) asintóticamente puede escribirse como una combinación lineal de las funciones de Bessel y Neumann en esa región.

Finalmente, las funciones esféricas de Hankel son solo las combinaciones de funciones de Bessel y Neumann que parecen ondas planas salientes o entrantes en la región asintótica:\[ h_l(\rho)=j_l(\rho)+in_l(\rho),\;\; h_l^*(\rho)=j_l(\rho)-in_l(\rho), \label{10.2.21}\]

así que para grandes\(\rho\),\[ h_l(\rho)\to \frac{e^{i(\rho-l\pi /2)}}{i\rho},\;\; h_l^*(\rho)\to -\frac{e^{-i(\rho-l\pi /2)}}{i\rho}. \label{10.2.22}\]

La matriz de dispersión de onda parcial

Imaginemos por un momento que podríamos simplemente enviar una onda esférica (independiente del tiempo), con variación\ theta dada por\(P_l(\cos\theta)\). Para esta onda\(l^{th}\) parcial (disminuyendo las constantes de normalización generales como de costumbre) la función radial lejos del origen para el potencial cero es\[ j_l(kr)\to \frac{1}{kr}\sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right)=\frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-i(kr-l\pi /2)}}{r}-\frac{e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r}\right). \label{10.2.23}\]

Si ahora se activa el potencial (esféricamente simétrico), el único cambio posible a esta solución de onda estacionaria en la región lejana (donde el potencial es cero) es un cambio de fase\(\delta\):\[ \sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}\right)\to \sin\left(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l(k)\right). \label{10.2.24}\]

Esto es lo que encontraríamos al integrar la ecuación de Schrödinger a partir del comportamiento no singular en el origen.

Pero en la práctica, se da la onda entrante, y su fase no puede verse afectada al encender el potencial. Sin embargo, aún debemos tener la solución a la misma ecuación de Schrödinger, así que para coincidir con el resultado anterior multiplicamos toda la función de onda parcial por el factor de fase\(e^{i\delta_l(k)}\). El resultado es poner dos veces el cambio de fase sobre la onda saliente, de manera que cuando se enciende el potencial el cambio en la función de onda asintótica debe ser\[ \frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-i(kr-l\pi /2)}}{r}-\frac{e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r}\right)\to \frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-i(kr-l\pi /2)}}{r}-\frac{S_l(k)e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r}\right). \label{10.2.25}\]

Esta ecuación introduce la matriz de dispersión\[ S_l(k)=e^{2i\delta_l(k)}, \label{10.2.26}\]

que debe estar en el círculo unitario\(|S|=1\) para conservar la probabilidad—la corriente saliente debe ser igual a la corriente entrante. Si no hay dispersión, es decir, desplazamiento de fase cero, la matriz de dispersión es unidad.

Cabe señalar que cuando la ecuación radial de Schrödinger se resuelve para un potencial distinto de cero integrándose desde el origen, con\(\psi=0\) e\(\psi′=1\) inicialmente, la función real así generada difiere de la función de onda dada anteriormente por un factor de fase global\(e^{i\delta_l(k)}\).

Dispersión de una onda plana

Ahora estamos listos para tomar la onda plana entrante, dividirla en sus componentes de onda parcial correspondientes a diferentes momentos angulares, hacer que las ondas parciales se desplacen individualmente en fases dependientes, y agregarlo todo de nuevo para obtener la onda plana original más la onda dispersa.\(l\)

Aquí sólo nos interesa la función de onda lejos del potencial. En esta región, la onda plana original es\[ \begin{matrix} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}=e^{ikr\cos\theta}=\sum_l i^l(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos\theta) \\ =\sum_l i^l(2l+1)\frac{i}{2k}(\frac{e^{-i(kr-l\pi /2)}}{r}-\frac{e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r})P_l(\cos\theta). \end{matrix}\label{10.2.27}\]

El encendido de los desplazamientos de fase potenciales factoriza la onda saliente:\[ \frac{e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r}\to \frac{S_l(k)e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r} \label{10.2.28}\]

La dispersión real por el potencial es la diferencia entre estos dos términos. Por lo tanto, la función de onda completa en la región lejana (incluida la onda plana entrante) es:\[ \psi(r,\theta,\varphi)=e^{ikr\cos\theta}+\left(\sum_l(2l+1)\frac{(S_l(k)-1)}{2ik}P_l(\cos\theta)\right)\frac{e^{ikr}}{r}. \label{10.2.29}\]

El\(i^l\) factor canceló el\(e^{-il\pi /2}\). El -1 adentro\((S_l(k)-1)\) está ahí porque la dispersión cero significa\(S=1\). Alternativamente, podría considerarse como restando las ondas salientes ya presentes en la onda plana, como se discutió anteriormente. No\(\varphi\) hay dependencia ya que con el potencial esféricamente simétrico todo el problema es azimutalmente simétrico sobre la dirección de la onda entrante.

Quizás valga la pena mencionar que para dispersar en una sola onda parcial, la corriente saliente es igual a la corriente entrante, haya o no un desplazamiento de fase. Entonces, si encender el potencial no afecta la corriente total dispersada en alguna onda parcial, ¿cómo puede causar alguna dispersión? El punto es que para una onda plana entrante con potencial cero, los componentes entrante y saliente tienen la fase relativa correcta para agregar a un componente de una onda plana, tal vez una tautología. Pero si solo se introduce una fase extra en la onda saliente, el entrante + saliente ya no dará una onda plana —habrá una parte saliente extra proporcional a\((S_l(k)-1)\).

Recordemos que la amplitud de dispersión se\(f(\theta,\varphi)\) definió en términos de la solución a la ecuación de Schrödinger que tiene una onda plana entrante por\[ \psi(r,\theta,\varphi)=e^{ikr\cos\theta}+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r}. \label{10.2.30}\]

Ahora estamos listos para expresar la amplitud de dispersión en términos de los desplazamientos parciales de fase de onda (para un potencial esféricamente simétrico, por supuesto):\[ f(\theta,\varphi)=f(\theta)=\sum_l(2l+1)\frac{(S_l(k)-1)}{2ik} P_l(\cos\theta)=\sum_l(2l+1)f_l(k)P_l(\cos\theta) \label{10.2.31}\]

donde\[ f_l(k)=\frac{1}{k}e^{i\delta_l(k)}\sin\delta_l(k) \label{10.2.32}\]

se llama la amplitud de dispersión de onda parcial, o simplemente la amplitud de onda parcial.

Entonces la amplitud de dispersión total es la suma de estas amplitudes de onda parciales:\[ f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_l(2l+1)e^{i\delta_l(k)}\sin\delta_l(k)P_l(\cos\theta). \label{10.2.33}\]

La sección transversal de dispersión total\[ \begin{matrix} \sigma =\int |f(\theta)|^2d\Omega \\ =2\pi \int_0^{\pi} |f(\theta)|^2\sin\theta d\theta \\ =2\pi \int_0^{\pi}  |\frac{1}{k}\sum_l(2l+1)e^{i\delta_l(k)}\sin\delta_l(k)P_l(\cos\theta)|^2​\sin\theta d\theta \end{matrix} \label{10.2.34}\]

da\[ \sigma =4\pi \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)|f_l(k)|^2=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)\sin^2\delta_l.\label{10.2.35}\]

Entonces, la sección transversal total es la suma de las secciones transversales para cada\(l\) valor. Sin embargo, esto no significa que la sección transversal diferencial para dispersarse en un ángulo sólido dado sea una suma sobre\(l\) valores separados, los diferentes componentes interfieren. Es solo cuando todos los ángulos están integrados sobre eso la ortogonalidad de los polinomios de Legendre garantiza que los términos cruzados desaparezcan.

Observe que la máxima sección transversal de dispersión posible para partículas en estado de momento angular\(l\) es\((4\pi /k^2)(2l+1)\), que es cuatro veces la sección transversal clásica para esa onda parcial que incide, digamos, en una esfera dura! (Imagínese semiclásicamente partículas en un área anular: momento angular\(L=rp\), digamos, pero\(L=\hbar l\) y\(p=\hbar k\) así\(l=rk\). Por lo tanto, el área anular correspondiente al momento angular “entre”\(l\) y\(l+1\) tiene radios internos y externos\(l/k\)\((l+1)/k\) y por lo tanto área\(\pi (2l+1)/k^2\).) El resultado cuántico es esencialmente un efecto difractivo, lo discutiremos más adelante.

Es fácil probar el teorema óptico para un potencial esféricamente simétrico: solo toma la parte imaginaria de cada lado de la ecuación\[ f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_l(2l+1)e^{i\delta_l(k)}\sin\delta_l(k)P_l(\cos\theta) \label{10.2.36}\]

en\(\theta=0\), usando\(P_l(1)=1\),\[ Im\, f(\theta=0)=\frac{1}{k}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l(k) \label{10.2.37}\]

del que\(Im\, f(0)=k\sigma /4\pi\) sigue inmediatamente el teorema óptico.

También vale la pena señalar lo que\(S_l^{\dagger}S_l=1\) implica la unitariedad de la matriz de dispersión de onda\(l^{th}\) parcial para la amplitud de onda parcial\(f_l(k)=\frac{1}{k}e^{i\delta_l(k)}\sin\delta_l(k)\). Dado que\(S_l(k)=e^{2i\delta_l(k)}\), se deduce que\[ S_l(k)=1+2ikf_l(k). \label{10.2.38}\]

A partir de esto,\(S_l^{\dagger}S_l=1\) da:\[ Im\, f_l(k)=k|f_l(k)|^2. \label{10.2.39}\]

Esto se puede poner más simple:\[Im\, \frac{1}{f_l(k)}=-k. \label{10.2.40}\]

De hecho,\[ f_l(k)=\frac{1}{k(\cot\delta_l(k)-i)}. \label{10.2.41}\]

Desplazamientos de fase y potenciales: algunos ejemplos

Suponemos en esta sección que el potencial se puede tomar como cero más allá de algún radio límite\(b\). Esta es una aproximación adecuada para todos los potenciales encontrados en la práctica excepto el potencial Coulomb, que se discutirá por separado más adelante.

Aintóticamente, entonces,\[ \begin{matrix} \psi_l(r)=\frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-i(kr-l\pi /2)}}{r}-\frac{e^{2i\delta_l(k)}e^{+i(kr-l\pi /2)}}{r}\right) \\ =\frac{e^{i\delta_l(k)}}{kr}\sin(kr+\delta_l(k)-l\pi /2) \\ =\frac{e^{i\delta_l(k)}}{kr}(\sin(kr-l\pi /2)\cos\delta_l(k)+\cos(kr-l\pi /2)\sin\delta_l(k)). \end{matrix} \label{10.2.42}\]

Esta expresión solo es exacta en el límite\(r\to \infty\), pero dado que el potencial se puede tomar cero más allá\(r=b\), la función de onda debe tener la forma\[ \psi_l(r)=e^{i\delta_l(k)}(\cos\delta_l(k)j_l(kr)-\sin\delta_l(k)n_l(kr)) \label{10.2.43}\]

para\(r>b\).

(El signo - proviene de la convención estándar para las funciones de Bessel y Neumann, ver más arriba).

La esfera dura

El ejemplo más simple de un potencial de dispersión:\[ \begin{matrix} V(r)=\infty \; for\; r<R, \\ V(r)=0\; for\; r\ge R. \end{matrix}\label{10.2.44}\]

La función de onda debe ser igual a cero en\(r=R\), por lo que a partir de la forma anterior de\(\psi_l(r)\),\[ \tan\delta_l(k)=\frac{j_l(kR)}{n_l(kR)} .\label{10.2.45}\]

Para\(l=0\),\[ \tan\delta_0(k)=-\frac{(\sin kR)/kR}{(\cos kR)/kR}=-\tan kR, \label{10.2.46}\]

así\(\delta_0(k)=-kR\). Esto equivale a que la función de onda se mueva efectivamente para comenzar en\(R\) lugar de en el origen:\[ \frac{\sin kr}{kr}\to \frac{\sin k(r+\delta)}{kr}=\frac{\sin k(r-R)}{kr} \label{10.2.47}\]

para\(r>R\), por supuesto\(\psi=0\) para\(r<R\).

Para estados de momento angular más altos a bajas energías\(( kR\ll 1 )\),\[ \tan\delta_l(k)=\frac{j_l(kR)}{n_l(kR)}\approx \frac{-(kR)^l/(2l+1)!!}{(2l-1)!!/(kR)^{l+1}}=-\frac{(kR)^{2l+1}}{(2l+1)((2l-1)!!)^2}. \label{10.2.48}\]

Por lo tanto, a una energía lo suficientemente baja, solo la\(l=0\) dispersión es importante, como es obvio, ya que una partícula entrante con momento\(p=\hbar k\) y momento angular\(l\hbar\) es muy probable que esté a una\(l/k\) distancia del centro del potencial en la aproximación más cercana, así que si esto es mucho mayor que\(R\), el desplazamiento de fase será pequeño.

La aproximación nacida para las ondas parciales

De la definición de\(f(\theta,\varphi)\)\[ \psi_{\vec{k}}(\vec{r})=e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r} \label{10.2.49}\]

y\[ \psi_{\vec{k}}(\vec{r})=e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}-\frac{m}{2\pi \hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r}\int d^3 r'e^{-i \vec{k}_f\cdot\vec{r}'}V(\vec{r}') \psi_{\vec{k}}(\vec{r}') \label{10.2.50}\]

recordar la aproximación Born equivale a reemplazar la función de onda\(\psi_{\vec{k}}(\vec{r}')\) en la integral de la derecha por la onda plana entrante, ignorando así rescatar.

Para traducir esto en una aproximación de onda parcial, primero tomamos el entrante\(\vec{k}\) para que esté en la dirección z, así que en el\(\psi_{\vec{k}}(\vec{r}')\) integrando reemplazamos por\[ e^{ikr'\cos\theta}=\sum_l i^l(2l+1)j_l(kr')P_l(\cos\theta'). \label{10.2.51}\]

Etiquetar el ángulo entre\(\vec{k}_f\) y\(\vec{r}'\) por\(\gamma\),\[ e^{-i \vec{k}_f\cdot\vec{r}'}=\sum_l(-i)^l(2l+1)j_l(kr')P_l(\cos\gamma). \label{10.2.52}\]

Ahora \(\vec{k}_f\)está en la dirección\((\theta,\varphi)\) y\(\vec{r}'\) en la dirección\((\theta',\varphi')\), y\(\gamma\) es el ángulo entre ellas. Para esta situación, existe un teorema de suma para armónicos esféricos:\[ P_l(\cos\gamma)=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^{l} Y^∗_{lm}(\theta',\varphi')Y_{lm}(\theta,\varphi). \label{10.2.53}\]

Al insertar esta expresión e integrarse sobre\(\theta',\varphi'\), los\(m\) términos distintos de cero dan cero, de hecho el único término distinto de cero es aquel con el\(l\) mismo que el término en la\(\psi_{\vec{k}}(\vec{r}')\) expansión, dando\[ f(\theta)=\frac{-2m}{\hbar^2}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)P_l(\cos\theta)\int_0^{\infty} r^2drV(r)(j_l(kr))^2 \label{10.2.54}\]

y recordando\[ f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_l(2l+1)e^{i\delta_l(k)}\sin\delta_l(k)P_l(\cos\theta) \label{10.2.55}\]

se deduce que para pequeños desplazamientos de fase (el único lugar en el que es válido) la aproximación Born de onda parcial dice\[ \delta_l(k)\approx -\frac{2mk}{\hbar^2}\int_0^{\infty} r^2drV(r)(j_l(kr))^2. \label{10.2.56}\]

Dispersión de baja energía: la longitud de dispersión

Desde

\[ f_l(k)=\frac{1}{k(\cot\delta_l(k)-i)}, \label{10.2.41B}\]

la sección\(l=0\) transversal es

\[ \sigma_{l=0}=\frac{4\pi}{k^2|\cot\delta_0(k)-i|^2}. \label{10.2.57}\]

A la energía\(E\to0\), la ecuación radial de Schrödinger para\(u=r\psi\) alejarse del potencial se convierte\(d^2u/dr^2=0\), con una solución en línea recta\(u(r)=C(r-a)\). Este debe ser el\(k\to 0\) límite de\(u(r)=C′\sin(kr+\delta_0(k))\), que solo puede ser correcto si en sí mismo\(\delta_0\) es lineal en\(k\) lo suficientemente pequeño\(k\), y luego debe ser\(\delta_0(k)=-ka\), un ser el punto en el que la onda externa extrapolada cruza el eje (¡tal vez en negativo\(r\)!) Entonces, como\(k\) va a cero, el término cuna domina en el denominador y\[ \sigma_{l=0}(k\to 0)=4\pi a^2.\label{10.2.58}\]

La cantidad a se llama longitud de dispersión.

Integrando la ecuación de Schrödinger radial de energía cero desde\(u(r)=0\) el origen para un potencial de pozo cuadrado débil (esférico), es fácil verificar que a es positivo para potencial\(a\) repulsivo, negativo para un potencial atractivo.

Potencial repulsivo, función de onda de energía cero (¡así que es una línea recta fuera del pozo!) :

Potencial atractivo:

Al aumentar la fuerza del potencial repulsivo, aún resolviendo para la función de onda de energía cero,\(a\) tiende a la pared potencial, aquí está la función de onda de energía cero para una barrera de altura 6:

Para una barrera infinitamente alta, la función de onda se empuja completamente fuera de la barrera y se recupera el resultado de la esfera dura: longitud de dispersión\(a\), sección transversal\(4\pi a^2\).

Al aumentar la fuerza del pozo atractivo, si hay un cambio de fase mayor que\(\pi /2\) dentro del pozo, se\(a\) volverá positivo. De hecho, justo en\(\pi /2\), ¡\(a\)es infinito!

Y un poco más de profundidad al pozo le da una longitud de dispersión positiva:

De hecho, un pozo lo suficientemente profundo como para tener una longitud de dispersión positiva también tendrá un estado ligado. Esto se hace evidente cuando se considera que la profundidad a la que la longitud de dispersión se vuelve infinita puede considerarse que tiene formalmente un estado de límite de energía cero, en que aunque la función de onda exterior no es normalizable, es equivalente a una función de descomposición exponencial con longitud de decaimiento infinito. Si ahora se profundiza un poco el pozo, la función de onda de energía cero dentro del pozo se curva un poco más rápidamente, por lo que la pendiente de la función de onda en el borde del pozo se vuelve negativa, como en la imagen de arriba. Con este pozo un poco más profundo, ahora podemos bajar ligeramente la energía a valores negativos. Esto tendrá poco efecto en la función de onda dentro del pozo, pero hará posible un ajuste en el borde del pozo a una decadencia exponencial exterior, un estado de unión genuino, con función de onda\(\sim e^{-\kappa r}\) fuera del pozo.

Si la energía de unión del estado es realmente baja, la función de onda de dispersión de energía cero dentro del pozo es casi idéntica a la de este estado ligado de muy baja energía, y en particular la derivada logarítmica en la pared estará muy cerca, por lo que\(\kappa \cong 1/a\), teniendo\(a\) que ser mucho mayor que la radio del pozo.

Esto conecta la gran longitud de dispersión con la energía del estado débilmente ligado,\[ B. E. =\hbar^2k^2/2m=\hbar^2/2ma^2. \label{10.2.59}\]

Wigner fue el primero en usar esto para estimar la energía de unión del deuterón a partir de la sección transversal observada para dispersión neutrón-protón de baja energía.