10.4: Partículas Idénticas- Simetría y Dispersión

Introducción

Para dos partículas idénticas confinadas a una caja unidimensional, establecimos anteriormente que la función de onda normalizada de dos partículas\(\psi(x_1,x_2)\), lo que da la probabilidad de encontrar simultáneamente una partícula en una longitud infinitesimal\(dx_1\)\(dx_2\) en\(x_1\) y otra adentro\(x_2\) como \(|\psi(x_1,x_2)|^2dx_1dx_2\), sólo tiene sentido si\(|\psi(x_1,x_2)|^2=|\psi(x_2,x_1)|^2\), ya que no sabemos cuál de las dos partículas indistinguibles estamos encontrando dónde. De esto se deduce que existen dos posibles simetrías de función de onda:\(\psi(x_1,x_2)=\psi(x_2,x_1)\) o\(\psi(x_1,x_2)=-\psi(x_2,x_1)\). Resulta que si dos partículas idénticas tienen una función de onda simétrica en algún estado, las partículas de ese tipo siempre tienen funciones de onda simétrica, y se llaman bosones. (Si en algún otro estado tuvieran una función de onda antisimétrica, entonces una superposición lineal de esos estados no sería ni simétrica ni antisimétrica, y así no podría satisfacer\(|\psi(x_1,x_2)|^2=|\psi(x_2,x_1)|^2\).) Del mismo modo, las partículas que tienen funciones de onda antisimétrica se denominan fermiones. (En realidad, podríamos tener en principio\(\psi(x_1,x_2)=e^{i\alpha}\psi(x_2,x_1)\), con\(\alpha\) una fase constante, pero entonces no volveríamos a la función de onda original al intercambiar las partículas dos veces. Algunas teorías bidimensionales utilizadas para describir el efecto Hall cuántico de hecho tienen excitaciones de este tipo, llamadas anyons, pero todas las partículas ordinarias son bosones o fermiones).

Para construir funciones de onda para tres o más fermiones, asumimos primero que los fermiones no interactúan entre sí, y están confinados por un potencial independiente del giro, como el campo Coulomb de un núcleo. El hamiltoniano será entonces simétrico en las variables de fermión,\[ H=\vec{p}^2_1/2m+\vec{p}^2_2/2m+\vec{p}^2_3/2m+\dots +V(\vec{r}_1)+V(\vec{r}_2)+V(\vec{r}_3)+\dots \tag{10.4.1}\]

y las soluciones de la ecuación de Schrödinger son productos de funciones propias del hamiltoniano de partícula única\(H=\vec{p}^2/2m+V(\vec{r})\). Sin embargo, estos productos, por ejemplo\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)\), no tienen la propiedad antisimetría requerida. Aquí\(a,b,c,\dots\) etiquetar los estados propios de una sola partícula, y\(1, 2, 3, \dots\) denotar tanto el espacio como las coordenadas de espín de partículas individuales, por lo que 1 representa\((\vec{r}_1,s_1)\). La antisimetrización necesaria para las partículas 1, 2 se logra restando la misma función de onda del producto con las partículas 1 y 2 intercambiadas, por lo que\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)\) se reemplaza por\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)-\psi_a(2)\psi_b(1)\psi_c(3)\), ignorando la normalización general por el momento.

Pero claro que la función de onda necesita ser antisimetrizada con respecto a todos los posibles intercambios de partículas, así que para 3 partículas debemos sumar las 3! permutaciones de 1, 2, 3 en el estado\(a,b,c\) con un factor -1 por cada intercambio de partículas necesario para llegar a un orden particular a partir del orden original de 1 en\(a\), 2\(b\) pulgadas y 3 pulgadas\(c\). De hecho, tal suma sobre permutaciones es precisamente la definición del determinante, entonces, con el factor de normalización apropiado:\[ \psi_{abc}(1,2,3)=\frac{1}{\sqrt{3!}}\begin{vmatrix} \psi_a(1)& \psi_b(1)& \psi_c(1) \\ \psi_a(2)& \psi_b(2)& \psi_c(2) \\ \psi_a(3)& \psi_b(3)& \psi_c(3) \end{vmatrix} \tag{10.4.2}\]

donde\(a,b,c\) etiquetan tres estados cuánticos (diferentes) y 1, 2, 3 marcan los tres fermiones. La forma determinante deja clara la antisimetría de la función de onda con respecto al intercambio de dos partículas cualesquiera, ya que el intercambio de dos filas de un determinante la multiplica por -1.

También vemos por la forma determinantal que los tres estados\(a,b,c\) deben ser todos diferentes, pues de lo contrario dos columnas serían idénticas, y el determinante sería cero. Esto es solo el Principio de Exclusión de Pauli: no pueden haber dos fermiones en el mismo estado. Aunque estas funciones de onda determinantes (a veces llamadas determinantes de Slater) solo son estrictamente correctas para fermiones que no interactúan, son un comienzo útil para describir electrones en átomos (o en un metal), con la repulsión electrón-electrón aproximada por un potencial de partícula única. Por ejemplo, el campo de Coulomb en un átomo, visto por los electrones externos, está parcialmente blindado por los electrones internos, y se\(V(r)\) puede construir uno adecuado de manera autoconsistente, calculando los autoestados de partícula única y encontrando sus densidades de carga asociadas.

Funciones de espacio y onda de giro

Supongamos que tenemos dos electrones en algún potencial independiente del giro\(V(r)\) (por ejemplo, en un átomo). Sabemos que la función de onda de dos electrones es antisimétrica. Ahora bien, el hamiltoniano no tiene dependencia de espín, por lo que debemos ser capaces de construir un conjunto de autoestados comunes del hamiltoniano, el giro total, y el\(z\) - componente del giro total.

Para dos electrones, hay cuatro estados básicos en el espacio de espín. Los autoestados de\(S\) y\(S_z\) son el estado singlete\[ \chi_S(s_1,s_2)  =  |S_{tot}=0,S_z=0\rangle   =  (1/\sqrt{2})(|\uparrow\downarrow\rangle -|\downarrow\uparrow\rangle ) \tag{10.4.3}\]

y el triplete afirma\[ \chi^1_T(s_1,s_2)  =  |1,1\rangle   =  |\uparrow\uparrow\rangle ,\;\; |1,0\rangle =  (1/\sqrt{2})(|\uparrow\downarrow\rangle +|\downarrow\uparrow\rangle ),\;\; |1,-1\rangle =|\downarrow\downarrow\rangle \tag{10.4.4}\]

donde la primera flecha en el ket se refiere al giro de la partícula 1, la segunda a la partícula 2.

Es evidente por inspección que la función de onda de giro singlete es antisimétrica en las dos partículas, la simétrica triplete. La función de onda total para los dos electrones en un estado propio común de\(S, S_z\) y el hamiltoniano\(H\) tiene la forma:\[ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,s_1,s_2)=\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\chi(s_1,s_2) \tag{10.4.5}\]

y\(\Psi\) deben ser antisimétricos. De ello se deduce que un par de electrones en el estado de espín singlete deben tener una función de onda espacial simétrica,\(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)=\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_1),\) mientras que los electrones en el estado triplete, es decir, con sus espines paralelos, tienen una función de onda espacial antisimétrica.

Consecuencias dinámicas de la simetría

Este requisito general de antisimetría determina realmente las propiedades magnéticas de los átomos. El momento magnético del electrón está alineado con su espín, y aunque las variables de espín no aparecen en el hamiltoniano, la energía de los autoestados depende de la orientación relativa del espín. Esto surge de la energía de repulsión electrostática entre los electrones. En el estado espacialmente antisimétrico, los dos electrones tienen cero probabilidades de estar en el mismo lugar, y en promedio están más separados que en el estado espacialmente simétrico. Por lo tanto, la repulsión electrostática eleva la energía del estado espacialmente simétrico por encima de la del estado espacialmente antisimétrico. De ello se deduce que el estado de menor energía tiene los giros apuntando en la misma dirección. Este argumento sigue siendo válido para más de dos electrones, y conduce a la regla de Hund para la magnetización de conchas internas de electrones incompletamente llenas en átomos de metales de transición y tierras raras: si la cáscara está medio llena o menos, todos los espines apuntan en la misma dirección. Este es el primer paso para entender el ferromagnetismo.

Otro ejemplo de la importancia de la antisimetría global de la función de onda para los fermiones lo proporciona el calor específico del gas hidrógeno. Esto resulta ser muy dependiente de si los dos protones (giro medio) en la molécula H ₂ tienen sus espines paralelos o antiparalelos, a pesar de que esa alineación implica sólo una energía de interacción muy pequeña. Si los espines protónicos son antiparalelos, es decir en estado singlete, la molécula se llama parahidrógeno. El estado triplete se llama ortohidrógeno. Estos dos gases distintos son notablemente estables: en ausencia de impurezas magnéticas, las transiciones para—orto tardan semanas.

La energía real de interacción de los espines de protones es, por supuesto, completamente insignificante en el calor específico. Las contribuciones importantes al calor específico son el término de energía cinética habitual, y la energía rotacional de la molécula. Aquí es donde juega un papel la función de onda antisimétrica general (espacio×espín) para los protones. Recordemos que la paridad de un estado con el momento angular rotacional\(l\) es\((-1)^l\). Por lo tanto, el parahidrógeno, con una función de onda de espín de protones antisimétrica, debe tener una función de onda espacial de protones simétrica, y por lo tanto solo puede tener valores pares del momento angular rotacional. El ortohidrógeno solo puede tener valores impares. La energía del nivel rotacional con momento angular\(l\) es\(E^{rot}_l=\hbar^2l(l+1)/I\), por lo que los dos tipos de gas hidrógeno tienen diferentes conjuntos de niveles de energía rotacional, y en consecuencia diferentes calores específicos.

Simetría de funciones de onda de tres electrones

Las cosas se ponen más complejas cuando vamos a tres electrones. Ahora hay 2 ³ = 8 estados básicos en el espacio de giro. Cuatro de estos son contabilizados por el estado de giro 3/2 con todos los giros apuntando en la misma dirección. Esto es evidentemente un estado simétrico, por lo que debe multiplicarse por una función de onda espacial antisimétrica, un determinante. Pero los otros cuatro estados son dos pares de\(1/2\) estados de giro totales. Son ortogonales al estado simétrico de giro 3/2, por lo que no pueden ser simétricos, pero tampoco pueden ser antisimétricos, ya que en cada uno de esos estados ¡dos de los giros deben estar apuntando en la misma dirección! Un ejemplo de tal estado (siguiendo a Baym, página 407) es\[ \chi(s_1,s_2,s_3)  =   |\uparrow_1\rangle (1/\sqrt{2})(|\uparrow_2\downarrow_3\rangle -|\downarrow_2\uparrow_3\rangle ). \tag{10.4.6}\]

Evidentemente, esto debe multiplicarse por una función de onda espacial simétrica en 2 y 3, pero para obtener una función de onda total con antisimetría general es necesario agregar más términos:\[ \Psi(1,2,3)=\chi(s_1,s_2,s_3)\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,\vec{r}_3)+\chi(s_2,s_3,s_1)\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_3,\vec{r}_1)+\chi(s_3,s_1,s_2)\psi(\vec{r}_3,\vec{r}_1, \vec{r}_2) \tag{10.4.7}\]

(de Baym). Requerir que la función\(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,\vec{r}_3)\) de onda espacial sea simétrica en 2, 3 es suficiente para garantizar la antisimetría general de la función de onda total\(\Psi\). Los entusiastas de las partículas podrían estar interesados en señalar que funciones exactamente así surgen en la construcción de la función de hilar/onda de sabor para el protón en el modelo de quark (Griffiths, Introducción a las partículas elementales, página 179).

Para más de tres electrones, se mantienen consideraciones similares. Las simetrías mixtas de las funciones de onda espacial y las funciones de onda de giro que juntas forman una función de onda totalmente antisimétrica son bastante complejas, y son descritas por diagramas Young (o cuadros). Hay una introducción simple, incluyendo la generalización a SU (3), en Sakurai, sección 6.5. Véase también\(\S\) 63 de Landau y Lifshitz.

Dispersión de Partículas Idénticas

Como ejercicio preliminar, considere el cuadro clásico de dispersión entre dos partículas cargadas positivamente, por ejemplo\(\alpha\), partículas, vistas en el marco del centro de masa. Si\(\alpha\) se detecta un saliente en un ángulo\(\theta\) con la trayectoria de entrada\(\alpha\) #1, podría ser #1 desviado a través\(\theta\), o #2 desviado a través\(\pi-\theta\). (ver figura). Clásicamente, podíamos decir cuál era observando la colisión tal y como sucedía, y haciendo un seguimiento.

Sin embargo, en un proceso de dispersión mecánica cuántica, no podemos hacer un seguimiento de las partículas a menos que las bombardemos con fotones que tienen una longitud de onda sustancialmente menor que la distancia de aproximación más cercana. Esto es como detectar un electrón en un lugar determinado cuando hay dos electrones en una caja unidimensional: la amplitud de probabilidad para encontrar una salida en ángulo\(\theta\) con la dirección\(\alpha\) entrante de uno de ellos es la suma de las amplitudes (no la suma de las probabilidades!) para dispersar a través\(\theta\) y\(\pi-\theta\).

Escribir la función de onda de dispersión asintótica en la forma estándar para la dispersión desde un objetivo fijo,\[ \psi(\vec{r})\approx e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \tag{10.4.8}\]

la función de onda de dos partículas en el marco del centro de masa, en términos de la coordenada relativa, viene dada por simetrización:\[ \psi(\vec{r})\approx e^{ikz}+e^{-ikz}+(f(\theta)+f(\pi-\theta))\frac{e^{ikr}}{r}. \tag{10.4.9}\]

¿Cómo afecta la simetría de las partículas a la velocidad de dispersión real en un ángulo\(\theta\)? Si las partículas fueran distinguibles, la sección transversal diferencial sería\[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{distinguishable}=|f(\theta)|^2+|f(\pi-\theta)|^2, \tag{10.4.10}\]

pero cuántica mecánicamente\[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)=|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2. \tag{10.4.11}\]

¡Esto hace una gran diferencia! Por ejemplo, para la dispersión a través de 90°, donde\(f(\theta)=f(\pi-\theta)\), la velocidad de dispersión mecánica cuántica es el doble de la predicción clásica (distinguible).

Además, si hacemos la expansión estándar de la amplitud de dispersión\(f(\theta)\) en términos de ondas parciales,\[ f(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_lP_l(\cos\theta) \tag{10.4.12}\]

entonces\[ \begin{matrix} f(\theta)+f(\pi-\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_l(P_l(\cos\theta)+P_l(cos(\pi-\theta))) \\ =\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_l(P_l(\cos\theta)+P_l(-\cos\theta)) \end{matrix} \tag{10.4.13}\]

y ya que\(P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\) la dispersión sólo tiene lugar incluso en estados de onda parciales. Esto es lo mismo que decir que la función de onda general de dos bosones idénticos es simétrica, por lo que si están en un estado propio de momento angular total, a partir de\(P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\) ella tiene que ser un estado de par\(l\).

Para fermiones en un estado de espín antisimétrico, como la dispersión protón-protón con los dos espines de protones formando un singlete, la función de onda espacial es simétrica, y el argumento es el mismo que para el caso del bosón anterior. Para los protones de espín paralelos, sin embargo, la función de onda espacial tiene que ser antisimétrica, y la amplitud de dispersión será entonces\(f(\theta)-f(\pi-\theta)\). ¡En este caso hay cero dispersión a 90°!

Tenga en cuenta que para partículas de masa iguales (no relativistas), el ángulo de dispersión en el marco del centro de masa es el doble del ángulo de dispersión en el marco objetivo fijo (laboratorio). Esto se ve fácilmente en el diagrama a continuación. Las cuatro flechas negras de igual longitud, dos adentro, dos afuera, formando una X, son el centro de momenta de masa. Los momentos de laboratorio se dan agregando la flecha punteada azul (misma longitud) a cada uno, reduciendo uno de los momentos entrantes a cero y dando el momento de laboratorio (flecha roja) (ligeramente desplazado para mayor claridad). Los momentos de laboratorio salientes son las diagonales de rombos (paralelogramos de igual lado), por lo tanto, en ángulo recto y bisectando el centro de masa ángulos de dispersión.