2.3: Interludio Matemático - Diferenciales Exactos e Inexactos

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El diferencial\[dF=\sum_{i=1}^k A\ns_i\,dx\ns_i \label{dFeqn}\] se llama exacto si existe una función\(F(x\ns_1,\ldots,x\ns_k)\) cuyo diferencial da el lado derecho de la Ecuación\ ref {dFeQn}. En este caso, tenemos\[A\ns_i={\pz F\over\pz x\ns_i} \qquad\Longleftrightarrow\qquad {\pz A_i\over\pz x\ns_j} = {\pz A_j\over\pz x\ns_i} \quad \forall\ i,j\ .\] Para diferenciales exactos, la integral entre extremos fijos es independiente de ruta:\[\int\limits_{\RA}^{\RB}\!\!dF = F(x^{\ssr{B}}_1,\ldots,x^{\ssr{B}}_k)-F(x^{\ssr{A}}_1,\ldots,x^{\ssr{A}}_k)\ ,\] de lo que se deduce que la integral de\(dF\) alrededor de cualquier camino cerrado debe desvanecerse:\[\oint\!dF=0\ .\]

Cuando las derivadas cruzadas no son idénticas, cuando\(\pz A\ns_i/\pz x\ns_j\ne \pz A\ns_j/\pz x\ns_i\), el diferencial es inexacto. En este caso, la integral de\(dF\) es dependiente del camino, y no depende únicamente de los puntos finales.

Figura [work_path] Dos rutas distintas con extremos idénticos.

Como ejemplo, considere el diferencial\[dF=K\ns_1\,y\,dx + K\ns_2\,x\,dy\ . \label{dFe}\] Evaluemos la integral de\(dF\), que es el trabajo realizado, a lo largo de cada uno de los dos caminos en la Fig. [work_path]:\[\begin{aligned} W^\ssr{(I)}&=K\ns_1\!\int\limits_{x\ns_\RA}^{x\nd_\RB}\!\!dx\>y\subA + K\ns_2\!\int\limits_{y\ns_\RA}^{y\nd_\RB}\!\!dy\>x\subB= K\ns_1\,y\subA \,(x\subB-x\subA) + K\ns_2\,x\subB\,(y\subB-y\subA )\\ W^\ssr{(II)}&=K\ns_1\!\int\limits_{x\ns_\RA}^{x\nd_\RB}\!\!dx\>y\subB + K\ns_2\!\int\limits_{y\ns_\RA}^{y\nd_\RB}\!\!dy\>x\subA = K\ns_1\,y\subB\,(x\subB-x\subA ) + K\ns_2\,x\subA \,(y\subB-y\subA )\ .\end{aligned}\] Tenga en cuenta que en general\(W^\ssr{(I)}\ne W^\ssr{(II)}\). Así, si partimos en el punto A, la energía cinética en el punto B dependerá del camino que se tome, ya que el trabajo realizado es dependiente de la trayectoria.

La diferencia entre el trabajo realizado a lo largo de los dos caminos es\[W^\ssr{(I)}-W^\ssr{(II)}=\oint\!dF=(K\ns_2-K\ns_1)\,(x\subB-x\subA)\,(y\subB-y\subA)\ . \label{Wdiff}\] Así, vemos que si\(K\ns_1=K\ns_2\), el trabajo es el mismo para los dos caminos. De hecho, si\(K\ns_1=K\ns_2\), el trabajo sería independiente del camino, y dependería únicamente de los puntos finales. Esto es cierto para cualquier trayectoria, y no solo para las trayectorias lineales por tramos del tipo representado en la Fig. [work_path]. Así, si\(K\ns_1=K\ns_2\), estamos justificados en el uso de la notación\(dF\) para el diferencial en la Ecuación [dFe]; explícitamente, entonces tenemos\(F=K\ns_1\,xy\). No obstante\(K\ns_1\ne K\ns_2\), si, el diferencial es inexacto, y en adelante escribiremos\(\dbar F\) en tales casos.