2.5: Los motores térmicos y la segunda ley de la termodinámica

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Un motor térmico es un dispositivo que lleva un sistema termodinámico a través de un ciclo repetido que puede representarse como una sucesión de estados de equilibrio:\(\RA\to\RB\to\RC\cdots\to\RA\). El resultado neto de dicho proceso cíclico es convertir el calor en trabajo mecánico, o viceversa.

Figura [perfecto]: Un motor perfecto extraería calor\(Q\) de un reservorio térmico a cierta temperatura\(T\) y lo convertiría en útil trabajo mecánico\(W\). Este proceso es, desgraciadamente, imposible, según la Segunda Ley de la termodinámica. El proceso inverso, donde el trabajo\(\CW\) se convierte en calor\(\CQ\), siempre es posible.

Para un sistema en equilibrio a temperatura\(T\), existe una cantidad termodinámicamente grande de energía interna almacenada en el movimiento interno aleatorio de sus partículas constituyentes. Posteriormente, cuando estudiemos la mecánica estadística, veremos cómo cada grado de libertad 'cuadrático' en el hamiltoniano contribuye\(\half\kT\) a la energía interna total. Un cuerpo inmenso en equilibrio a temperatura\(T\) tiene una enorme capacidad calorífica\(C\), por lo que extraer de él una cantidad finita de calor\(Q\) resulta en un cambio de temperatura\(\RDelta T=-Q/C\) que es absolutamente insignificante. Tal cuerpo se llama baño de calor, o reservorio térmico. Un motor perfecto, en cada ciclo, extraería una cantidad de calor\(Q\) del baño y lo convertiría en trabajo. Ya que\(\RDelta E=0\) para un proceso cíclico, la Primera Ley da entonces\(W=Q\). Esta situación se representa esquemáticamente en la Fig. [perfecto]. Uno podría imaginar ejecutar este proceso prácticamente indefinidamente, succionando lentamente energía de un inmenso baño de calor, convirtiendo el movimiento térmico aleatorio de sus moléculas constituyentes en un útil trabajo mecánico. Lamentablemente, esto no es posible:

Una transformación cuyo único resultado final es extraer calor de una fuente a temperatura fija y transformar ese calor en trabajo es imposible.

Esto se conoce como el Postulado de Lord Kelvin. Es equivalente al postulado de Clausius,

Una transformación cuyo único resultado es transferir calor de un cuerpo a una temperatura dada a un cuerpo a mayor temperatura es imposible.

Estos postulados que han sido validados repetidamente por observaciones empíricas, constituyen la Segunda Ley de la Termodinámica.

Motores y refrigeradores

Si bien no es posible convertir calor en trabajo con una eficiencia del 100%, es posible transferir calor de un reservorio térmico a otro, a menor temperatura, y convertir parte de ese calor en trabajo. Esto es lo que hace un motor. La energía que representa un ciclo del motor se representa en el panel izquierdo de la Fig. [engref]. Se\(Q\ns_2>0\) extrae una cantidad de calor- del depósito a temperatura\(T\ns_2\). Dado que se supone que el reservorio es enorme, su cambio de temperatura\(\RDelta T\ns_2=-Q\ns_2/C\ns_2\) es insignificante, y su temperatura permanece constante —esto es lo que significa que un objeto sea un reservorio. Una menor cantidad de calor,\(\CQ\ns_1\), con\(0 < \CQ\ns_1 < Q\ns_2\), se deposita en un segundo reservorio a menor temperatura\(T\ns_1\). Su cambio de temperatura también\(\RDelta T\ns_1=+\CQ\ns_1/C\ns_1\) es insignificante. La diferencia\(W=Q\ns_2-\CQ\ns_1\) se extrae como trabajo útil. Definimos la eficiencia,\(\eta\), del motor como la relación entre el trabajo realizado y el calor extraído del reservorio superior, por ciclo:\[\eta={W\over Q\ns_2}=1-{\CQ\ns_1\over Q\ns_2}\ .\] Esta es una definición natural de eficiencia, ya que nos costará combustible mantener la temperatura del reservorio superior sobre muchos ciclos del motor. Así, la eficiencia es proporcional a la relación entre el trabajo realizado y el costo del combustible.

Un refrigerador funciona de acuerdo con los mismos principios, pero el proceso se ejecuta a la inversa. Se\(Q_1\) extrae una cantidad de calor del depósito inferior —el interior de nuestro refrigerador— y se bombea al depósito superior. Como afirma la forma de Clausius de la Segunda Ley, es imposible que éste sea el único resultado de nuestro ciclo. Se\(\CW\) debe realizar alguna cantidad de trabajo en el refrigerador para que pueda extraer el calor\(Q\ns_1\). Ya que\(\RDelta E=0\) para el ciclo, se\(\CQ\ns_2=\CW+Q_1\) debe depositar un calor en el reservorio superior durante cada ciclo. El análogo de eficiencia aquí se llama el coeficiente de refrigeración,\(\kappa\), definido como\[\kappa = {Q\ns_1\over \CW}={Q\ns_1\over \CQ\ns_2-Q\ns_1}\ .\] Así,\(\kappa\) es proporcional a la relación del calor extraído al costo de la electricidad, por ciclo.

[engref] Un motor (izquierda)\(Q_2\) extrae calor de un depósito a temperatura\(T_2\) y deposita una cantidad menor de calor\(\CQ_1\) en un depósito a una temperatura más baja\(T_1\), durante cada ciclo. La diferencia\(W=Q_2-\CQ_1\) se transforma en trabajo mecánico. Un refrigerador (derecha) realiza el proceso inverso, extrayendo calor\(Q_1\) de un depósito de baja temperatura y depositando calor\(\CQ_2=Q_1+\CW\) en un depósito de alta temperatura, donde\(\CW\) se realiza el trabajo mecánico (o eléctrico) por ciclo.

Tenga en cuenta la notación deliberada aquí. Estoy usando símbolos\(Q\) y\(W\) para denotar el calor suministrado al motor (o refrigerador) y el trabajo realizado por el motor, respectivamente, y\(\CQ\) y\(\CW\) para denotar el calor tomado del motor y el trabajo realizado en el motor.

Un motor perfecto tiene\(\CQ\ns_1=0\) y\(\eta=1\); un refrigerador perfecto tiene\(Q\ns_1=\CQ\ns_2\) y\(\kappa=\infty\). Ambos violan la Segunda Ley. Sadi Carnot ⁸ (1796 — 1832) se dio cuenta de que un motor cíclico reversible que opera entre dos depósitos térmicos debe producir la cantidad máxima de trabajo\(W\), y que la cantidad de trabajo producida es independiente del material propiedades del motor. Llamamos a cualquier motor de este tipo un motor Carnot.

La eficiencia de un motor Carnot se puede utilizar para definir una escala de temperatura. Sabemos por las observaciones de Carnot que la eficiencia sólo\(\eta_\ssr{C}\) puede ser una función de las temperaturas\(T\ns_1\) y\(T\ns_2\):\(\eta_\ssr{C}=\eta_\ssr{C}(T\ns_1,T\ns_2)\). Entonces podemos definir\[{T\ns_1\over T\ns_2}\equiv 1-\eta\ns_\ssr{C}(T\ns_1,T\ns_2)\ .\] A continuación, en § 6.4, veremos que cómo, utilizando un gas ideal como la 'sustancia de trabajo' del motor Carnot, esta escala de temperatura coincide precisamente con la escala de temperatura del gas ideal del § 2.4.

Nada le gana a un motor Carnot

El motor Carnot es el motor más eficiente posible operando entre dos depósitos térmicos. Para ver esto, supongamos que un increíble motor maravilla tiene una eficiencia incluso mayor que la del motor Carnot. Una característica clave del motor Carnot es su reversibilidad: solo podemos dar la vuelta a su ciclo en la dirección opuesta, creando un refrigerador Carnot. Usemos nuestro motor nocional maravilla para conducir un refrigerador Carnot, como se muestra en la Fig. [NBC].

Suponemos que\[{W\over Q\ns_2} = \eta\ns_\ssr{wonder} > \eta\ns_\ssr{Carnot} = {\CW'\over \CQ'_2}\ .\] Pero a partir de la figura, tenemos\(W=\CW'\), y por lo tanto la energía calorífica\(\CQ'_2-Q\ns_2\) transferida al reservorio superior es positiva. De\[W=Q\ns_2-\CQ\ns_1 = \CQ'_2-Q'_1 = \CW'\ ,\] vemos que esto es igual a la energía térmica extraída del reservorio inferior, ya que no se realiza ningún trabajo externo en el sistema:\[\CQ'_2 -Q\ns_2 = Q'_1 -\CQ\ns_1 > 0\ .\] Por lo tanto, la existencia del motor maravilla conlleva una violación a la Segunda Ley. Ya que la Segunda Ley es correcta — Lord Kelvin la articuló, y ¿quiénes somos nosotros para discutir con un Señor? — el motor maravilla no puede existir.

[NBC] Un motor maravilla manejando un refrigerador Carnot.

Además, concluimos que todos los motores reversibles que funcionan entre dos depósitos térmicos tienen la misma eficiencia, que es la eficiencia de un motor Carnot. Para un motor irreversible, debemos tener\[\eta={W\over Q\ns_2}=1-{\CQ\ns_1\over Q\ns_2} \le 1-{T\ns_1\over T\ns_2}= \eta\ns_\ssr{C}\ .\] Así,\[{Q\ns_2\over T\ns_2} - {\CQ\ns_1\over T\ns_1}\le 0\ . \label{qteqn}\]

El ciclo Carnot

Consideremos ahora un ciclo específico, conocido como el ciclo Carnot, representado en la Fig. [carnot]. El ciclo consta de dos adiabatos y dos isotermas. El trabajo realizado por ciclo es simplemente el área dentro de la curva en nuestro\(p-V\) diagrama:\[W=\oint \!p\,dV\ .\] El gas dentro de nuestro motor Carnot se llama 'sustancia de trabajo'. Sea lo que sea, el sistema obedece a la Primera Ley,\[dE=\dbar Q -\dbar W = \dbar Q - p\,dV \ .\]

Ahora asumiremos que el material de trabajo es un gas ideal, y calculamos así\(W\) como\(\CQ\ns_1\) y\(Q\ns_2\) para encontrar la eficiencia de este ciclo. Para ello, nos apoyaremos en las ecuaciones de gas ideales,\[E={\nu R T\over \gamma-1}\qquad,\qquad pV=\nu R T\ ,\] donde\(\gamma=c\ns_p/c\ns_v=1+\frac{2}{f}\), dónde\(f\) está el número efectivo de grados moleculares de libertad que contribuyen a la energía interna. \(f=3\)Recuérdalo para gases monatómicos,\(f=5\) para gases diatómicos y\(f=6\) para gases poliatómicos. La forma de diferencia finita de la primera ley es\[\RDelta E = E\ns_\Rf - E\ns_\Ri = Q\ns_\textsf{if} - W\ns_\textsf{if}\ ,\] donde\(\Ri\) denota el estado inicial y\(\Rf\) el estado final.

[carnot] El ciclo Carnot consta de dos adiabatos (rojo oscuro) y dos isotermas (azul).

• Esta etapa es una expansión isotérmica a temperatura\(T\ns_2\). Es el 'golpe de potencia' del motor. Tenemos\[\begin{aligned} W\ns_\ssr{AB}&=\int\limits_{V\subA}^{V\subB}\!\!dV\,{\nu R T\ns_2\over V} = \nu R T\ns_2\, \ln\bigg({V\subB\over V\subA}\bigg)\\ E\subA&=E\subB={\nu R T\ns_2\over \gamma-1}\ ,\end{aligned}\] por lo tanto\[Q\ns_\ssr{AB}=\RDelta E\ns_\ssr{AB}+ W\ns_\ssr{AB} = \nu R T\ns_2\,\ln\bigg({V\subB\over V\subA}\bigg)\ .\]
• Esta etapa es una expansión adiabática. Tenemos\[\begin{aligned} Q\ns_\ssr{BC}&=0\\ \RDelta E\ns_\ssr{BC}&=E\ns_\ssr{C}-E\subB = {\nu R\over \gamma-1}\,(T\ns_1 - T\ns_2)\ .\end{aligned}\] El cambio de energía es negativo, y el intercambio de calor es cero, por lo que el motor todavía hace algún trabajo durante esta etapa:\[W\subBC=Q\ns_\ssr{BC}-\RDelta E\ns_\ssr{BC}= {\nu R\over \gamma-1}\, (T\ns_2 - T\ns_1)\ .\]
• Esta etapa es una compresión isotérmica, y podemos aplicar el análisis de la expansión isotérmica, mutatis mutandis: de\[\begin{aligned} W\ns_\ssr{CD}&=\int\limits_{V\ns_\ssr{C}}^{V\ns_\ssr{D}}\!\!dV\,{\nu R T\ns_1\over V} = \nu R T\ns_1\, \ln\bigg({V\ns_\ssr{D}\over V\ns_\ssr{C}}\bigg)\\ E\ns_\ssr{C}&=E\ns_\ssr{D}={\nu R T\ns_1\over \gamma-1}\ ,\end{aligned}\] ahí\[Q\ns_\ssr{CD}=\RDelta E\ns_\ssr{CD}+ W\ns_\ssr{CD} = \nu R T\ns_1\,\ln\bigg({V\ns_\ssr{D}\over V\ns_\ssr{C}}\bigg)\ .\]
• Esta última etapa es una compresión adiabática, y podemos aprovechar los resultados de la expansión adiabática en BC:\[\begin{aligned} Q\ns_\ssr{DA}&=0\\ \RDelta E\ns_\ssr{DA}&=E\ns_\ssr{D}-E\subA= {\nu R\over \gamma-1}\,(T\ns_2 - T\ns_1)\ .\end{aligned}\] El cambio de energía es positivo, y el intercambio de calor es cero, por lo que se trabaja en el motor:\[W\ns_\ssr{DA}=Q\ns_\ssr{DA}-\RDelta E\ns_\ssr{DA}= {\nu R\over \gamma-1}\,(T\ns_1 - T\ns_2)\ .\]

Ahora sumamos todos los valores de trabajo de las etapas individuales para obtener para el ciclo\[\begin{split} W&=W\ns_\ssr{AB}+W\ns_\ssr{BC}+W\ns_\ssr{CD}+W\ns_\ssr{DA}\\ &=\nu R T\ns_2\,\ln\bigg({V\subB\over V\subA}\bigg)+\nu R T\ns_1\,\ln\bigg({V\ns_\ssr{D}\over V\ns_\ssr{C}}\bigg)\ . \end{split}\] Ya que estamos analizando un proceso cíclico, debemos tener\(\RDelta E=0\), debemos tener\(Q=W\), que por supuesto se puede verificar explícitamente, por computación\(Q=Q\ns_\ssr{AB}+Q\ns_\ssr{BC}+Q\ns_\ssr{CD}+Q\ns_\ssr{DA}\). Para terminar, recordar la ecuación adiabática de gas ideal de estado,\(d(T V^{\gamma-1})=0\). Esto nos dice que\[\begin{aligned} T\ns_2\, V_\ssr{B}^{\gamma-1}&= T\ns_1\, V_\ssr{C}^{\gamma-1} \\ T\ns_2\, V_\ssr{A}^{\gamma-1}&= T\ns_1\, V_\ssr{D}^{\gamma-1} \ .\end{aligned}\] Dividiendo estas dos ecuaciones, nos encontramos\[{V\subB\over V\subA}={V\ns_\ssr{C}\over V\ns_\ssr{D}}\ ,\] y por lo tanto,\[\begin{aligned} W&=\nu R(T\ns_2-T\ns_1)\,\ln\bigg({V\subB\over V\subA}\bigg)\\ Q\ns_\ssr{AB}&=\nu R T\ns_2\,\ln\bigg({V\subB\over V\subA}\bigg)\ .\end{aligned}\] finalmente, la eficiencia viene dada por la relación de estas dos cantidades:\[\eta={W\over Q\ns_\ssr{AB}}=1-{T\ns_1\over T\ns_2}\ .\]

El ciclo de Stirling

Muchos otros ciclos del motor son posibles. El ciclo de Stirling, representado en la Fig. [stirling], consta de dos isotermas y dos isócoras. Recordemos la ecuación de estado del gas ideal isotérmico,\(d(pV)=0\). Así, para un ciclo de Stirling de gas ideal, tenemos\[p\subA V\ns_1=p\subB V\ns_2 \qquad,\qquad p\ns_\ssr{D} V\ns_1=p\ns_\ssr{C} V\ns_2\ ,\] lo que dice\[{p\subB\over p\subA}={p\subC\over p\subD}={V\ns_1\over V\ns_2}\ .\]

• Esta expansión isotérmica es la carrera de potencia. Asumiendo\(\nu\) moles de gas ideal en todas partes\(pV=\nu R T\ns_2=p\ns_1 V\ns_1\), tenemos, de ahí\[W\subAB=\int\limits_{V\ns_1}^{V\ns_2}\!\!dV\,{\nu R T\ns_2\over V}=\nu R T\ns_2\,\ln\bigg({V\ns_2\over V\ns_1}\bigg)\ .\] ya que AB es una isoterma, tenemos\(E\subA=E\subB\), y de\(\RDelta E\subAB=0\) concluimos\(Q\subAB=W\subAB\).
• Enfriamiento isocórico. Ya\(dV=0\) que tenemos\(W\subBC=0\). El cambio energético viene dado por el\[\RDelta E\subBC=E\subC-E\subB={\nu R(T\ns_1-T\ns_2)\over\gamma-1} ,\] cual es negativo. Ya que\(W\subBC=0\), tenemos\(Q\subBC=\RDelta E\subBC\).

[Stirling] Un ciclo de Stirling consiste en dos isotermas (azul) y dos isóchoras (verde).

• Compresión isotérmica. Claramente\[W\subCD=\int\limits_{V\ns_2}^{V\ns_1}\!\!dV\,{\nu R T\ns_1\over V}= -\nu R T\ns_1\,\ln\bigg({V\ns_2\over V\ns_1}\bigg)\ .\] Dado que la CD es una isoterma, tenemos\(E\subC=E\subD\), y de\(\RDelta E\subCD=0\) concluimos\(Q\subCD=W\subCD\).
• Calentamiento isocórico. Ya\(dV=0\) que tenemos\(W\subDA=0\). El cambio energético viene dado por el\[\RDelta E\subDA=E\subA-E\subD={\nu R(T\ns_2-T\ns_1)\over\gamma-1}\ ,\] cual es positivo, y opuesto a\(\RDelta E\subBC\). Ya que\(W\subDA=0\), tenemos\(Q\subDA=\RDelta E\subDA\).

Ahora sumamos todas las contribuciones de trabajo para obtener\[\begin{split} W&=W\ns_\ssr{AB}+W\ns_\ssr{BC}+W\ns_\ssr{CD}+W\ns_\ssr{DA}\\ &=\nu R (T\ns_2-T\ns_1)\,\ln\bigg({V\ns_2\over V\ns_1}\bigg)\ . \end{split}\] La eficiencia del ciclo es una vez más\[\eta={W\over Q\subAB}=1-{T\ns_1\over T\ns_2}\ .\]

Los ciclos Otto y Diesel

El ciclo Otto es una aproximación aproximada a la física de un motor de gasolina. Consta de dos adiabatos y dos isócoras, y se representa en la Fig. [otto]. Asumiendo un gas ideal, a lo largo de los adiabats que tenemos\(d(pV^\gamma)=0\). Así,\[p\subA\,V^\gamma_1=p\subB\,V^\gamma_2 \qquad,\qquad p\ns_\ssr{D}\,V^\gamma_1=p\ns_\ssr{C}\,V^\gamma_2\ ,\] que dice\[{p\subB\over p\subA}={p\subC\over p\subD}= \bigg({V\ns_1\over V\ns_2}\bigg)^{\!\gamma}\ .\]

[otto] Un ciclo de Otto consiste en dos adiabatos (rojo oscuro) y dos isócoras (verde).

• Expansión adiabática, la carrera de potencia. La transferencia de calor es\(Q\subAB=0\), así que de la Primera Ley tenemos\(W\subAB=-\RDelta E\subAB=E\subA-E\subB\), así\[W\subAB={p\subA V\ns_1-p\subB V\ns_2\over\gamma-1} ={p\subA V\ns_1\over \gamma-1}\Bigg[ 1-\bigg({V\ns_1\over V\ns_2}\bigg)^{\!\gamma-1} \Bigg]\ .\] Nótese que este resultado también se puede obtener de la ecuación adiabática de estado\(pV^\gamma=p\subA V_1^\gamma\):\[W\subAB=\int\limits_{V\ns_1}^{V\ns_2}\!\!p\,dV= p\subA V_1^\gamma\!\int\limits_{V\ns_1}^{V\ns_2}\!dV\,V^{-\gamma} ={p\subA V\ns_1\over \gamma-1}\Bigg[ 1-\bigg({V\ns_1\over V\ns_2}\bigg)^{\!\gamma-1} \Bigg]\ .\]
• Enfriamiento isocórico (escape); de\(dV=0\) ahí\(W\subBC=0\). El calor\(Q\subBC\) absorbido es entonces\[Q\subBC=E\subC-E\subB={V\ns_2\over\gamma-1}\,(p\subC-p\subB)\ .\] En un motor realista, esta es la etapa en la que se expulsa el gas quemado viejo y se inserta gas nuevo.

• Compresión adiabática;\(Q\subCD=0\) y\(W\subCD=E\subC-E\subD\):\[W\subCD={p\subC V\ns_2 - p\subD V\ns_1\over \gamma-1} =-{p\subD V\ns_1\over \gamma-1}\Bigg[ 1-\bigg({V\ns_1\over V\ns_2}\bigg)^{\!\gamma-1} \Bigg]\ .\]
• Calentamiento isocórico, la combustión del gas. Al igual que con BC tenemos\(dV=0\), y así\(W\subDA=0\). El calor\(Q\subDA\) absorbido por el gas es entonces\[Q\subDA=E\subA-E\subD={V\ns_1\over\gamma-1}\,(p\subA-p\subD)\ .\]

[diesel] Un ciclo Diesel consta de dos adiabatos (rojo oscuro), un isobar (azul claro) y un isócoro (verde).

El trabajo total realizado por ciclo es entonces\[\begin{split} W&=W\ns_\ssr{AB}+W\ns_\ssr{BC}+W\ns_\ssr{CD}+W\ns_\ssr{DA}\\ &={(p\subA-p\subD)V\ns_1\over\gamma-1} \Bigg[ 1-\bigg({V\ns_1\over V\ns_2}\bigg)^{\!\gamma-1}\Bigg]\ , \end{split}\] y la eficiencia se define como\[\eta\equiv{W\over Q\subDA}=1-\bigg({V\ns_1\over V\ns_2}\bigg)^{\!\gamma-1}\ .\] La relación\(V\ns_2/V\ns_1\) se llama relación de compresión. Podemos hacer que nuestro ciclo Otto sea más eficiente simplemente aumentando la relación de compresión. El problema con este esquema es que si la mezcla de combustible se calienta demasiado, se 'prenderá' espontáneamente, y la presión saltará antes de que se alcance el punto D en el ciclo. Un motor Diesel evita la preignición comprimiendo solo el aire y luego rociando el combustible en el cilindro cuando la temperatura del aire es suficiente para el encendido del combustible. La velocidad a la que se inyecta el combustible se ajusta para que el proceso de encendido se realice a presión constante. Así, en un motor Diesel, el paso DA es una isobar. La relación de compresión es\(r\equiv V\subB/V\subD\), y la relación de corte es\(s\equiv V\subA/V\subD\). Este refinamiento del ciclo Otto permite mayores relaciones de compresión (de aproximadamente 20) en la práctica, y una mayor eficiencia del motor.

Para el ciclo Diesel, tenemos, brevemente,\[\begin{split} W&=p\subA(V\subA-V\subD) + {p\subA V\subA-p\subB V\subB\over\gamma-1} + {p\subC V\subC-p\subD V\subD\over\gamma-1}\\ &={\gamma\,p\subA(V\subA-V\subD)\over\gamma-1} - {(p\subB-p\subC) V\subB\over\gamma-1} \end{split}\] y\[Q\subDA={\gamma\,p\subA(V\subA-V\subD)\over\gamma-1}\ .\] Para encontrar la eficiencia, necesitaremos eliminar\(p\subB\) y\(p\subC\) a favor de\(p\subA\) usar la ecuación adiabática de estado\(d(pV^\gamma)=0\). Así,\[p\subB=p\subA\cdot\bigg({V\subA\over V\subB}\bigg)^{\!\!\gamma}\qquad,\qquad p\subC=p\subA\cdot\bigg({V\subD\over V\subB}\bigg)^{\!\!\gamma}\ ,\] donde hemos usado\(p\subD=p\subA\) y\(V\subC=V\subB\). Poniéndolo todo junto, la eficiencia del ciclo Diesel es\[\eta={W\over Q\subDA}=1-{1\over\gamma}\,{r^{1-\gamma} (s^\gamma-1)\over s-1}\ .\]

El ciclo de Joule-Brayton

Nuestro último ejemplo es el ciclo de Joule-Brayton, representado en la Fig. [jbray], que consta de dos adiabatos y dos isobarras. A lo largo de los adiabats tenemos Así,\[p\ns_2\,V^\gamma_\ssr{A}=p\ns_1\,V^\gamma_\ssr{D} \qquad,\qquad p\ns_2\,V^\gamma_\ssr{B}=p\ns_1\,V^\gamma_\ssr{C}\ ,\] que dice\[{V\subD\over V\subA}={V\subC\over V\subB}= \bigg({p\ns_2\over p\ns_1}\bigg)^{\!\gamma^{-1}}\ .\]

• Esta expansión isobárica\(p=p\ns_2\) es la carrera de potencia. Tenemos\[\begin{aligned} W\subAB&=\int\limits_{V\subA}^{V\subB}\!\!dV\,p\ns_2 = p\ns_2\,(V\subB-V\subA)\\ \RDelta E\subAB&=E\subB-E\subA={p\ns_2\,(V\subB-V\subA)\over\gamma-1}\\ Q\subAB&=\RDelta E\subAB + W\subAB= {\gamma \,p\ns_2\,(V\subB-V\subA)\over\gamma-1}\ .\end{aligned}\]
• Expansión adiabática;\(Q\subBC=0\) y\(W\subBC=E\subB-E\subC\). El trabajo realizado por el gas es\[\begin{split} W\subBC&={p\ns_2 V\subB-p\ns_1 V\subC\over\gamma-1}= {p\ns_2 V\subB\over\gamma-1}\bigg(1-{p\ns_1\over p\ns_2} \cdot{V\subC\over V\subB}\bigg)\\ &={p\ns_2\, V\subB\over \gamma-1}\Bigg[ 1-\bigg({p\ns_1\over p\ns_2} \bigg)^{\!1-\gamma^{-1}}\Bigg]\ . \end{split}\]

[jbray] Un ciclo de Joule-Brayton consiste en dos adiabatos (rojo oscuro) y dos isobares (azul claro).

• Compresión isobárica en\(p=p\ns_1\). \[\begin{aligned} W\subCD&=\int\limits_{V\subC}^{V\subD}\!\!dV\,p\ns_1 = p\ns_1\,(V\subD-V\subC) =-p\ns_2\,(V\subB-V\subA)\,\bigg({p\ns_1\over p\ns_2}\bigg)^{\!1-\gamma^{-1}}\\ \RDelta E\subCD&=E\subD-E\subC={p\ns_1\,(V\subD-V\subC)\over\gamma-1}\\ Q\subCD&=\RDelta E\subCD + W\subCD= -{\gamma \,p\ns_2\over\gamma-1}\,(V\subB-V\subA)\,\bigg({p\ns_1\over p\ns_2} \bigg)^{\!1-\gamma^{-1}}\ .\end{aligned}\]
• Expansión adiabática;\(Q\subDA=0\) y\(W\subDA=E\subD-E\subA\). El trabajo realizado por el gas es\[\begin{split} W\subDA&={p\ns_1 V\subD-p\ns_2 V\subA\over\gamma-1}= -{p\ns_2 V\subA\over\gamma-1}\bigg(1-{p\ns_1\over p\ns_2} \cdot{V\subD\over V\subA}\bigg)\\ &=-{p\ns_2\, V\subA\over \gamma-1}\Bigg[ 1-\bigg({p\ns_1\over p\ns_2} \bigg)^{\!1-\gamma^{-1}}\Bigg]\ . \end{split}\]

El trabajo total realizado por ciclo es entonces\[\begin{split} W&=W\ns_\ssr{AB}+W\ns_\ssr{BC}+W\ns_\ssr{CD}+W\ns_\ssr{DA}\\ &={\gamma\,p\ns_2\, (V\subB-V\subA)\over \gamma-1}\Bigg[ 1-\bigg({p\ns_1\over p\ns_2} \bigg)^{\!1-\gamma^{-1}}\Bigg] \end{split}\] y la eficiencia se define como\[\eta\equiv{W\over Q\subAB}=1-\bigg({p\ns_1\over p\ns_2}\bigg)^{\!1-\gamma^{-1}}\ .\]

Motor Carnot con salida de potencia máxima

Si bien el motor Carnot descrito anteriormente en § 6.4 tiene la máxima eficiencia, es prácticamente inútil, ya que los procesos isotérmicos deben realizarse infinitamente lentamente para que el material de trabajo permanezca en equilibrio térmico con cada reservorio. Así, mientras que el trabajo realizado por ciclo es finito, el periodo del ciclo es infinito, y la potencia del motor es cero.

Una modificación del ciclo ideal de Carnot es necesaria para crear un motor práctico. La idea ⁹ es la siguiente. Durante la etapa de expansión isotérmica, el material de trabajo se mantiene a una temperatura\(T\ns_{2\Rw}<T\ns_2\). La diferencia de temperatura entre el material de trabajo y el depósito caliente impulsa una corriente térmica,\[{\dbar Q\ns_2\over dt}=\kappa\ns_2\,(T\ns_2-T\ns_{2\Rw})\ .\] Aquí,\(\kappa\ns_2\) es un coeficiente de transporte que describe la conductividad térmica de las paredes de la cámara, multiplicada por una geométrica (que es la relación entre el área total de la pared y su grosor). De igual manera, durante la compresión isotérmica, el material de trabajo se mantiene a una temperatura\(T\ns_{1\Rw}>T\ns_1\), lo que impulsa una corriente térmica al reservorio frío,\[{\dbar\CQ\ns_1\over dt}=\kappa\ns_1\,(T\ns_{1\Rw}-T\ns_1)\ .\] Ahora supongamos que la etapa isotérmica superior requiere una duración\(\RDelta t\ns_2\) y la isoterma inferior una duración\(\RDelta t\ns_1\). Entonces\[\begin{aligned} Q\ns_2&=\kappa\ns_2\,\RDelta t\nd_2\,(T\ns_2-T\ns_{2\Rw})\\ \CQ\ns_1&=\kappa\ns_1\,\RDelta t\nd_1\,(T\ns_{1\Rw}-T\ns_1)\ .\end{aligned}\] Dado que el motor es reversible, debemos tener\[{\CQ\ns_1\over T\ns_{1\Rw}}={Q\ns_2\over T\ns_{2\Rw}}\ ,\] lo que dice\[{\RDelta t\ns_1\over\RDelta t\ns_2}={\kappa\ns_2\,T\ns_{1\Rw}\,(T\ns_2-T\ns_{2\Rw}) \over \kappa\ns_1\,T\ns_{2\Rw}\,(T\ns_{1\Rw}-T\ns_1)}\ .\] La potencia es\[P={Q\ns_2-\CQ\ns_1\over (1+\alpha)\,(\RDelta t\ns_1 + \RDelta t\ns_2)}\ ,\] donde asumimos que las etapas adiabáticas requieren un tiempo combinado de\(\alpha\,(\RDelta t\ns_1 + \RDelta t\ns_2)\). Así, encontramos\[P={\kappa\ns_1\,\kappa\ns_2\over 1+\alpha}\cdot{(T\ns_{2\Rw}-T\ns_{1\Rw})\,(T\ns_{1\Rw}-T\ns_1) \,(T\ns_2-T\ns_{2\Rw})\over \kappa\ns_1\,T\ns_{2\Rw}\,(T\ns_{1\Rw}-T\ns_1) +\kappa\ns_2\,T\ns_{1\Rw}\,(T\ns_2-T\ns_{2\Rw})}\]

[pptab] Se observaron rendimientos de motores térmicos reales, tomados de la tabla 1 de Curzon y Albhorn (1975).

Fuente de alimentación	\(T\ns_1\ ({}^\circ\RC)\)	\(T\ns_2\ ({}^\circ\RC)\)	\(\eta\ns_\ssr{Carnot}\)	\(\eta\)(theor.)	\(\eta\)(Obs.)
West Thurrock (Reino Unido)
Planta de Vapor a Carbón	\(\sim 25\)	\(565\)	\(0.641\)	\(0.40\)	\(0.36\)
CANDU (Canadá)
Reactor Nuclear PHW	\(\sim 25\)	\(300\)	\(0.480\)	\(0.28\)	\(0.30\)
Larderello (Italia)
Planta de Vapor Geotérmico	\(\sim 80\)	\(250\)	\(0.323\)	\(0.175\)	\(0.16\)

Optimizamos el motor maximizando\(P\) con respecto a las temperaturas\(T\ns_{1\Rw}\) y\(T\ns_{2\Rw}\). Esto rinde\[\begin{aligned} T\ns_{2\Rw}&=T\ns_2-{T\ns_2-\sqrt{T\ns_1 T\ns_2}\over 1+\sqrt{\kappa\ns_2/\kappa\ns_1}}\\ T\ns_{1\Rw}&=T\ns_1+{\sqrt{T\ns_1 T\ns_2}-T\ns_1\over 1+\sqrt{\kappa\ns_1/\kappa\ns_2}}\ .\end{aligned}\] La eficiencia a la máxima potencia es entonces\[\eta={Q\ns_2-\CQ\ns_1\over Q\ns_2}=1-{T\ns_{1\Rw}\over T\ns_{2\Rw}}= 1-\sqrt

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Callstack:
    at (Fisica/Termodinamica_y_Mecanica_Estadistica/Libro:_Termodinámica_y_Mecánica_Estadística_(Arovas)/02:_Termodinámica/2.05:_Los_motores_térmicos_y_la_segunda_ley_de_la_termodinámica), /content/body/div[8]/p[3]/span[5]/span, line 1, column 2

\ . \label{MCeff}\] Uno también encuentra a la máxima potencia\[{\RDelta t\ns_2\over \RDelta t\ns_1}=\sqrt

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    at (Fisica/Termodinamica_y_Mecanica_Estadistica/Libro:_Termodinámica_y_Mecánica_Estadística_(Arovas)/02:_Termodinámica/2.05:_Los_motores_térmicos_y_la_segunda_ley_de_la_termodinámica), /content/body/div[8]/p[3]/span[6]/span, line 1, column 1

\ .\] Finalmente, la potencia maximizada es\[P\ns_{max}={\kappa\ns_1\kappa\ns_2\over 1+\alpha}\,\Bigg({\sqrt{T\ns_2}-\sqrt{T\ns_1} \over\sqrt{\kappa\ns_1}+\sqrt{\kappa\ns_2}}\Bigg)^{\!2}\ .\]

El cuadro [pptab], tomado del artículo de Curzon y Albhorn (1975), muestra cómo la eficiencia de este ciclo práctico de Carnot, dada por la Ecuación [McEF], predice con bastante precisión las eficiencias de las centrales eléctricas en funcionamiento.