2.14: Apéndice I- Factores integradores

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Supongamos que tenemos un diferencial inexacto\[\dbar W=A\ns_i\,dx\ns_i\ .\] Aquí estoy adoptando la 'convención de Einstein 'donde sumamos sobre índices repetidos a menos que se indique explícitamente lo contrario;\(A\ns_i\,dx\ns_i=\sum_i A\ns_i\,dx\ns_i\). Un factor integrador\(e^{L(\Vx)}\) es una función que, al dividirse en\(\dbar F\), produce un diferencial exacto:\[dU=e^{-L}\,\dbar W = {\pz U\over \pz x\ns_i}\,dx\ns_i\ .\] Claramente debemos tener\[{\pz^2 U\over\pz x\ns_i\,\pz x\ns_j} ={\pz\over\pz x\ns_i}\,\big(e^{-L}\,A\ns_j\big) = {\pz\over\pz x\ns_j}\,\big(e^{-L}\,A\ns_i\big)\ .\] Aplicando la regla de Leibniz y luego multiplicando por\(e^L\) rendimientos\[{\pz A\ns_j\over\pz x\ns_i} - A\ns_j\,{\pz L\over\pz x\ns_i} = {\pz A\ns_i\over\pz x\ns_j} - A\ns_i\,{\pz L\over\pz x\ns_j} \ .\] Si hay\(K\) independientes variables\(\{x\ns_1,\ldots,x\ns_K\}\), luego hay ecuaciones\(\half K(K-1)\) independientes de la forma anterior —una para cada\((i,j)\) par distinto. Estas ecuaciones se pueden escribir de forma compacta como\[\Omega\ns_{ijk}\,{\pz L\over\pz x\ns_k} = F\ns_{ij}\ ,\] donde\[\begin{aligned} \Omega\ns_{ijk} &= A\ns_j\,\delta\ns_{ik} - A\ns_i\,\delta\ns_{jk} \vph\\ F\ns_{ij}&={\pz A\ns_j\over\pz x\ns_i} - {\pz A\ns_i\over \pz x\ns_j}\ .\end{aligned}\] Note que\(F\ns_{ij}\) es antisimétrico, y se asemeja a un tensor de intensidad de campo, y que\(\Omega\ns_{ijk}=-\Omega\ns_{jik}\) es antisimétrico en los dos primeros índices (pero no es totalmente antisimétrico en los tres).

¿Podemos resolver estas ecuaciones\(\half K(K-1)\) acopladas para encontrar un factor integrador\(L\)? En general la respuesta es no. Sin embargo, cuando siempre\(K=2\) podemos encontrar un factor integrador. Para ver por qué, llamemos\(x\equiv x\ns_1\) y\(y\equiv x\ns_2\). Considera ahora la ODE\[{dy\over dx} = -{A\ns_x(x,y)\over A\ns_y(x,y)}\ .\] Esta ecuación se puede integrar para producir un conjunto de curvas integrales de un parámetro, indexadas por una condición inicial. La ecuación para estas curvas puede escribirse como\(U\ns_c(x,y)=0\), donde se\(c\) etiquetan las curvas. Entonces a lo largo de cada curva tenemos\[\begin{split} 0={dU\ns_c\over dx}&={\pz U\ns_x\over\pz x} + {\pz U\ns_c\over\pz y}\,{dy\over dx}\vph\\ &={\pz U\ns_c\over \pz x} - {A\ns_x\over A\ns_y}\,{\pz U\ns_c\over\pz y}\ . \end{split}\] Así,\[{\pz U\ns_c\over\pz x}\,A\ns_y = {\pz U\ns_c\over\pz y}\,A\ns_x \equiv e^{-L} A\ns_x\,A\ns_y\ .\] Esta ecuación define el factor integrador\(L\,\): Ahora\[L=-\ln\!\bigg({1\over A\ns_x}\,{\pz U\ns_c\over\pz x}\bigg) = -\ln\!\bigg({1\over A\ns_y}\,{\pz U\ns_c\over\pz y}\bigg) \ .\] tenemos eso\[A\ns_x=e^{L}\,{\pz U\ns_c\over \pz x} \qquad,\qquad A\ns_y=e^{L}\,{\pz U\ns_c\over \pz y} \ ,\] y por lo tanto\[e^{-L}\,\dbar W = {\pz U\ns_c\over \pz x} \,dx + {\pz U\ns_c\over \pz y} \,dy=dU\ns_c\ .\]