2.15: Apéndice II- Transformaciones de Legendre

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Una función convexa de una sola variable\(f(x)\) es aquella para la cual\(f''(x)>0\) en todas partes. La transformación Legendre de una función convexa\(f(x)\) es una función\(g(p)\) definida de la siguiente manera. \(p\)Sea un número real, y considere la línea\(y=px\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Definimos el punto\(x(p)\) como el valor\(x\) para el que la diferencia\(F(x,p)=px-f(x)\) es mayor. Después defina\(g(p)=F\big(x(p),p\big)\). ²⁶ El valor\(x(p)\) es único si\(f(x)\) es convexo, ya que\(x(p)\) está determinado por la ecuación

\[f'\big(x(p)\big)=p\ .\]

Tenga en cuenta que a partir de\(p=f'\big(x(p)\big)\) nosotros tenemos, según la regla de la cadena,

\[{d\over dp}\,f'\big(x(p)\big)=f''\big(x(p)\big)\,x'(p)\qquad\Longrightarrow\qquad x'(p)=\Big[f''\big(x(p)\big)\Big]^{-1}\ .\]

A partir de esto, podemos demostrar que\(g(p)\) es en sí mismo convexo:

\[\begin{split} g'(p)&={d\over dp} \Big[ p\,x(p)-f\big(x(p)\big)\Big]\\ &=p\,x'(p) + x(p) - f'\big(x(p)\big)\,x'(p)= x(p)\ , \end{split}\]

de ahí

\[g''(p)=x'(p)=\Big[f''\big(x(p)\big)\Big]^{-1}>0\ .\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Construcción para la transformación Legendre de una función\(f(x)\).

En dimensiones superiores, la generalización de la definición\(f''(x)>0\) es que una función\(F(x\ns_1,\ldots,x\ns_n)\) es convexa si la matriz de segundas derivadas, llamada la hessiana,

\[H_{ij}(\Bx)={\pz^2 \!F\over\pz x\ns_i\,\pz x\ns_j}\]

es positivo definido. Es decir, todos los valores propios de\(H_{ij}(\Bx)\) deben ser positivos para cada uno\(\Bx\). Luego definimos la transformación de Legendre\(\BG(\Bp)\) como

\[\BG(\Bp)=\Bp\cdot\Bx-F(\Bx)\]

donde

\[\Bp=\bnabla F\ .\]

Tenga en cuenta que

\[dG=\Bx\cdot d\Bp + \Bp\cdot d\Bx - \bnabla F\cdot d\Bx = \Bx\cdot d\Bp\ ,\]

que establece que\(G\) es una función de\(\Bp\) y que

\[{\pz G\over\pz p\ns_j}=x\ns_j\ . \label{LTcond}\]

Obsérvese también que la transformación de Legendre es auto dual, es decir que la transformación de Legendre de\(G(\Bp)\) es\(F(\Bx)\):\(F\to G\to F\) bajo sucesivas transformaciones de Legendre.

También podemos definir una transformación parcial de Legendre de la siguiente manera. Considerar una función de\(q\) variables\(F(\Bx,\By)\), dónde\(\Bx=\{x\ns_1,\ldots,x\ns_m\}\) y\(\By=\{y\ns_1,\ldots,y\nd_n\}\), con\(q=m+n\). Definir\(\Bp=\{p\ns_1,\ldots,p\ns_m\}\), y

\[G(\Bp,\By)=\Bp\cdot\Bx-F(\Bx,\By)\ ,\]

donde

\[p\ns_a={\pz F\over \pz x\ns_a}\qquad (a=1,\ldots,m)\ .\]

Estas ecuaciones van a ser invertidas para rendir

\[x\ns_a=x\ns_a(\Bp,\By)={\pz G\over \pz p\ns_a}\ .\]

Tenga en cuenta que

\[p\ns_a={\pz F\over \pz x\ns_a}\,\big(\Bx(\Bp,\By),\By\big)\ .\]

Así, a partir de la regla de la cadena,

\[\delta\ns_{ab}={\pz p\ns_a\over\pz p\ns_b}={\pz^2\!F\over\pz x\ns_a\,\pz x\ns_c}\,{\pz x\ns_c\over\pz p\ns_b} ={\pz^2\!F\over\pz x\ns_a\,\pz x\ns_c}\,{\pz^2\!G\over\pz p\ns_c\,\pz p\ns_b}\ ,\]

que dice

\[{\pz^2 \! G\over\pz p\ns_a\,\pz p\ns_b}={\pz x\ns_a\over\pz p\ns_b}=\SK^{-1}_{ab}\ ,\]

donde el hessian\(m\times m\) parcial es

\[{\pz^2\!F\over\pz x\ns_a\,\pz x\ns_b}={\pz p\ns_a\over\pz x\ns_b}=\SK\ns_{ab}\ .\]

Tenga en cuenta que\(\SK\ns_{ab}=\SK\ns_{ba}\) es simétrico. Y con respecto a las\(\By\) coordenadas,

\[{\pz^2 \! G\over\pz y\ns_\mu\,\pz y\ns_\nu}=-{\pz^2 \! F\over\pz y\ns_\mu\,\pz y\ns_\nu}=-\SL\ns_{\mu\nu}\ ,\]

donde

\[\SL\ns_{\mu\nu}={\pz^2\!F\over\pz y\ns_\mu\,\pz y\ns_\nu}\]

es el hessian parcial en las\(\By\) coordenadas. Ahora es fácil ver que si la matriz completa de\(q\times q\) hessian\(H\ns_{ij}\) es positiva definida, entonces cualquier submatriz como\(\SK\ns_{ab}\) o también\(\SL\ns_{\mu\nu}\) debe ser positiva definida. En este caso, la transformada parcial de Legendre es convexa\(\{p\ns_1,\ldots,p\ns_m\}\) y cóncava en\(\{y\ns_1,\ldots,y\ns_n\}\).