1.3: Algunos conjuntos importantes
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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
En su mayoría trataremos con conjuntos cuyos elementos son objetos matemáticos. Cuatro de estos conjuntos son lo suficientemente importantes como para tener nombres específicos:
\ [\ begin {reunió}
\ begin {array} {lr}
\ Nat =\ {0, 1, 2, 3,\ ldots\} &\\
& {\ text {el conjunto de números naturales}}\\
{\ Int =\ {\ ldots, -2, -1, 0, 1, 2,\ ldots\}}
&\\\\ text {el conjunto de enteros}}\\\
Rata =\ Setab {\ nicefrac {m} {n}} {m, n\ in\ Int\ text {y} n\ neq 0}} &\\
& {\ text {el conjunto de racionales}}\\
{\ Real = (-\ infty,\ infty)} &\\
&\ text {el conjunto de números reales (el continuo)}
\ end {array}
\ end {reunidos}\]
Todos estos son conjuntos infinitos, es decir, cada uno tiene infinitamente muchos elementos.
A medida que avanzamos por estos conjuntos, estamos agregando más números a nuestras acciones. En efecto, debe quedar claro que\(\Nat \subseteq \Int \subseteq \Rat \subseteq \Real\): después de todo, cada número natural es un entero; cada entero es un racional; y cada racional es un real. Igualmente, debe quedar claro que\(\Nat \subsetneq \Int \subsetneq \Rat\), ya que\(-1\) es un número entero pero no un número natural, y\(\nicefrac{1}{2}\) es racional pero no entero. Es menos obvio que\(\Rat \subsetneq \Real\), es decir, que hay algunos números reales que no son racionales.
A veces también usaremos el conjunto de enteros positivos\(\PosInt = \{1, 2, 3, \dots\}\) y el conjunto que contiene solo los dos primeros números naturales\(\Bin = \{0, 1\}\).
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Strings
Otro ejemplo interesante es el conjunto\(A^{*}\) de cadenas finitas sobre un alfabeto\(A\): cualquier secuencia finita de elementos de\(A\) es una cadena sobre\(A\). Incluimos la cadena vacía\(\Lambda\) entre las cadenas sobre\(A\), para cada alfabeto\(A\). Por ejemplo,
\ [\ begin {reunió}
\ begin {aligned}
\ Bin^* =\ {\ lambda,0,1,00&,01,10,11,\\
&000,001,010,011,100,101,110,111,0000,\ ldots\}.
\ end {alineado}
\ end {reunido}\]
Si\(x=x_{1}\ldots x_{n}\in A^{*}\) es una cadena que consiste en\(n\) “letras” de\(A\), entonces decimos longitud de la cadena es\(n\) y escribir\(\len{x}=n\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Infinite sequences
Para cualquier conjunto también\(A\) podemos considerar el conjunto\(A^\omega\) de secuencias infinitas de elementos de\(A\). Una secuencia infinita\(a_1a_2a_3a_4\dots\) consiste en una lista infinita unidireccional de objetos, cada uno de los cuales es un elemento de\(A\).