2.2: Reflexiones filosóficas

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En la sección 2.1, definimos las relaciones como ciertos conjuntos. Deberíamos hacer una pausa y hacer una pregunta filosófica rápida: ¿qué hace esa definición? Es sumamente dudoso que queramos decir que hemos descubierto algunos hechos metafísicos de identidad; que, por ejemplo, la relación de orden en\(\Nat\) resultó ser el conjunto que\(R= \Setabs{\tuple{n,m}}{n, m \in \Nat\text{ and } n < m}\) definimos en la sección 2.1. Aquí hay tres razones por las que.

Primero: en la Definición 1.5.1, definimos\(\tuple{a, b} = \{\{a\}, \{a, b\}\}\). Considera en cambio la definición\(\lVert a, b\rVert = \{\{b\}, \{a, b\}\} = \tuple{b,a}\). Cuando\(a \neq b\), tenemos eso\(\tuple{a, b} \neq \lVert a,b\rVert\). Pero igualmente podríamos haber considerado\(\lVert a,b\rVert\) como nuestra definición de un par ordenado, más que\(\tuple{a,b}\). Ambas definiciones habrían funcionado igualmente bien. Entonces ahora tenemos dos candidatos igualmente buenos para “ser” la relación de orden sobre los números naturales, a saber:\[\begin{aligned} R &= \Setabs{\tuple{n,m}}{n, m \in \Nat \text{ and }n < m}\\ S &= \Setabs{\lVert n,m\rVert}{n, m \in \Nat \text{ and }n < m}.\end{aligned}\] Ya que\(R \neq S\), por extensión, está claro que ambos no pueden ser idénticos a la relación de orden en\(\Nat\). Pero simplemente sería arbitrario, y de ahí un poco vergonzoso, afirmar que\(R\) más que\(S\) (o viceversa) es la relación ordenadora, de hecho. (Esta es una instancia muy simple de un argumento contra el reduccionismo set-teórico que Benacerraf hizo famoso en 1965. Lo volveremos a visitar varias veces.)

Segundo: si pensamos que toda relación debe identificarse con un conjunto, entonces la relación de set-membership en sí misma,\(\in\), debería ser un conjunto particular. Efectivamente, tendría que ser el conjunto\(\Setabs{\tuple{x,y}}{x \in y}\). Pero, ¿existe este conjunto? Dada la paradoja de Russell, es una afirmación no trivial que exista tal conjunto. De hecho, es posible desarrollar la teoría de conjuntos de manera rigurosa como teoría axiomática. En esta teoría, será comprobable que no hay un conjunto de todos los conjuntos. Entonces, aunque algunas relaciones puedan tratarse como conjuntos, la relación de la membresía de conjunto tendrá que ser un caso especial.

Tercero: cuando “identificamos” las relaciones con los conjuntos, dijimos que nos permitiríamos escribir\(Rxy\) para\(\tuple{x,y} \in R\). Esto está bien, siempre que la relación de membresía, “\(\in\)”, se trate como un predicado. Pero si pensamos que “\(\in\)” significa cierto tipo de conjunto, entonces la expresión “\(\tuple{x,y} \in R\)” solo consiste en tres términos singulares que significan conjuntos: “\(\tuple{x,y}\)”, “\(\in\)” y “\(R\)”. Y esa lista de nombres no es más capaz de expresar una proposición que la cadena sin sentido: “el portalápices de copa la mesa”. Nuevamente, aunque algunas relaciones puedan ser tratadas como conjuntos, la relación de conjunto-membresía debe ser un caso especial. (Esto reúne una versión simple del concepto de paradoja del caballo de Frege, y una famosa objeción que Wittgenstein alguna vez planteó contra Russell).

Entonces, ¿dónde nos deja esto? Bueno, no hay nada malo en nuestro dicho de que las relaciones en los números son conjuntos. Sólo tenemos que entender el espíritu en el que se hace esa observación. No estamos declarando un hecho de identidad metafísica. Simplemente estamos señalando que, en ciertos contextos, podemos (y vamos a) tratar (ciertas) relaciones como ciertos conjuntos.