3.3: Funciones como Relaciones
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Una función que mapea el elemento s de\(A\) al elemento s de\(B\) obviamente define una relación entre\(A\) y\(B\), es decir, la relación que se mantiene entre\(x\) y\(y\) iff\(f(x) = y\). De hecho, podríamos incluso —si estamos interesados en reducir los bloques de construcción de las matemáticas, por ejemplo— identificar la función\(f\) con esta relación, es decir, con un conjunto de pares. Esto plantea entonces la pregunta: ¿qué relaciones definen funciones de esta manera?
Definición\(\PageIndex{1}\): Graph of a function
Dejar\(f\colon A \to B\) ser una función. La gráfica de\(f\) es la relación\(R_f \subseteq A \times B\) definida por\[R_f = \Setabs{\tuple{x,y}}{f(x) = y}.\nonumber\]
La gráfica de una función está determinada de manera única, por la extensibilidad. Además, la extensionalidad (en conjuntos) inmediatamente reivindicará el principio implícito de extensionalidad para funciones, por lo que si\(f\) y\(g\) comparten un dominio y un codominio entonces son idénticos si están de acuerdo en todos los valores.
De igual manera, si una relación es “funcional”, entonces es la gráfica de una función.
\(R \subseteq A \times B\)Sea tal que:
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Si\(Rxy\) y\(Rxz\) entonces\(y = z\); y
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por cada\(x \in A\) hay algunos\(y \in B\) tales que\(\tuple{x, y} \in R\).
Entonces\(R\) está la gráfica de la función\(f\colon A \to B\) definida por\(f(x) = y\) iff\(Rxy\).
Comprobante. Supongamos que hay\(y\) tal que\(Rxy\). Si hubiera otro\(z \neq y\) tal que\(Rxz\), se\(R\) violaría la condición puesta. De ahí que si hay\(y\) tal que\(Rxy\), esto\(y\) es único, y así\(f\) está bien definido. Obviamente,\(R_f = R\). ◻
Cada función\(f\colon A \to B\) tiene una gráfica, es decir, una relación sobre\(A \times B\) definida por\(f(x) = y\). Por otro lado, cada relación\(R \subseteq A \times B\) con las propiedades dadas en Proposición\(\PageIndex{1}\) es la gráfica de una función\(f \colon A \to B\). Debido a esta estrecha conexión entre funciones y sus gráficas, podemos pensar en una función simplemente como su gráfica. En otras palabras, las funciones pueden identificarse con ciertas relaciones, es decir, con ciertos conjuntos de tuplas. Tenga en cuenta, sin embargo, que el espíritu de esta “identificación” es como en la sección 2.2: no es una afirmación sobre la metafísica de las funciones, sino una observación de que es conveniente tratar las funciones como ciertos conjuntos. Una razón por la que esto es tan conveniente, es que ahora podemos considerar realizar operaciones similares en funciones como las que realizamos en las relaciones (ver sección 2.7). En particular:
Dejar\(f \colon A \to B\) ser una función con\(C\subseteq A\).
La restricción de\(f\) a\(C\) es la función\(\funrestrictionto{f}{C}\colon C \to B\) definida por\((\funrestrictionto{f}{C})(x) = f(x)\) para todos\(x \in C\). En otras palabras,\(\funrestrictionto{f}{C} = \Setabs{\tuple{x, y} \in R_f}{x \in C}\).
La aplicación de\(f\) to\(C\) es\(\funimage{f}{C} = \Setabs{f(x)}{x \in C}\). También llamamos a esto la imagen de\(C\) debajo\(f\).
De esta definición se desprende que\(\ran{f} = \funimage{f}{\dom{f}}\), para cualquier función\(f\). Estas nociones son exactamente como cabría esperar, dadas las definiciones en la sección 2.7 y nuestra identificación de funciones con relaciones. Pero otras dos operaciones —inversas y productos relativos— requieren un poco más de detalle. Lo proporcionaremos en la sección 3.4 y en la sección 3.5.