3.4: Inversiones de funciones

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Pensamos en las funciones como mapas. Una pregunta obvia que hacer sobre las funciones, entonces, es si el mapeo puede ser “invertido”. Por ejemplo, la función sucesora se\(f(x) = x + 1\) puede revertir, en el sentido de que la función\(g(y) = y - 1\) “deshace” lo que\(f\) hace.

Pero debemos tener cuidado. Aunque la definición de\(g\) define una función\(\Int \to \Int\), no define una función\(\Nat \to \Nat\), ya que\(g(0) \notin \Nat\). Entonces, incluso en casos simples, no es del todo obvio si una función se puede revertir; puede depender del dominio y del codominio.

Esto se hace más preciso por la noción de una inversa de una función.

Definición\(\PageIndex{1}\)

Una función\(g \colon B \to A\) es una inversa de una función\(f \colon A \to B\) si\(f(g(y)) = y\) y\(g(f(x)) = x\) para todos\(x \in A\) y\(y \in B\).

Si\(f\) tiene una inversa\(g\), a menudo escribimos\(f^{-1}\) en lugar de\(g\).

Ahora determinaremos cuándo las funciones tienen inversas. Un buen candidato para una inversa de\(f\colon A \to B\) es\(g\colon B \to A\) “definido por”\[g(y) = \text{“the” $x$ such that $f(x) = y$.}\nonumber\] Pero las citas de miedo en torno a “definido por” (y “el”) sugieren que esta no es una definición. Al menos, no siempre va a funcionar, con total generalidad. Porque, para que esta definición especifique una función, tiene que haber una y solo una\(x\) tal que\(f(x) = y\) —la salida de\(g\) tiene que especificarse de manera única. Además, tiene que especificarse para cada\(y \in B\). Si hay\(x_1\) y\(x_2 \in A\) con\(x_1 \neq x_2\) pero\(f(x_1) = f(x_2)\), entonces no se\(g(y)\) especificaría de manera única para\(y = f(x_1) = f(x_2)\). Y si no hay\(x\) en absoluto tal que\(f(x) = y\), entonces no\(g(y)\) se especifica en absoluto. Es decir,\(g\) para que se defina,\(f\) debe ser tanto inyectable como suryectiva.

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Cada bijección tiene una inversa única.

Prueba. Ejercicio. ◻

Problema\(\PageIndex{1}\)

Demostrar Proposición\(\PageIndex{1}\). Es decir, mostrar que si\(f\colon A \to B\) es biyectiva,\(f\) existe una inversa\(g\) de. Hay que definir tal\(g\), mostrar que es una función, y mostrar que es una inversa de\(f\), es decir,\(f(g(y)) = y\) y\(g(f(x)) = x\) para todos\(x \in A\) y\(y \in B\).

Sin embargo, existe una forma ligeramente más general de extraer inversos. Vimos en la sección 3.2 que cada función\(f\) induce una sobreyección\(f' \colon A \to \ran{f}\) al dejar\(f'(x) = f(x)\) para todos\(x \in A\). Claramente, si\(f\) es una inyección, entonces\(f'\) es una biyección, para que tenga una inversa única por Proposición\(\PageIndex{1}\). Por un abuso muy menor de notación, a veces llamamos a la inversa de\(f'\) simplemente “la inversa de”\(f\).

Problema\(\PageIndex{2}\)

Mostrar que si\(f\colon A \to B\) tiene una inversa\(g\), entonces\(f\) es biyectiva.

Proposición\(\PageIndex{2}\)

Cada función\(f\) tiene como máximo una inversa.

Prueba. Ejercicio. ◻

Problema\(\PageIndex{3}\)

Demostrar Proposición\(\PageIndex{2}\). Es decir, mostrar que si\(g\colon B \to A\) y\(g'\colon B \to A\) son inversos de\(f\colon A \to B\), entonces\(g = g'\), es decir, para todos\(y \in B\),\(g(y) = g'(y)\).