3.7: Funciones parciales

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A veces es útil relajar la definición de función para que no se requiera que la salida de la función esté definida para todas las entradas posibles. Tales asignaciones se denominan funciones parciales.

Definición\(\PageIndex{1}\)

Una función parcial\(f \colon A \pto B\) es un mapeo que asigna a cada elemento de\(A\) como máximo un elemento de\(B\). Si\(f\) asigna un elemento de\(B\) to\(x \in A\), decimos que\(f(x)\) está definido, y por lo demás indefinido. Si\(f(x)\) se define, escribimos\(f(x) \fdefined\), de lo contrario\(f(x) \fundefined\). El dominio de una función parcial\(f\) es el subconjunto de\(A\) donde se define, es decir,\(\dom{f} = \Setabs{x \in A}{f(x) \fdefined}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Cada función\(f\colon A \to B\) es también una función parcial. Las funciones parciales que se definen en todas partes en\(A\) —es decir, lo que hasta ahora hemos llamado simplemente una función—también se llaman funciones totales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La función parcial\(f \colon \Real \pto \Real\) dada por\(f(x) = 1/x\) es indefinida para\(x = 0\), y definida en todas partes.

Problema\(\PageIndex{1}\)

Dado\(f\colon A \pto B\), definir la función parcial\(g\colon B \pto A\) por: para cualquiera\(y \in B\), si hay una única\(x \in A\) tal que\(f(x) = y\), entonces\(g(y) = x\); de lo contrario\(g(y) \fundefined\). Demostrar que si\(f\) es inyectivo, entonces\(g(f(x)) = x\) para todos\(x \in \dom{f}\), y\(f(g(y)) = y\) para todos\(y \in \ran{f}\).

Definición\(\PageIndex{2}\): Graph of a partial function

Dejar\(f\colon A \pto B\) ser una función parcial. La gráfica de\(f\) es la relación\(R_f \subseteq A \times B\) definida por\[R_f = \Setabs{\tuple{x,y}}{f(x) = y}.\nonumber\]

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(R \subseteq A \times B\) tiene la propiedad que cuando\(Rxy\) y\(Rxy'\) entonces\(y = y'\). Entonces\(R\) está la gráfica de la función parcial\(f\colon X \pto Y\) definida por: si hay\(y\) tal que\(Rxy\), entonces\(f(x) = y\), de lo contrario\(f(x) \fundefined\). Si también\(R\) es serial, es decir, para cada uno\(x \in X\) hay\(y \in Y\) tal que\(Rxy\), entonces\(f\) es total.

Comprobante. Supongamos que hay\(y\) tal que\(Rxy\). Si hubiera otro\(y' \neq y\) tal que\(Rxy'\), se\(R\) violaría la condición puesta. De ahí que si hay\(y\) tal que\(Rxy\), eso\(y\) es único, y así\(f\) está bien definido. Obviamente,\(R_f = R\) y\(f\) es total si\(R\) es serial. ◻