5.10: Estructuras cubiertas para idiomas de primer orden

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Recordemos que un término se cierra si no contiene variables.

Definición\(\PageIndex{1}\): Value of closed terms

Si\(t\) es un término cerrado del idioma\(\Lang L\) y\(\Struct M\) es una estructura para\(\Lang L\), el valor\(\Value{t}{M}\) se define de la siguiente manera:

Si\(t\) es solo el símbolo constante\(c\), entonces\(\Value{c}{M} = \Assign{c}{M}\).
Si\(t\) es de la forma\(\Atom{f}{t_1, \ldots, t_n}\), entonces\[\Value{t}{M} = \Assign{f}{M}(\Value{t_1}{M}, \ldots, \Value{t_n}{M}).\nonumber\]

Definición\(\PageIndex{2}\): Covered structure

Se cubre una estructura si cada elemento del dominio es el valor de algún término cerrado.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\Lang L\) ser el lenguaje con símbolos constantes\(\Obj{zero}\),,\(\Obj{one}\),...\(\Obj{two}\), el símbolo de predicado binario\(<\), y los símbolos de función binarios\(+\) y\(\times\). Entonces una estructura\(\Struct M\) para\(\Lang L\) es aquella con dominio\(\Domain M = \{0, 1, 2, \ldots \}\) y asignaciones\(\Assign{\Obj{zero}}{M} = 0\),\(\Assign{\Obj{one}}{M} = 1\),\(\Assign{\Obj{two}}{M} = 2\), y así sucesivamente. Para el símbolo de relación binaria\(<\), el conjunto\(\Assign{<}{M}\) es el conjunto de todos los pares\(\tuple{c_1, c_2} \in \Domain{M}^2\) tal que\(c_1\) es menor que\(c_2\): por ejemplo,\(\tuple{1, 3} \in \Assign{<}{M}\) pero\(\tuple{2, 2} \notin \Assign{<}{M}\). Para el símbolo de función binaria\(+\),\(\Assign{+}{M}\) defina de la manera habitual, por ejemplo,\(\Assign{+}{M}(2,3)\) mapea a\(5\), y de manera similar para el símbolo de función binaria\(\times\). Por lo tanto, el valor de\(\Obj{four}\) es justo\(4\), y el valor de\(\times(\Obj{two}, +(\Obj{three},\Obj{zero}))\) (o en notación infija,\(\Obj{two} \times (\Obj{three} + \Obj{zero})\)) es\[\begin{gathered} \begin{aligned} \Value{\times(\Obj{two}, +(\Obj{three},\Obj{zero})}{M} & =\Assign{\times}{M}(\Value{\Obj{two}}{M}, \Value{+(\Obj{three}, \Obj{zero})}{M})\\ & = \Assign{\times}{M}(\Value{\Obj{two}}{M}, \Assign{+}{M}(\Value{\Obj{three}}{M}, \Value{\Obj{zero}}{M})) \\ & = \Assign{\times}{M}(\Assign{\Obj{two}}{M}, \Assign{+}{M}(\Assign{\Obj{three}}{M}, \Assign{\Obj{zero}}{M})) \\ & = \Assign{\times}{M}(2, \Assign{+}{M}(3, 0)) \\ & = \Assign{\times}{M}(2, 3) \\ & = 6 \end{aligned}\end{gathered}\]

Problema\(\PageIndex{1}\)

¿Está cubierto\(\Struct N\), el modelo estándar de aritmética? Explicar.