6: Las teorías y sus modelos
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- 6.1: Introducción
- El método axiomático y la lógica se hicieron el uno para el otro. La lógica formal proporciona las herramientas para formular teorías axiomáticas, para probar teoremas a partir de los axiomas de la teoría de una manera precisa, para estudiar las propiedades de todos los sistemas satisfaciendo los axiomas de manera sistemática.
- 6.2: Expresar las propiedades de las estructuras
- A menudo es útil e importante expresar condiciones sobre funciones y relaciones, o más generalmente, que las funciones y relaciones en una estructura satisfagan estas condiciones.
- 6.3: Ejemplos de teorías de primer orden
- Las matemáticas dan muchos ejemplos de teorías, por ejemplo, las teorías de órdenes lineales, de grupos, o teorías de la aritmética, por ejemplo, la teoría axiomatizada por los axiomas de Peano.
- 6.4: Expresar relaciones en una estructura
- Una fórmula de uso principal que se puede poner a es expresar propiedades y relaciones en una estructura\(M\) en términos de las primitivas del lenguaje\(\mathcal L\) de\(M\).
- 6.5: La teoría de los conjuntos
- Casi todas las matemáticas se pueden desarrollar en la teoría de conjuntos.
- 6.6: Expresar el tamaño de las estructuras
- Hay algunas propiedades de estructuras que podemos expresar incluso sin utilizar los símbolos no lógicos de un lenguaje. Por ejemplo, hay frases que son verdaderas en una estructura si el dominio de la estructura tiene al menos, como máximo, o exactamente un cierto número\(n\) de elementos.