6.1: Introducción

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El desarrollo del método axiomático es un logro significativo en la historia de la ciencia, y es de especial importancia en la historia de las matemáticas. Un desarrollo axiomático de un campo implica la aclaración de muchas preguntas: ¿De qué trata el campo? ¿Cuáles son los conceptos más fundamentales? ¿Cómo se relacionan? ¿Se pueden definir todos los conceptos del campo en términos de estos conceptos fundamentales? ¿Qué leyes obedecen y deben obedecer estos conceptos?

El método axiomático y la lógica se hicieron el uno para el otro. La lógica formal proporciona las herramientas para formular teorías axiomáticas, para probar teoremas a partir de los axiomas de la teoría de una manera precisa, para estudiar las propiedades de todos los sistemas satisfaciendo los axiomas de manera sistemática.

Definición\(\PageIndex{1}\)

Un conjunto de oraciones\(\Gamma\) se cierra iff, siempre que sea\(\Gamma \Entails A\) entonces\(A \in \Gamma\). El cierre de un conjunto de oraciones\(\Gamma\) es\(\Setabs{A}{\Gamma \Entails A}\).

Decimos que\(\Gamma\) está axiomatizado por un conjunto de oraciones\(\Delta\) si\(\Gamma\) es el cierre de\(\Delta\).

Podemos pensar en una teoría axiomática como el conjunto de oraciones que es axiomatizado por su conjunto de axiomas\(\Delta\). En otras palabras, cuando tenemos un lenguaje de primer orden que contiene símbolos no lógicos para los primitivos de la ciencia axiomáticamente desarrollada queremos estudiar, junto con un conjunto de oraciones que expresan las leyes fundamentales de la ciencia, podemos pensar en la teoría como representada por todas las oraciones en este lenguaje que conllevan los axiomas. Esto va desde ejemplos simples con solo un solo axioma primitivo y simple, como la teoría de los órdenes parciales, hasta teorías complejas como la mecánica newtoniana.

Los hechos lógicos importantes que hacen tan importante este acercamiento formal al método axiomático son los siguientes. Supongamos que\(\Gamma\) es un sistema de axiomas para una teoría, es decir, un conjunto de oraciones.

Podemos afirmar precisamente cuando un sistema de axiomas captura una clase pretendida de estructuras. Es decir, si nos interesa cierta clase de estructuras, capturaremos con éxito esa clase por un sistema de\(\Gamma\) axiomas si las estructuras son exactamente\(\Struct M\) esas que\(\Sat{M}{\Gamma}\).
Podemos fallar en este sentido porque hay\(\Struct M\) tales que\(\Sat{M}{\Gamma}\), pero no\(\Struct M\) es una de las estructuras que pretendemos. Esto puede llevarnos a sumar axiomas que no son ciertos en\(\Struct M\).
Si tenemos éxito al menos en el respeto que\(\Gamma\) es cierto en todas las estructuras pretendidas, entonces una oración\(A\) es cierta en todas las estructuras pretendidas siempre que sea\(\Gamma \Entails A\). Así podemos usar herramientas lógicas (como los métodos de prueba) para mostrar que las oraciones son verdaderas en todas las estructuras pretendidas simplemente mostrando que están implicadas por los axiomas.
A veces no tenemos en mente las estructuras pretendidas, sino que partimos de los propios axiomas: comenzamos con algunas primitivas que queremos satisfacer ciertas leyes que codificamos en un sistema de axiomas. Una cosa que nos gustaría verificar de inmediato es que los axiomas no se contradicen entre sí: si lo hacen, no puede haber conceptos que obedezcan estas leyes, y hemos tratado de establecer una teoría incoherente. Podemos verificar que esto no suceda encontrando un modelo de\(\Gamma\). Y si hay modelos de nuestra teoría, podemos usar métodos lógicos para investigarlos, y también podemos usar métodos lógicos para construir modelos.
La independencia de los axiomas es igualmente una cuestión importante. Puede suceder que uno de los axiomas sea en realidad consecuencia de los demás, y así es redundante. Podemos demostrar que un axioma\(A\) en\(\Gamma\) es redundante demostrando\(\Gamma \setminus \{A\} \Entails A\). También podemos demostrar que un axioma no es redundante demostrando que\((\Gamma \setminus \{A\}) \cup \{\lnot A\}\) es satisfactorio. Por ejemplo, así se demostró que el postulado paralelo es independiente de los otros axiomas de la geometría.
Otra cuestión importante es la de definibilidad de conceptos en una teoría: La elección del lenguaje determina en qué consisten los modelos de una teoría. Pero no todos los aspectos de una teoría deben ser representados por separado en sus modelos. Por ejemplo, cada orden\(\le\) determina un orden estricto correspondiente\(<\) —dado uno, podemos definir el otro. Por lo que no es necesario que un modelo de una teoría que involucre tal orden deba contener también el ordenamiento estricto correspondiente. ¿Cuándo es el caso, en general, de que una relación pueda definirse en términos de otras? ¿Cuándo es imposible definir una relación en términos de otra (y por lo tanto hay que agregarla a las primitivas de la lengua)?