6.3: Ejemplos de teorías de primer orden
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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
La teoría de los órdenes lineales estrictos en el lenguaje\(\Lang L_<\) es axiomatizada por el conjunto\[\begin{aligned} & \lforall{x}{\lnot x < x}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{((x < y \lor y < x) \lor x = y)}}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x < y \land y < z) \lif x < z)}}}\end{aligned}\] Captura completamente las estructuras pretendidas: cada orden lineal estricto es un modelo de este sistema de axiomas, y viceversa, si\(R\) es un orden lineal en un conjunto \(X\), entonces la estructura\(\Struct M\) con\(\Domain M = X\) y\(\Assign{<}{M} = R\) es un modelo de esta teoría.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
La teoría de grupos en el lenguaje\(\Obj 1\) (símbolo constante),\(\cdot\) (símbolo de función de dos lugares) es axiomatizada por\[\begin{aligned} & \lforall{x}{\eq[(x \cdot \Obj 1)][x]}\\ & \lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{\eq[(x \cdot (y \cdot z))][((x \cdot y) \cdot z)]}}}\\ & \lforall{x}{\lexists{y}{\eq[(x \cdot y)][\Obj 1]}}\end{aligned}\]
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
La teoría de la aritmética de Peano es axiomatizada por las siguientes frases en el lenguaje de la aritmética\(\Lang L_A\).
\ [\ begin {alineado}
&\ lforall {x} {\ lforall {y} {(\ eq [x'] [y']\ lif\ eq [x] [y])}}\\
&\ lforall {x} {\ eQn [\ Obj 0] [x']}\\
&\ lforall {x} {\ eq [(x +\ Obj 0)] [x]}\\
&\ lforall {x} {\ lforall {y} {\ eq [(x + y')] [(x + y) ']}}\\
&\ lforall {x} {\ eq [(x\ veces\ Obj 0)] [\ Obj 0]}\\
&\ lforall {x} {\ lforall {y} {\ eq [(x\ veces y')] [((x\ veces y) + x)]}}\\
&\ lforall {x} {\ lforall {y} {(x < y\ liff\ lexiste {z} {\ eq [(z' + x)] [y])})}}
\ end {alineado}\]
más todas las frases de la forma
\[(A(\Obj 0) \land \lforall{x}{(A(x) \lif A(x'))}) \lif \lforall{x}{A(x)}\nonumber\]
Dado que hay infinitamente muchas oraciones de esta última forma, este sistema de axiomas es infinito. Esta última forma se llama el esquema de inducción. (En realidad, el esquema de inducción es un poco más complicado de lo que dejamos pasar aquí).
El último axioma es una definición explícita de\(<\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
La teoría de los conjuntos puros juega un papel importante en los fundamentos (y en la filosofía) de las matemáticas. Un conjunto es puro si todos sus elementos son también conjuntos puros. El conjunto vacío cuenta por lo tanto como puro, pero un conjunto que tiene algo como elemento que no es un conjunto no sería puro. Entonces los conjuntos puros son aquellos que se forman solo a partir del conjunto vacío y sin “urelements”, es decir, objetos que no son en sí mismos conjuntos.
Los siguientes podrían considerarse como un sistema de axiomas para una teoría de conjuntos puros:
\ [\ begin {alineado}
&\ lexiste {x} {\ lnot\ lexiste {y} {y\ en x}}\\
&\ lforall {x} {\ lforall {y} {(\ lforall {z} {} (z\ in x\ liff z\ in y)\ lif\ eq [x] [y])}\\
&\ lforall {x} {\ lforall {y} {\ lexiste {z} {\ lforall {u} {(u\ en z\ liff (\ eq [u] [x]\ lor\ eq [u] [y]))}}}}\\
&\ lforall {x} {\ lexiste {y} {\ lforall {z} {(z\ in y\ liff\ lexiste {u} {(z\ en u\ tierra u\ en x)})}}}\ fin {alineado}\]
más todas las frases de la forma
\[\lexists{x}{\lforall{y}{(y \in x \liff A(y))}}\nonumber\]
El primer axioma dice que hay un conjunto sin elementos (es decir,\(\emptyset\) existe); el segundo dice que los conjuntos son extensionales; el tercero que para cualquier conjunto\(X\) y\(Y\), el conjunto\(\{X, Y\}\) existe; el cuarto que para cualquier conjunto\(X\) , el conjunto\(\cup X\) existe, donde\(\cup X\) está la unión de todos los elementos de\(X\).
Las oraciones mencionadas en último lugar se denominan colectivamente el esquema de comprensión ingenua. Básicamente dice que para cada\(A(x)\), el conjunto\(\Setabs{x}{A(x)}\) existe, así que a primera vista un axioma verdadero, útil, y quizás incluso necesario. Se le llama “ingenuo” porque, como resulta, hace que esta teoría sea insatisfactoria: si tomas\(A(y)\) a ser\(\lnot y \in y\), obtienes la oración\[\lexists{x}{\lforall{y}{(y \in x \liff \lnot y \in y)}}\nonumber\] y esta oración no queda satisfecha en ninguna estructura.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
En el área de la mereología, la relación de la paridad es una relación fundamental. Al igual que las teorías de conjuntos, hay teorías de la paridad que axiomatizan diversas concepciones (a veces contradictorias) de esta relación.
El lenguaje de la mereología contiene un solo símbolo predicado de dos lugares\(\Obj P\), y\(\Atom{\Obj P}{x, y}\) “significa” que\(x\) es parte de\(y\). Cuando tenemos esta interpretación en mente, una estructura para este lenguaje se llama estructura de paridad. Por supuesto, no todas las estructuras para un solo predicado de dos lugares realmente merecerán este nombre. Para tener la oportunidad de capturar la “paternidad”,\(\Assign{\Obj P}{M}\) hay que satisfacer algunas condiciones, que podemos establecer como axiomas para una teoría de la paternidad. Por ejemplo, la paternidad es un orden parcial sobre los objetos: cada objeto es una parte (aunque sea una parte impropia) de sí mismo; no hay dos objetos diferentes que puedan ser partes el uno del otro; una parte de una parte de un objeto es en sí misma parte de ese objeto. Nótese que en este sentido “es una parte de” se asemeja a “es un subconjunto de”, pero no se parece a “es un elemento de” que no es ni reflexivo ni transitorio.
\[\begin{aligned} & \lforall{x}{\Atom{\Obj P}{x,x}}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{((\Part{x}{y} \land \Part{y}{x}) \lif \eq[x][y])}}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((\Part{x}{y} \land \Part{y}{z}) \lif \Part{x}{z})}}},\end{aligned}\]
Además, dos objetos cualesquiera tienen una suma mereológica (un objeto que tiene estos dos objetos como partes, y es mínimo a este respecto).
\[\lforall{x}{\lforall{y}{\lexists{z}{\lforall{u}{(\Part{z}{u} \liff (\Part{x}{u} \land \Part{y}{u}))}}}}\nonumber\]
Estos son sólo algunos de los principios básicos de la paridad considerados por los metafísicos. Otros principios, sin embargo, rápidamente se vuelven difíciles de formular o escribir sin antes presentar algunas relaciones definidas. Por ejemplo, la mayoría de los metafísicos interesados en la mereología también ven lo siguiente como un principio válido: siempre que un objeto\(x\) tiene una parte propia\(y\), también tiene una parte\(z\) que no tiene partes en común con\(y\), y para que la fusión de\(y\) y\(z\) es\(x\).