10.1: Introducción

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El teorema de la integridad es uno de los resultados más fundamentales sobre la lógica. Viene en dos formulaciones, cuya equivalencia probaremos. En su primera formulación dice algo fundamental sobre la relación entre la consecuencia semántica y nuestro sistema de prueba: si una oración se\(A\) desprende de algunas oraciones\(\Gamma\), entonces también hay una derivación que establece\(\Gamma \Proves A\). Así, el sistema de pruebas es lo más fuerte posible sin probar cosas que en realidad no siguen.

En su segunda formulación, se puede afirmar como un resultado de existencia modelo: todo conjunto consistente de oraciones es satisfecha. La consistencia es una noción teórica de prueba: dice que nuestro sistema de prueba es incapaz de producir ciertas derivaciones. Pero, ¿quién puede decir que solo porque no hay derivaciones de cierto tipo de\(\Gamma\), se garantiza que hay una estructura\(\Struct{M}\)? Antes de que se demostrara por primera vez el teorema de completitud —de hecho antes de que tuviéramos los sistemas de prueba que ahora hacemos—, el gran matemático alemán David Hilbert sostuvo la opinión de que la consistencia de las teorías matemáticas garantiza la existencia de los objetos de los que se tratan. Lo puso de la siguiente manera en una carta a Gottlob Frege:

Si los axiomas dados arbitrariamente no se contradicen entre sí con todas sus consecuencias, entonces son verdaderos y existen las cosas definidas por los axiomas. Este es para mí el criterio de la verdad y de la existencia.

Frege discrepó vehementemente. La segunda formulación del teorema de la completitud muestra que Hilbert tenía razón en al menos el sentido de que si los axiomas son consistentes, entonces existe alguna estructura que los haga todos verdaderos.

Estas no son las únicas razones por las que el teorema de integridad —o mejor dicho, su prueba— es importante. Tiene una serie de consecuencias importantes, algunas de las cuales discutiremos por separado. Por ejemplo, dado que cualquier derivación que muestre\(\Gamma \Proves A\) es finita y así solo puede usar finitamente muchas de las oraciones en\(\Gamma\), sigue por el teorema de integridad que si\(A\) es consecuencia de\(\Gamma\), ya es consecuencia de un finito subconjunto de\(\Gamma\). Esto se llama compacidad. Equivalentemente, si cada subconjunto finito de\(\Gamma\) es consistente, entonces\(\Gamma\) él mismo debe ser consistente.

Aunque el teorema de compacidad se desprende del teorema de integridad a través del desvío a través de derivaciones, también es posible utilizar la prueba del teorema de integridad para establecerlo directamente. Porque lo que hace la prueba es tomar un conjunto de oraciones con cierta propiedad —consistencia— y construir una estructura a partir de este conjunto que tiene ciertas propiedades (en este caso, que satisface al conjunto). Casi la misma construcción se puede utilizar para establecer directamente la compacidad, partiendo de conjuntos de oraciones “finitamente satisfactorias” en lugar de frases consistentes. La construcción también produce otras consecuencias, por ejemplo, que cualquier conjunto de oraciones satisfactorias tiene un modelo finito o contablemente infinito. (Este resultado se llama teorema de Löwenheim-Skolem.) En general, la construcción de estructuras a partir de conjuntos de oraciones se utiliza a menudo en la lógica, y a veces incluso en la filosofía.