11.1: Visión general

La lógica de primer orden no es el único sistema de lógica de interés: hay muchas extensiones y variaciones de la lógica de primer orden. Una lógica suele consistir en la especificación formal de un lenguaje, generalmente, pero no siempre, un sistema deductivo, y generalmente, pero no siempre, una semántica intencional. Pero el uso técnico del término plantea una pregunta obvia: ¿qué tienen que ver las lógicas que no son de primer orden con la palabra “lógica”, utilizada en el sentido intuitivo o filosófico? Todos los sistemas que se describen a continuación están diseñados para modelar el razonamiento de una forma u otra; ¿podemos decir qué los hace lógicos?

No hay respuestas fáciles. La palabra “lógica” se emplea de diferentes maneras y en diferentes contextos, y la noción, como la de “verdad”, ha sido analizada desde numerosas posturas filosóficas. Por ejemplo, se podría tomar el objetivo del razonamiento lógico como la determinación de qué afirmaciones son necesariamente verdaderas, verdaderas a priori, verdaderas independientes de la interpretación de los términos no lógicos, verdaderas en virtud de su forma, o verdaderas por convención lingüística; y cada una de estas concepciones requiere un bien trato de aclaración. Incluso si uno restringe la atención al tipo de lógica utilizada en las matemáticas, hay poco acuerdo en cuanto a su alcance. Por ejemplo, en los Principia Mathematica, Russell y Whitehead intentaron desarrollar las matemáticas sobre la base de la lógica, en la tradición logística iniciada por Frege. Su sistema de lógica era una forma de lógica de tipo superior similar a la que se describe a continuación. Al final se vieron obligados a introducir axiomas que, en la mayoría de los estándares, no parecen puramente lógicos (notablemente, el axioma del infinito, y el axioma de reducibilidad), pero se podría sostener que algunas formas de razonamiento de orden superior deberían aceptarse como lógicas. En contraste, Quine, cuya ontología no admite “proposiciones” como objetos legítimos del discurso, sostiene que la lógica de segundo orden y de orden superior son realmente manifestaciones de la teoría de conjuntos en la vestimenta de ovejas; en otras palabras, los sistemas que implican cuantificación sobre predicados no son puramente lógicos.

Por ahora, lo mejor es dejar esas cuestiones filosóficas para un día lluvioso, y simplemente pensar en los sistemas de abajo como idealizaciones formales de diversos tipos de razonamientos, lógicos o no.