2.3: Negación y Disyunción

En esta sección vamos a introducir la segunda y tercera conectivos verdad-funcionales: negación y disyunción. Empezaremos con la negación, ya que es lo más fácil de entender de los dos. La negación es el operador verdad-funcional que cambia el valor de verdad de una proposición de falso a verdadero o de verdadero a falso. Por ejemplo, si la afirmación “los perros son mamíferos” es verdadera (que es), entonces podemos hacer que esa afirmación sea falsa agregando una negación. En inglés, la negación se agrega de manera más natural justo antes de la frase sustantiva que sigue al verbo enlazante así:

Los perros no son mamíferos.

Pero otra forma de agregar la negación es con la frase, “no es el caso que” así:

No es el caso de que los perros sean mamíferos.

Cualquiera de estas frases en inglés expresa la misma proposición, que es simplemente la negación de la proposición atómica, “los perros son mamíferos”. Por supuesto, esa proposición es falsa ya que es cierto que los perros son mamíferos. Así como podemos hacer falsa una declaración verdadera negándola, también podemos hacer que una declaración falsa sea verdadera agregando una negación. Por ejemplo, la afirmación, “Cincinnati es la capital de Ohio” es falsa. Pero podemos hacer que esa afirmación sea cierta agregando una negación:

Cincinnati no es la capital de Ohio

Hay muchas formas diferentes de expresar las negaciones en inglés. Aquí hay algunas formas de expresar la proposición anterior de diferentes maneras en inglés:

Cincinnati no es la capital de Ohio

No es cierto que Cincinnati sea la capital de Ohio

No es el caso de que Cincinnati sea la capital de Ohio

Cada una de estas frases en inglés expresa la misma proposición verdadera, que es simplemente la negación de la proposición atómica, “Cincinnati es la capital de Ohio”. Como esa afirmación es falsa, su negación es verdadera.

Hay un aspecto en el que la negación difiere de los otros tres conectivos verdad- funcionales que introduciremos en este capítulo. A diferencia de las otras tres, la negación no conecta dos proposiciones diferentes. Sin embargo, lo llamamos un conectivo verdad-funcional porque aunque en realidad no conecta dos proposiciones diferentes, sí cambia el valor de verdad de las proposiciones de una manera verdad-funcional. Es decir, si conocemos el valor de verdad de la proposición que estamos negando, entonces conocemos el valor de verdad de la proposición negada resultante. Podemos representar esta información en la tabla de la verdad para la negación. En la siguiente tabla, el símbolo que usaremos para representar la negación se llama la “tilde” (~). (Puedes encontrar la tilde en la parte superior izquierda de tu teclado).

p	~p
T	F
F	T

Esta tabla de la verdad representa el significado del conectivo verdad-funcional, la negación, que se representa por la tilde en nuestro lenguaje simbólico. La fila de cabecera de la tabla representa alguna proposición p (que podría ser cualquier proposición) y la negación de esa proposición, ~p. Lo que dice la tabla es simplemente que si una proposición es verdadera, entonces la negación de esa proposición es falsa (como en la primera fila de la tabla); y si una proposición es falsa, entonces la negación de esa proposición es verdadera (como en la segunda fila de la tabla).

Como hemos visto, es fácil formar oraciones en nuestro lenguaje simbólico usando la tilde. Todo lo que tenemos que hacer es agregar una tilde al lado izquierdo de una oración existente. Por ejemplo, podríamos representar la declaración “Cincinnati es la capital de Ohio” usando la letra mayúscula C, que se llama constante. En la lógica proposicional, una constante es una letra mayúscula que representa una proposición atómica. En ese caso, podríamos representar la afirmación “Cincinnati no es la capital de Ohio” así:

~C

De igual manera, podríamos representar la declaración “Toledo es la capital de Ohio” utilizando la constante T. En ese caso, podríamos representar la declaración “Toledo no es la capital de Ohio” así:

~T

También podríamos crear una oración que sea una conjunción de estas dos negaciones, así:

~C ⋅ ~T

¿Puedes averiguar qué dice esta compleja proposición? (Piénsalo; deberías ser capaz de resolverlo dado tu comprensión de las conectivas, negación y conjunción de la verdad funcionales). Las proposiciones dicen (literalmente): “Cincinnati no es la capital de Ohio y Toledo no es la capital de Ohio”. En secciones posteriores aprenderemos a formar proposiciones complejas utilizando diversas combinaciones de cada una de las cuatro conectivas verdad-funcionales. Antes de que podamos hacer eso, sin embargo, necesitamos introducir nuestra siguiente disyunción conectiva de verdad funcional.

La palabra inglesa que más comúnmente funciona como disyunción es la palabra “or”. También es común que el “o” esté precedido por un “ya sea” anterior en la oración, así:

Ya sea Charlie o Violet rastrearon barro a través de la casa.

Lo que esta frase afirma es que uno u otro (y posiblemente ambos) de estos individuos rastrearon barro a través de la casa. Así, se compone de las siguientes dos proposiciones atómicas:

Charlie rastreó el barro a través de la casa

Violeta rastreó barro a través de la casa

Si el caso es que Charlie rastreó el barro por la casa, la afirmación es cierta. Si el caso es que Violet rastreó el barro a través de la casa, la afirmación también es cierta. Esta afirmación sólo es falsa si de hecho ni Charlie ni Violet rastrearon barro a través de la casa. Esta afirmación también sería cierta aunque fueran tanto Charlie como Violet quienes rastrearon el barro por la casa. Otro ejemplo de una disyunción que tiene este mismo patrón se puede ver en la campaña “click it or ticket” de la Administración Nacional de Seguridad Vial. Piensa en lo que significa el eslogan. Lo que dice el eslogan de la campaña es:

O abrocharse el cinturón de seguridad o conseguir un boleto

Esta es una especie de advertencia: abróchese el cinturón de seguridad o obtendrá un boleto. Piense en las condiciones bajo las cuales esta afirmación sería cierta. Solo hay cuatro escenarios diferentes:

Tu cinturón de seguridad está abrogado	No obtienes un boleto	Cierto
Tu cinturón de seguridad no está abrogado	Obtienes un boleto	Cierto
Tu cinturón de seguridad está abrogado	Obtienes un boleto	Falso
Tu cinturón de seguridad no está abrogado	No obtienes un boleto	Falso

El primer y segundo escenarios (filas 1 y 2) son bastante claros, según la declaración “click it or ticket”. Pero supongamos que se abrocha el cinturón de seguridad, ¿todavía es posible obtener un boleto (como en el tercer escenario, fila 3)? ¡Por supuesto que lo es! Es decir, el enunciado permite que tanto pueda ser cierto que tu cinturón de seguridad esté abrogado y cierto que te den un boleto. ¿Cómo es así? (Piénsalo por un segundo y probablemente te darás cuenta de la respuesta). Supongamos que tu cinturón de seguridad está abrochado pero estás acelerando, o tu luz trasera está apagada, o estás conduciendo bajo los efectos del alcohol. En cualquiera de esos casos, obtendrías un boleto aunque llevaras el cinturón de seguridad. Entonces la disyunción, clic en él o ticket, claramente permite que la declaración sea cierta incluso cuando ambos de los disyuntos (los enunciados que forman la disyunción) son ciertos. La única forma en que se demostraría que la disyunción es falsa es si (cuando se detiene) no llevabas el cinturón de seguridad y, sin embargo, no obtuviste boleto. Así, la única manera de que la disyunción sea falsa es cuando ambos disjuntos son falsos.

Estos ejemplos revelan un patrón: una disyunción es una afirmación verdad-funcional que es verdadera en cada instancia excepto donde ambos disjuntos son falsos. En nuestro lenguaje simbólico, el símbolo que usaremos para representar una disyunción se llama “cuña” (v). (Simplemente puede usar una “v” minúscula para escribir la cuña). Aquí está la tabla de la verdad para la disyunción:

p	q	p v q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Como antes, el encabezado de esta tabla de verdad representa dos proposiciones (dos primeras columnas) y su disyunción (última columna). Las siguientes cuatro filas representan las condiciones bajo las cuales la disyunción es verdadera. Como hemos visto, la disyunción es cierta cuando al menos una de sus disyunciones es verdadera, incluso cuando ambas son verdaderas (las tres primeras filas). Una disyunción es falsa solo si ambos desjuntos son falsos (última fila).

Tal y como lo hemos definido, la cuña (v) es lo que se llama un “o inclusivo”. Un incluyente o es una disyunción que es cierto incluso cuando ambos disjuntos son ciertos.

No obstante, a veces una disyunción implica claramente que la afirmación es cierta sólo si una u otra de las disyunciones es cierta, pero no ambas. Por ejemplo, supongamos que sabes que Bob se colocó ya sea primero o segundo en la carrera porque recuerdas haber visto una foto de él en el periódico donde estaba parado en un podio (y ya sabes que solo los dos mejores corredores de la carrera llegan a pararse en el podio). Aunque no recuerdes en qué lugar estaba, ya sabes que:

Bob se ubicó primero o segundo en la carrera.

Esta es una disyunción que se construye a partir de dos proposiciones atómicas diferentes:

Bob se ubicó primero en la carrera

Bob se ubicó segundo en la carrera

Aunque suena incómodo escribirlo de esta manera en inglés, simplemente podríamos conectar cada declaración atómica con un “o”:

Bob se ubicó primero en la carrera o Bob se ubicó segundo en la carrera.

Esa frase hace explícito el hecho de que esta afirmación es una disyunción de dos declaraciones separadas. No obstante, también es claro que en este caso la disyunción no sería cierta si todos los disjuntos fueran ciertos, porque no es posible que todos los disjuntos sean ciertos, ya que Bob no puede haber colocado tanto primero como segundo. Así, queda claro en un caso como éste, que el “o” se entiende como lo que se llama una “o exclusiva”. Una exclusividad o es una disyunción que es cierta sólo si una u otra, pero no ambas, de sus disyunciones es cierta. Cuando crees que la mejor interpretación de una disyunción es como exclusiva o, hay formas de representarlo usando una combinación de la disyunción, conjunción y negación. La razón por la que interpretamos la cuña como una inclusiva o más bien que una exclusiva o es que si bien podemos construir una exclusiva o a partir de una combinación de un conectivo inclusivo u otro de verdad funcional (como acabo de señalar), no hay manera de construir un inclusivo o fuera de lo exclusivo o y otra verdad- conectivos funcionales. Veremos cómo representar una exclusiva o en la sección 2.5.

Ejercicio

Traduzca las siguientes frases en inglés a nuestro lenguaje formal usando conjunción (el punto), negación (la tilde) o disyunción (la cuña). Utilice las constantes sugeridas para representar las proposiciones atómicas.

1. O Bob fregará o Tom fregará. (B = Bob fregará; T = Tom fregará)
2. Hoy no hace sol. (S = hoy hace sol)
3. No es el caso de que Bob sea un ladrón. (B = Bob es un ladrón)
4. Harry llega esta noche o mañana por la noche. (A = Harry llega esta noche; B = Harry llega mañana por la noche)
5. A Gareth no le gusta su nombre. (G = A Gareth le gusta su nombre)
6. O no va a llover el lunes o no va a llover el martes. (M = Lloverá el lunes; T = Lloverá el martes)
7. A Tom no le gusta la tarta de queso. (T = A Tom le gusta la tarta de queso)
8. A Bob le gustaría tener como mascota tanto un gato grande como un perro pequeño. (C = A Bob le gustaría tener un gato grande como mascota; D = A Bob le gustaría tener un perro pequeño como mascota)
9. Bob Saget en realidad no es muy gracioso. (B = Bob Saget es muy gracioso)
10.Albert Einstein no creía en Dios. (A = Albert Einstein creía en Dios)