2.4: Usar parantesis para traducir oraciones complejas

Hemos visto cómo traducir ciertas oraciones simples a nuestro lenguaje simbólico usando el punto, la cuña y la tilde. El proceso de traducción comienza con determinar cuáles son las proposiciones atómicas de la oración y luego usar los conectivos funcionales de la verdad para formar la proposición compuesta. A veces esto será bastante sencillo y fácil de entender, especialmente si solo se usa un operador con funcionalidad de verdad en la oración en inglés. Sin embargo, muchas frases contendrán más de un operador de verdad funcional. Aquí hay un ejemplo:

Bob no irá a clase sino que jugará videojuegos.

¿Cuáles son las proposiciones atómicas contenidas en esta frase inglesa? Claramente, la sentencia está haciendo valer dos cosas:

Bob no va a ir a clase

Bob jugará videojuegos

El primer enunciado no es una proposición atómica, ya que contiene una negación, “no”. Pero la segunda afirmación es atómica ya que no contiene ningún conectivo de verdad funcional. Entonces, si la primera afirmación es una negación, ¿cuál es la afirmación no negada, atómica? Es esto:

Bob irá a clase

Utilizaré la constante C para representar esta proposición atómica y G para representar la proposición, “Bob jugará videojuegos”. Ahora que hemos identificado nuestras dos proposiciones atómicas, ¿cómo podemos construir nuestra compleja oración usando solo esas proposiciones atómicas y las conectivas de verdad funcionales? Empecemos con la declaración “Bob no irá a clase”. Ya que hemos definido la constante “C” como “Bob irá a clase” entonces podemos representar fácilmente la afirmación “Bob no irá a clase” usando una negación, así:

~C

La frase original afirma eso, pero también se afirma que Bob jugará videojuegos. Es decir, está haciendo valer ambas afirmaciones. Eso significa que estaremos conectando “~C” con “G” con el operador de punto. Como ya asignamos “G” a la declaración “Bob jugará videojuegos”, la traducción resultante debería verse así:

~C ⋅ G

Aunque a veces podemos traducir oraciones a nuestro lenguaje simbólico sin el uso de paréntesis (como hicimos en el ejemplo anterior), muchas veces una traducción requerirá el uso de paréntesis. Por ejemplo:

Bob no irá ambos a clase y jugará videojuegos.

Observe que mientras que la frase anterior afirmaba que Bob no irá a clase, esta oración no lo hace. Más bien, afirma que Bob no hará ambas cosas (es decir, ir a clase y jugar videojuegos), sino solo una u otra (y posiblemente ninguna). Es decir, esta frase no nos dice con certeza que Bob/no irá a clase o que/no jugará videojuegos, sino sólo que no hará ambas cosas. Usando las mismas traducciones que antes, ¿cómo traduciríamos esta frase? Debe quedar claro que no podemos usar la misma traducción que antes ya que estas dos frases no están diciendo lo mismo. Por lo tanto, no podemos usar la traducción:

~C ⋅ G

ya que esa traducción dice con seguridad que Bob no irá a clase y que jugará videojuegos. Así, nuestra traducción debe ser diferente. Aquí está cómo traducir la oración:

~ (C ⋅ G)

He introducido aquí algunos símbolos nuevos, los paréntesis. Los paréntesis se utilizan en lógica formal para mostrar agrupaciones. En este caso, los paréntesis representan que la conjunción, “C ⋅ G”, se agrupa y la negación abarca toda esa conjunción en lugar de solo el primer conjuto (como fue el caso de la traducción anterior). Al usar varios operadores, debe aprender a distinguir qué operador es el operador principal. El operador principal de una oración es el que conecta las principales agrupaciones de la oración. En este caso, el “conector” es la negación, ya que “conecta” la única agrupación en esta oración. En contraste, en el ejemplo anterior (~C ⋅ G), el operador principal era la conjunción más que la negación. Podemos ver la necesidad de paréntesis para distinguir estas dos traducciones diferentes. Sin el uso de paréntesis, no tendríamos forma de distinguir estas dos frases, que claramente tienen significados diferentes.

Aquí hay un ejemplo diferente donde debemos utilizar paréntesis:

Noelle o alimentará a los perros o limpiará su habitación, pero no va a lavar los platos.

¿Se puede decir cuántas proposiciones atómicas contiene esta frase? Contiene tres proposiciones atómicas que son:

Noelle alimentará a los perros (F)

Noelle limpiará su habitación (C)

Noelle hará los platillos (D)

Lo que he escrito entre paréntesis a la derecha de la declaración es la constante que utilizaré para representar estas declaraciones atómicas en mi traducción simbólica. Observe que la sentencia definitivamente no está afirmando que cada una de estas afirmaciones es cierta. Más bien, lo que tenemos que hacer es usar estas proposiciones atómicas para capturar el significado de la oración original en inglés usando solo nuestros operadores funcionales de verdad. En esta oración usaremos realmente los tres operadores de verdad-funcionales (disyunción, conjunción, negación). Empecemos con la negación, ya que esa es relativamente fácil. Dado cómo hemos representado la proposición atómica, D, decir que Noelle no va a hacer los platillos es simplemente la negación de D:

~D

Ahora considera la primera parte de la frase: Noelle alimentará a los perros o limpiará su habitación. Deberías ver el “ya sea... o” ahí y reconocerlo como una disyunción, que representamos con la cuña, así:

F v C

Ahora bien, ¿cómo están conectadas estas dos proposiciones compuestas, “~D” y “F v C”? Hay una palabra en la oración que te da propina: el “pero”. Como vimos antes, “pero” es una forma común de representar una conjunción en inglés. Así, tenemos que unir la disyunción (F v C) y la negación (~D). Se podría pensar que simplemente podríamos unir las dos proposiciones como esta:

F v C ⋅ ~D

No obstante, esa traducción no sería correcta, porque no es lo que llamamos una fórmula bien formada. Una fórmula bien formada es una oración en nuestro lenguaje simbólico que tiene exactamente una interpretación o significado. Sin embargo, la traducción que hemos dado es ambigua entre dos significados diferentes. Podría significar eso (Noelle alimentará a los perros) o (Noelle limpiará su habitación y no lavará los platos). Esa afirmación sería cierta si Noelle alimentara a los perros y también hiciera los platillos. Podemos representar simbólicamente esta posibilidad, usando paréntesis como este:

F v (C ⋅ ~D)

El punto de los paréntesis es agrupar las partes principales de la oración juntas. En este caso, estamos agrupando la “C ⋅ ~D” y dejando la “F” por sí misma. El resultado es que esas agrupaciones están conectadas por una disyunción, que es el principal operador de la sentencia. En este caso, sólo hay dos agrupaciones: “F” por un lado, y “C ⋅ ~D” por otro lado.

Pero la frase original también podría significar eso (Noelle alimentará a los perros o limpiará su habitación) y (Noelle no lavará los platos). En contraste con nuestra interpretación anterior, esta interpretación sería falsa si Noelle alimentara a los perros e hiciera los platillos, ya que esta interpretación afirma que Noelle no hará los platillos (como parte de una conjunción). Así es como representaríamos simbólicamente esta interpretación:

(F v C) ⋅ ~D

Observe que esta interpretación, a diferencia de la última, agrupa a la “F v C” y deja la “~D” por sí misma. Estos dos agrupamientos se conectan entonces por una conjunción, que es el operador principal de esta compleja oración.

El hecho de que nuestro intento inicial de traducción (sin usar paréntesis) arrojara una frase ambigua muestra la necesidad de paréntesis para desambiguar las diferentes posibilidades. Dado que nuestro lenguaje formal tiene como objetivo eliminar toda ambigüedad, debemos elegir una de las dos agrupaciones como traducción de nuestra oración original en inglés. Entonces, ¿qué agrupación captura con precisión la oración original? Es la segunda traducción que captura con precisión el significado de la frase original en inglés. Esa frase afirma claramente que Noelle no va a lavar los platillos y eso es lo que dice nuestra segunda traducción. En contraste, la primera traducción es una frase que podría ser cierta aunque Noelle hiciera los platillos. Dada nuestra comprensión de la frase original en inglés, no debería ser cierto bajo esas circunstancias ya que afirma claramente que Noelle no va a lavar los platillos.

Pasemos a un ejemplo diferente. Considera la frase:

O tanto Bob como Karen están lavando los platos o Sally y Tom lo están.

Esta frase contiene cuatro proposiciones atómicas:

Bob está lavando los platos (B)

Karen está lavando los platos (K)

Sally está lavando los platos (S)

Tom está lavando los platos (T)

Como antes, he escrito las constantes que usaré para representar cada proposición atómica a la derecha de cada proposición atómica. Puedes usar cualquier letra que te gustaría al elaborar tus propias traducciones, siempre y cuando cada propuesta atómica use una letra mayúscula diferente. (Normalmente trato de elegir letras que sean distintivas de cada oración, como elegir “B” para “Bob”). Entonces, ¿cómo podemos usar los operadores funcionales de la verdad para conectar estas proposiciones atómicas entre sí y producir una oración que capture el significado de la oración original en inglés? Claramente B y K se están agrupando junto con la conjunción “y” y S y T también se están agrupando junto con la conjunción “y” también:

(B ⋅ K)

(S ⋅ T)

Además, el principal operador de la sentencia es una disyuntiva, a la que se le debe avisar con la frase “ya sea... o”. Así, la traducción correcta de la sentencia es:

(B ⋅ K) v (S ⋅ T)

El principal operador de esta frase es la disyunción (la cuña). Nuevamente, es el operador principal porque agrupa las dos agrupaciones de oraciones principales.

Terminemos esta sección con un último ejemplo. Considera la frase:

Tom no lavará los platos y no ayudará a preparar la cena; sin embargo, aspirará el piso o cortará la hierba.

Esta frase contiene cuatro proposiciones atómicas:

Tom lavará los platos (W)

Tom ayudará a preparar la cena (P)

Tom aspirará el piso (V)

Tom cortará la hierba (C)

De los ingleses (por el “no”) queda claro que necesitamos negar tanto a W como a P. También queda claro del inglés (por el “y”) que W y P están agrupados. Así, la primera parte de la traducción debe ser:

(~W ⋅ ~P)

También es claro que la última parte de la oración (que sigue al punto y coma) es una agrupación de V y C y que esas dos proposiciones están conectadas por una disyunción (por la palabra “o”):

(V v C)

Finalmente, estos dos agrupamientos están conectados por una conjunción (debido al “sin embargo”, que es una palabra que a menudo funciona como conjunción). Así, la traducción correcta de la sentencia es:

(~W ⋅ ~P) ⋅ (V v C)

Como hemos visto en esta sección, traducir frases del inglés a nuestro lenguaje simbólico es un proceso que puede capturarse como una serie de pasos:

Paso 1: Determinar cuáles son las proposiciones atómicas.
Paso 2: Elige una constante única para representar cada propuesta atómica.
Paso 3: Si la oración contiene más de dos proposiciones atómicas, determinar qué proposiciones atómicas se agrupan y qué operador verdad-funcional las conecta.
Paso 4: Determinar cuál es el operador principal de la oración (es decir, qué operador funcional de verdad conecta los grupos de declaraciones atómicas juntos).
Paso 5: Una vez que su traducción esté completa, léela de nuevo y vea si captura con precisión lo que transmite la oración original en inglés. Si no, ver si otra forma de agrupar las partes captura mejor lo que transmite la oración original.

Intente usar estos pasos para crear sus propias traducciones de las oraciones en el ejercicio a continuación.

Ejercicio

Traduce las siguientes frases en inglés a nuestro lenguaje simbólico usando cualquiera de los tres operadores funcionales de la verdad (es decir, conjunción, negación y disyunción). Usa las constantes al final de cada oración para representar las proposiciones atómicas para las que obviamente están destinadas. Después de haber traducido la oración, identifique qué conectivo verdad-funcional es el operador principal de la oración. (Nota: no todas las oraciones requieren paréntesis; una oración requiere paréntesis solo si contiene más de dos proposiciones atómicas.)

1. Bob no sabe pilotar un avión o pilotar un barco, pero sí sabe andar en motocicleta. (A, S, M)
2. Tom no sabe nadar ni montar a caballo. (S, H)
3. Teresa escribe poemas, no novelas. (P, N)
4. A Bob no le gusta Sally ni Felicia, pero sí le gusta Alice. (S, F, A)
5. El cricket no se juega ampliamente en Estados Unidos, pero tanto el fútbol como el béisbol sí lo son. (C, F, B)
6. Tom y Linda son amigos, pero Tom y Susan no lo son, aunque Linda y Susan lo son. (T, S, L)
7. Lansing está al este de Grand Rapids pero al oeste de Detroit. (E, W)
8. O Tom o Linda trajeron a David a casa después de su cirugía; pero no fue Steve. (T, L, S)
9. El próximo año, Steve vivirá ya sea en Boulder o Flagstaff, pero no en Phoenix ni en Denver. (B, F, P, D)
10. Enrique VII de Inglaterra estaba casado con Ana Bolena y Jane Seymour, pero sólo ejecutó a Ana Bolena. (A, J, E)
11. Enrique VII de Inglaterra ejecutó a Anne Bolena y Jane Bolena o a Thomas Cromwell y Thomas More. (A, J, C, M)
12. Los niños deben ser vistos, pero no escuchados. (S, H)