2.9: Equivalencia de Material

Como vimos en la última sección, dos frases simbólicas diferentes pueden traducir la misma oración en inglés. En la última sección afirmé que “~S R” y “S v R” son equivalentes. Más precisamente, son formas equivalentes de capturar la relación verdad-funcional entre proposiciones. Dos proposiciones son materialmente equivalentes si y sólo si tienen el mismo valor de verdad para cada asignación de valores de verdad a las proposiciones atómicas. Es decir, tienen los mismos valores de verdad en cada fila de una tabla de verdad. La tabla de verdad a continuación demuestra que “~S R” y “S v R” son materialmente equivalentes.

R	S	~S R	S v R
T	T	F T	T
T	F	T T	T
F	T	F T	T
F	F	T F	F

Si miras los valores de verdad bajo los operadores principales de cada oración, puedes ver que sus valores de verdad son idénticos en cada fila. Eso significa que las dos declaraciones son materialmente equivalentes y pueden usarse indistintamente, en lo que respecta a la lógica proposicional.

Demostremos la equivalencia material con otro ejemplo. Hemos visto que podemos traducir “ni ni” declaraciones como una conjunción de dos negaciones. Entonces, una declaración de la forma, “ni p ni q” puede traducirse:

~p ⋅ ~q

Pero otra forma de traducir declaraciones de esta forma es como negación de una disyunción, como esta:

~ (p v q)

Podemos probar que estas dos afirmaciones son materialmente equivalentes con una tabla de verdad (abajo).

p	q	~p ⋅ ~q	~ (p v q)
T	T	F F F	F T
T	F	F F T	F T
F	T	T F F	F T
F	F	T T T	T F

Nuevamente, como se puede ver en la tabla de la verdad, los valores de verdad bajo los operadores principales de cada oración son idénticos en cada fila (es decir, para cada asignación de valores de verdad a las proposiciones atómicas). De hecho, existe una quinta verdad funcional conectivo llamada “equivalencia material” o la “bicondicional” que se define como verdadera cuando las proposiciones atómicas comparten el mismo valor de verdad, y falso cuando la verdad valora diferentes. A pesar de que no vamos a estar confiando en lo bicondicional, proporciono la tabla de la verdad para ello a continuación. El bicondicional se representa usando el símbolo “≡” que se llama “tribar”.

p	q	p ≡ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Algunas formas comunes de expresar lo bicondicional en inglés son con las frases “si y solo si” y “por si acaso”. Si has estado prestando mucha atención (o lo haces de ahora en adelante) me verás usar la frase “si y solo si” a menudo. Se usa más comúnmente cuando se está dando una definición, como la definición de validez y también en la definición de la “equivalencia material” en esta misma sección. Tiene sentido que el bicondicional se utilice de esta manera ya que cuando definimos algo estamos estableciendo una manera equivalente de decirlo.

Ejercicio

Construir una tabla de verdad para determinar si los siguientes pares de declaraciones son materialmente equivalentes.

1. A B y ~A v B
2. ~ (A ⋅ B) y ~A v ~B
3. A B y ~B ~A
4. A v ~B y B A
5. B A y A B
6. ~ (A B) y A ⋅ ~B
7. A v B y ~A ⋅ ~B
8. A v (B ⋅ C) y (A v B) ⋅ (A v C)
9. (A v B) ⋅ C y A v (B ⋅ C)
10. ~ (A v B) y ~A v B