2.10: Tautologías, contradicciones y declaraciones contingentes

¿Se te ocurre una declaración que nunca podría ser falsa? ¿Qué tal una afirmación que nunca podría ser cierta? Es más difícil de lo que piensas, a menos que sepas utilizar los operadores funcionales de la verdad para construir una tautología o una contradicción. Una tautología es una afirmación que es verdadera en virtud de su forma. Así, ni siquiera tenemos que saber qué significa la afirmación para saber que es verdad. En contraste, una contradicción es una afirmación que es falsa en virtud de su forma. Por último, una declaración contingente es una afirmación cuya verdad depende de la forma en que realmente sea el mundo. Por lo tanto, es una afirmación que podría ser verdadera o falsa, solo depende de cuáles sean los hechos en realidad. En contraste, hay un sentido importante en el que la verdad de una tautología o la falsedad de una contradicción no depende de cómo sea el mundo. Como dirían los filósofos, las tautologías son verdaderas en todos los mundos posibles, mientras que las contradicciones son falsas en cada mundo posible. Considera una declaración como:

Matt tiene 40 años o no tiene 40 años.

Esa afirmación es una tautología, y tiene una forma particular, que puede representarse simbólicamente así:

p v ~p

Por el contrario, consideremos una declaración como:

Matt tiene tanto 40 años como no 40 años.

Esa afirmación es una contradicción, y tiene una forma particular, que puede representarse simbólicamente así:

p ⋅ ~p

Por último, consideremos una declaración como:

Matt tiene 39 años o 40 años

Esa declaración es una declaración contingente. No tiene que ser cierto (como hacen las tautologías) o falso (como lo hacen las contradicciones). En cambio, su verdad depende de la forma en que esté el mundo. Supongamos que Matt tiene 39 años. En ese caso, la afirmación es cierta. Pero supongamos que tiene 37 años. En ese caso, la declaración es falsa (ya que no tiene ni 39 ni 40 años). Podemos usar tablas de verdad para determinar si una declaración es una tautología, contradicción o declaración contingente. En una tautología, la tabla de la verdad será tal que cada fila de la tabla de la verdad bajo el operador principal será verdadera. En una contradicción, la tabla de la verdad será tal que cada fila de la tabla de la verdad bajo el operador principal será falsa. Y las declaraciones contingentes serán tales que haya mezcla de verdadero y falso bajo el operador principal de la declaración.

Las siguientes dos tablas de verdad son ejemplos de tautologías y contradicciones, respectivamente.

A	B	(A B) v A
T	T	T T
T	F	F T
F	T	T T
F	F	T T

A	B	(A v B) ⋅ (~A ⋅ ~B)
T	T	T F F F F
T	F	T F F F T
F	T	T F F F F
F	F	F F T F T

Observe que en la segunda tabla de la verdad, tuve que hacer bastante trabajo antes de poder averiguar cuáles eran los valores de verdad del operador principal. Primero tuve que determinar la conjunción izquierda (A v B) y luego la conjunción derecha (~A ⋅ ~B), pero para poder averiguar los valores de verdad de la conjunción derecha (que es en sí misma una conjunción), tuve que determinar las negaciones de A y B. Construir tablas de verdad a veces puede ser una tarea, pero una vez que entiendes qué estás haciendo (y por qué), desde luego no es muy difícil.

Ejercicio

Construir una tabla de verdad para determinar si las siguientes afirmaciones son tautologías, contradicciones o declaraciones contingentes.

1. A (A ⋅ B)
2. (A ⋅ B) (~A ~B)
3. (A ⋅ ~A) B
4. (A A) (B ⋅ ~B)
5. (A ⋅ B) (A v B)
6. (A v B) (A ⋅ B)
7. (~A ~B) (~B ~A)
8. (A B) (~B ~A)
9. (B v ~B) A
10. (A v B) v ~A