2.12: Cómo construir pruebas

Se puede pensar en construir pruebas como un juego. El objetivo del juego es derivar la conclusión de las premisas dadas utilizando únicamente las 8 reglas válidas de inferencia que hemos introducido. No todas las pruebas requieren que uses todas las reglas, claro. Pero puede usar cualquiera de las reglas, siempre y cuando su uso de la regla sea correcto. Como la mayoría de los juegos, la gente puede ser mejor o peor en el “juego” de construir pruebas. Mejores jugadores podrán a) cometer menos errores, b) construir las pruebas más rápidamente y c) construir las pruebas de manera más eficiente. Para construir pruebas, es imperativo que interiorices las 8 formas válidas de inferencia introducidas en el apartado anterior. Estarás citando estas formas de inferencia como reglas que justificarán cada nueva línea de tu prueba que agregues. Por “internalizar” quiero decir que los has memorizado tan bien que puedes ver esas formas manifestadas en varias oraciones casi sin siquiera pensarlo. Si interiorizas las reglas de esta manera, construir pruebas será una diversión agradable, más que una actividad frustrante. Además de internalizar las 8 formas válidas de inferencia, hay un par de estrategias diferentes que pueden ayudar cuando estás atascado y no puedes averiguar qué hacer a continuación. El primero es la estrategia de trabajar al revés. Cuando trabajamos hacia atrás en una prueba, nos preguntamos qué regla podemos usar para derivar la (s) oración (s) que necesitamos derivar. Aquí hay un ejemplo:

1. R ⋅ S
2. T /fk (T v L) ⋅ (R ⋅ S)

La conclusión, que está a la derecha de la segunda premisa y sigue al símbolo “/”, es una conjunción (ya que el punto es el operador principal). Si estamos tratando de “trabajar hacia atrás”, la pregunta relevante es: ¿Qué regla podemos usar para derivar una conjunción? Si conoces las reglas, debes conocer la respuesta a esa pregunta. Sólo hay una regla que nos permite derivar (inferir) una oración que es una conjunción. Esa regla se llama “conjunción”. La forma de la conjunción regla dice que para derivar una conjunción, necesitamos tener cada conjunción en una línea separada. Entonces, cuáles son las dos conjunciones que necesitaríamos para derivar la conjunción que es la conclusión (es decir, “(T v L) ⋅ (R ⋅ S)”). Necesitaríamos tanto “T v L” en una línea como “R ⋅ S” en una línea separada. Pero mira la premisa 1: ¡ya tenemos “R ⋅ S” en su propia línea! Entonces la única otra cosa que necesitamos derivar es la frase “T v L”. Una vez que tenemos eso en una línea separada, entonces podemos usar la conjunción de reglas para unir esas dos oraciones para llegar a la conclusión! Entonces la siguiente pregunta que tenemos que hacer es: ¿Cómo puedo derivar la frase “T v L”? Nuevamente, si estamos trabajando al revés, la pregunta relevante que hay que hacer aquí es: ¿Qué regla me permite derivar una disyunción? Sólo hay dos: dilema constructivo y suma. Sin embargo, sabemos que no vamos a utilizar dilema constructivo ya que ninguna de las premisas son declaraciones condicionales, y el dilema constructivo requiere declaraciones condicionales como premisas. Eso deja adición. Además nos permite separar cualquier declaración que nos guste de una declaración existente. Ya que tenemos a “T” como segunda premisa, la adición de la regla nos permite desunir “L” a esa afirmación. La primera nueva línea de la prueba debería verse así:

3. T v L Adición 2

Lo que he hecho es numerar una nueva línea de la prueba (continuando la numeración desde las premisas) y después haber escrito la regla que justifica esa nueva línea así como la (s) línea (s) de la que se derivó esa línea a través de esa regla. En este caso, dado que la adición es una regla que permite derivar una oración directamente de una sola línea, he citado sólo una línea. El siguiente paso de la prueba debe ser claro ya que ya hemos hablado a través de ella anteriormente. Todo lo que tenemos que hacer ahora es ir directamente a la conclusión, ya que la conclusión es una conjunción y ahora tenemos (en líneas separadas de la prueba) cada conjunción. Así, la línea final de esta prueba (bastante simple) debería verse así:

4. (T v L) ⋅ (R ⋅ S) Conjunción 1, 3

Nuevamente, todo lo que he hecho es escribir la nueva línea de la prueba (continuando la numeración de la línea anterior) y luego haber escrito la regla que justifica esa nueva línea así como la (s) línea (s) de la que se derivó esa línea a través de esa regla. En este caso, la conjunción de reglas requiere que citemos dos líneas (es decir, cada conjunción que estamos unidos). Entonces, tengo que encontrar las líneas que contenían “T v L” y “R ⋅ S” y citar esas líneas. No importa el orden en que cite las líneas tan largo como haya citado las líneas correctas (por ejemplo, podría haber escrito igualmente bien, “Conjunción 3, 1” como justificación). Así, la prueba completa debería verse así:

1. R ⋅ S
2. T /selo (T v L) ⋅ (R ⋅ S)
3. T v L Adición 2
4. (T v L) ⋅ (R ⋅ S) Conjunción 1, 3

Eso es. Eso es todo lo que hay para construir una prueba. La última línea de la prueba es la conclusión a derivar: check. Cada línea de la prueba sigue por la regla y la (s) línea (s) citada (s): check. Dado que ambos requisitos check out, nuestro comprobante es completo y correcto.

Acabo de guiarte a través de una simple prueba usando la estrategia de trabajar al revés. Esta estrategia funciona bien siempre y cuando la conclusión que estamos tratando de derivar sea compleja—es decir, si contiene conectivos funcionales de verdad. No obstante, a veces nuestra conclusión será simplemente una declaración atómica. En ese caso, no podremos utilizar tan fácilmente la estrategia de trabajar al revés. Pero hay otra estrategia que podemos utilizar: la estrategia de trabajar hacia adelante. Para utilizar la estrategia de trabajar hacia adelante, simplemente nos preguntamos qué reglas
podemos aplicar a las premisas existentes para derivar algo, aunque no sea la conclusión que finalmente estamos tratando de derivar. Como parte de esta estrategia, normalmente deberíamos romper una conjunción cada vez que tenemos una como premisa de nuestro argumento. Hacer esto puede ayudar a ver a dónde ir a continuación. (Si alguna vez has jugado Scrabble, entonces puedes pensar en esto como reorganizar tus fichas de Scrabble para ver qué palabras puedes construir). Aquí hay un ejemplo de una prueba donde debemos utilizar la estrategia de trabajar hacia adelante:

1. A ⋅ B
2. B C /C

Observe que como la conclusión es atómica, no podemos utilizar la estrategia de trabajar al revés. En cambio, deberíamos intentar trabajar hacia adelante. Como parte de esta estrategia, debemos romper las conjunciones mediante el uso de la regla “simplificación”. Ese será el primer paso de nuestra prueba:

1. A ⋅ B
2. B C /C
3. A Simplificación 1
4. B Simplificación 1

Las dos primeras líneas de la prueba están simplemente descomponiendo la conjunción en la línea 1, donde la línea 3 es solo la conjunción izquierda y la línea 4 es solo la conjunción derecha. Ambas líneas 3 y 4 siguen la misma regla y la misma línea, en este caso. La siguiente pregunta que nos hacemos al utilizar la estrategia de trabajar hacia adelante es: ¿a qué líneas de la prueba podemos aplicar alguna regla para derivar algo u otro? Mira el condicional en la línea 2. Aún no lo hemos usado. Entonces, ¿qué regla podemos aplicar esa línea? Deberías estar pensando en las reglas que utilizan declaraciones condicionales (modus ponens, modus tollens y silogismo hipotético). Podemos descartar el silogismo hipotético ya que aquí solo tenemos un condicional y la regla silogismo hipotético requiere que tengamos dos. Si miras la línea 4 (que acabamos de derivar) deberías ver que es el antecedente de la sentencia condicional en la línea 2. Y debes saber que eso significa que podemos aplicar la regla, modus ponens. Entonces nuestro siguiente paso es hacer eso:

1. A ⋅ B
2. B C /C
3. A Simplificación 1
4. B Simplificación 1
5. C Modus ponens 2, 4

Pero ahora también notemos que la línea que acabamos de derivar es de hecho la conclusión del argumento. Entonces nuestra prueba está terminada.

Antes del cierre de esta sección, trabajemos a través de pruebas un poco más largas. Recuerda: cualquier prueba, larga o corta, es el mismo proceso y utiliza la misma estrategia. Es solo una cuestión de hacer un seguimiento de dónde se encuentra en la prueba y lo que en última instancia está tratando de derivar. Así que aquí hay una prueba un poco más compleja:

1. (~A v B) L
2. ~B
3. A B
4. L (~R v D)
5. ~D ⋅ (R v F) /( L v G) ⋅ ~R

La conclusión es una conjunción de “L v G” y “~R” por lo que sabemos que si podemos obtener cada una de esas oraciones en una línea separada, entonces podemos usar la conjunción de reglas para derivar la conclusión. Ese será nuestro objetivo a largo plazo aquí (y esto es utilizar la estrategia de trabajar al revés). No obstante, no podemos ver cómo llegar directamente a partir de aquí en este punto, por lo que comenzaremos a utilizar la estrategia de trabajar hacia adelante. Lo primero que haremos es simplificar la conjunción en la línea 5:

6. ~D Simplificación 5
7. R v F Simplificación 5

Mira las líneas 2 y 6: ambas son proposiciones atómicas negadas. Otra parte de la estrategia de trabajar hacia adelante es utilizar oraciones atómicas o negadas. Debemos buscar cómo podemos utilizar modus tollens o silogismo disyuntivo taponando estas oraciones atómicas negadas en otras líneas de la prueba. Mira las líneas 2 y 3. Deberías ver ahí un modus tollens. Ese será nuestro siguiente paso:

8. ~A Modus tollens 2, 3

El siguiente paso de esta prueba puede ser un poco complicado. Hay un par de maneras diferentes que podríamos ir. Una sería utilizar la regla “adición”. ¿Puede ver cómo podríamos utilizar amablemente esta regla usando cualquiera de las líneas 6 u 8? Si no, te voy a dar una pista: ¿y si tuviéramos que usar suma en la línea 8 para derivar “~A v B”? ¿Ves cómo podríamos entonces enchufar eso a la línea 1? De hecho, “~A v B” es el antecedente del condicional en la línea 1, por lo que entonces podríamos usar modus ponens para derivar lo consecuente. Así, intentemos comenzar con la suma en la línea 8:

9. ~A v B Adición 8

A continuación, utilizaremos la línea 9 y la línea 1 con modus ponens para derivar la siguiente línea:

10. L Modus ponens 1, 9

Observe en este punto que lo que hemos derivado en la línea 10 es “L” y lo que
antes dijimos que necesitábamos como una de las conjunciones era “L v G”. Debe
reconocer que tenemos una regla que nos permitirá inferir directamente de “L” a “L v
G”. Esa regla es la suma (de nuevo). Esa será la siguiente línea de la prueba:

11. L v G Adición 10

En este punto, nuestra estrategia debería ser tratar de derivar la otra conjunción, “~R”. Observe que “~R” está contenido dentro de la oración de la línea 4, pero está incrustado. ¿Cómo podemos “obtenerlo gratis”? Comience notando que el ~R es parte de una disyunción, que en sí misma es consecuencia de una declaración condicional. También observe que ya hemos derivado el antecedente de esa declaración condicional, lo que significa que podemos usar modus ponens para derivar lo consecuente:

12. ~R v D Modus ponens 4, 10

El penúltimo paso es utilizar un silogismo disyuntivo para derivar “~R”.

13. ~R Silogismo disyuntivo 6, 12

El paso final es simplemente unir las líneas 11 y 13 para llegar a la conclusión:

14. (L v G) ⋅ ~R Conjunción 11, 13

Así, aquí está la prueba concluida:

1. (~A v B) L
2. ~B
3. A B
4. L (~R v D)
5. ~D ⋅ (R v F) /( L v G) ⋅ ~R
6. ~D Simplificación 5
7. R v F Simplificación 5
8. ~A Modus tollens 2, 3
9. ~A v B Adición 8
10. L Modus ponens 1, 9
11. L v G Adición 10
12. ~R v D Modus ponens 4, 10
13. ~R Silogismo disyuntivo
14. (L v G) ⋅ ~R Conjunción 11, 13

Construir pruebas es una habilidad que requiere práctica. Los siguientes ejercicios te darán algo de práctica con la construcción de pruebas.

Ejercicio

Construir pruebas para los siguientes argumentos válidos. Las primeras quince pruebas se pueden completar en tres o menos líneas adicionales. Las siguientes cinco pruebas serán un poco más largas. Es importante señalar que siempre hay más de una manera de construir una prueba. Si tu prueba difiere de la clave de respuesta, eso no significa que esté equivocada.

#1
1. A ⋅ B
2. (A v C) D /A ⋅ D

#2
1. A
2. B /( A v C) ⋅ B

#3
1. D E
2. D ⋅ F /FK E

#4
1. J K
2. J /K v L

#5
1. A v B
2. ~A ⋅ ~C /B

#6
1. A B
2. ~B ⋅ ~C /~A

#7
1. D E
2. (E F) ⋅ (FD) /D F

#8
1. (T U) ⋅ (T V)
2. T /fk U v V

#9
1. (E ⋅ F) v (G H)
2. I G
3. ~ (E ⋅ F) /I H

#10
1. M N
2. O P
3. N P
4. (N P) (M v O) /N v P

#11
1. A v (B A)
2. ~A ⋅ C/~B

#12
1. (D v E) (F ⋅ G)
2. D /FK F

#13
1. T U
2. V v ~U
3. ~V ⋅ ~W /~T

#14
1. (A v B) ~C
2. C v D
3. A /FK D

#15
1. L v (M N)
2. ~L (N O)
3. ~L /M O

#16
1. A B
2. A v (C ⋅ D)
3. ~B ⋅ ~E /C

#17
1. (F G) ⋅ (H I)
2. J K
3. (F v J) ⋅ (H v L) /G v K

#18
1. (E v F) (G ⋅ H)
2. (G v H) I
3. E /FK I

#19
1. (N v O) P
2. (P v Q) R
3. Q v N
4. ~Q /R

#20
1. J K
2. K v L
3. (L ⋅ ~J) (M ⋅ ~J)
4. ~K /M