Sección 5: Otras nociones lógicas

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Además de la validez deductiva, nos interesarán algunos otros conceptos lógicos.

Valores de la verdad

Se dice que verdadero o falso es el verdad-valor de una oración. Definimos las oraciones como cosas que podrían ser verdaderas o falsas; podríamos haber dicho en cambio que las oraciones son cosas que pueden tener valores de verdad.

Verdad lógica

Al considerar formalmente los argumentos, nos importa lo que sería cierto si las premisas fueran verdaderas. Generalmente, no nos preocupa el valor real de la verdad de ninguna frase en particular, ya sea que en realidad sean verdaderas o falsas. Sin embargo, hay algunas frases que deben ser ciertas, solo como cuestión de lógica.

Considera estas frases:

1. Está lloviendo.
2. O está lloviendo, o no lo está.
3. A la vez está lloviendo y no lloviendo.

Para saber si la frase 1 es cierta, tendrías que mirar afuera o revisar el canal meteorológico. Lógicamente hablando, podría ser verdadero o falso. Oraciones como esta se llaman oraciones contingentes.

La sentencia 2 es diferente. No es necesario mirar afuera para saber que es verdad. Independientemente de cómo sea el clima, o bien está lloviendo o no. Esta frase es lógicamente cierta; es verdad meramente como cuestión de lógica, independientemente de cómo sea realmente el mundo. Una frase lógicamente verdadera se llama tautología.

Tampoco es necesario revisar el clima para saber sobre la sentencia 3. Debe ser falso, simplemente como cuestión de lógica. Podría estar lloviendo aquí y no lloviendo al otro lado de la ciudad, podría estar lloviendo ahora pero deja de llover incluso mientras lees esto, pero es imposible que esté lloviendo y no lloviendo aquí en este momento. La tercera frase es lógicamente falsa; es falsa independientemente de cómo sea el mundo. Una frase lógicamente falsa se llama contradicción.

Para ser precisos, podemos definir una oración contingente como una oración que no es ni una tautología ni una contradicción.

Una oración puede ser siempre cierta y aún así ser contingente. Por ejemplo, si nunca hubo un momento en el que el universo contuviera menos de siete cosas, entonces la frase 'Existen al menos siete cosas' siempre sería cierta. Sin embargo, la sentencia es contingente; su verdad no es cuestión de lógica. No hay contradicción en considerar un mundo posible en el que hay menos de siete cosas. La cuestión importante es si la oración debe ser cierta, solo por razón de la lógica.

Equivalencia lógica

También podemos preguntar sobre las relaciones lógicas entre dos frases. Por ejemplo:

John fue a la tienda después de lavar los platillos.
John lavó los platillos antes de ir a la tienda.

Estas dos frases son ambas contingentes, ya que John podría no haber ido a la tienda o lavar los platos en absoluto. Sin embargo, deben tener el mismo valor de verdad. Si alguna de las oraciones es verdadera, entonces ambas lo son; si alguna de las oraciones es falsa, entonces ambas lo son. Cuando dos frases necesariamente tienen el mismo valor de verdad, decimos que son lógicamente equivalentes.

Consistencia

Considera estas dos frases:

B1 Mi único hermano es más alto que yo.
B2 Mi único hermano es más bajo que yo.

La lógica por sí sola no puede decirnos cuál, si es que alguna de estas frases es verdadera. Sin embargo, podemos decir que si la primera oración (B1) es verdadera, entonces la segunda oración (B2) debe ser falsa. Y si B2 es verdadero, entonces B1 debe ser falso. No puede darse el caso de que ambas frases sean ciertas.

Si un conjunto de oraciones no pudieran ser todas ciertas al mismo tiempo, como B1—B2, se dice que son inconsistentes. De lo contrario, son consistentes.

Podemos preguntar sobre la consistencia de cualquier número de oraciones. Por ejemplo, considere la siguiente lista de oraciones:

G1 Hay al menos cuatro jirafas en el parque de animales salvajes.
G2 Hay exactamente siete gorilas en el parque de animales salvajes.
G3 No hay más de dos marcianos en el parque de animales salvajes.
G4 Cada jirafa en el parque de animales salvajes es marciana.

G1 y G4 en conjunto implican que hay al menos cuatro jirafas marcianas en el parque. Esto entra en conflicto con G3, lo que implica que ahí no hay más de dos jirafas marcianas. Entonces el conjunto de oraciones G1—G4 es inconsistente. Observe que la inconsistencia no tiene nada que ver con G2. G2 simplemente pasa a ser parte de un conjunto inconsistente.

A veces, la gente dirá que un conjunto inconsistente de oraciones 'contiene una contradicción'. Con esto, quieren decir que sería lógicamente imposible que todas las oraciones fueran ciertas a la vez. Un conjunto puede ser inconsistente aunque cada una de las oraciones en él sea contingente o tautólogo. Cuando una sola oración es una contradicción, entonces esa oración por sí sola no puede ser cierta.