Sección 2: Conectivos

Las conectivas lógicas se utilizan para construir oraciones complejas a partir de componentes atómicos. Hay cinco conectivos lógicos en SL. Esta tabla los resume, y se explican a continuación.

símbolo	lo que se llama	lo que significa
¬ & → ↔	negación conjunción disyunción condicional bicondicional	'No es así. '. 'Ambos... y. '. 'Ya sea... o. '. 'Si.. entonces.. '. '.. si y sólo si.'.

Negación

Considera cómo podríamos simbolizar estas frases:

1. Mary está en Barcelona.
2. María no está en Barcelona.
3. Mary está en algún lugar además de Barcelona.

Para simbolizar la oración 1, necesitaremos una letra de oración. Podemos proporcionar una clave de simbolización:

B: María está en Barcelona.

Tenga en cuenta que aquí estamos dando\(B\) una interpretación diferente a la que hicimos en la sección anterior. La clave de simbolización solo especifica lo que\(B\) significa en un contexto específico. Es vital que sigamos usando este significado de mientras\(B\) estemos hablando de María y Barcelona. Posteriormente, cuando estamos simbolizando oraciones diferentes, podemos escribir una nueva clave de simbolización y usarla\(B\) para significar otra cosa.

Ahora bien, la frase 1 es simplemente\(B\).

Dado que la oración 2 está obviamente relacionada con la oración 1, no queremos introducir una letra de oración diferente. Para ponerlo en parte en inglés, la frase significa 'No'\(B\). Para simbolizar esto, necesitamos un símbolo para la negación lógica. Vamos a usar '¬'. Ahora podemos traducir\(B\) 'No' a ¬\(B\).

La frase 3 trata sobre si María está o no en Barcelona, pero no contiene la palabra 'no'. Sin embargo, obviamente es lógicamente equivalente a la frase 2. Ambos quieren decir: No es el caso de que María esté en Barcelona. Como tal, podemos traducir tanto la oración 2 como la oración 3 como ¬\(B\).

Una oración puede simbolizarse como ¬\(\mathcal{A}\) si se puede parafrasear en inglés como 'No es así\(\mathcal{A}\). '

Considere estos ejemplos adicionales:

4. El widget se puede reemplazar si se rompe.
5. El widget es insustituible.
6. El widget no es insustituible.

Si dejamos que\(R\) signifique 'El widget es reemplazable', entonces la oración 4 puede traducirse como\(R\).

¿Qué pasa con la oración 5? Decir que el widget es insustituible significa que no es el caso de que el widget sea reemplazable. Entonces, aunque la oración 5 no sea negativa en inglés, la simbolizamos usando la negación como ¬\(R\).

La frase 6 puede parafrasearse como 'No es el caso de que el widget sea irremplazable'. Usando la negación dos veces, traducimos esto como ¬¬\(R\). Las dos negaciones seguidas cada una trabajan como negaciones, por lo que la frase significa 'No es el caso que... no es el caso que... no es el caso que... \(R\). ' Si piensas en la oración en inglés, es lógicamente equivalente a la oración 4. Entonces, cuando definamos la equivalencia lógica en SL, nos aseguraremos de que\(R\) y ¬¬\(R\) sean lógicamente equivalentes.

Más ejemplos:

7. Elliott está feliz.
8. Elliott es infeliz.

Si dejamos que\(H\) signifique 'Elliot es feliz', entonces podemos simbolizar la oración 7 como\(H\).

No obstante, sería un error simbolizar la oración 8 como ¬ H. Si Elliott es infeliz, entonces no es feliz— pero la frase 8 no significa lo mismo que 'No es el caso de que Elliott sea feliz'. Podría ser que no esté contento pero que tampoco sea infeliz. Quizás esté en algún lugar entre los dos. Para permitir la posibilidad de que sea indiferente, necesitaríamos una nueva letra de oración para simbolizar la oración 8.

Para cualquier frase\(\mathcal{A}\): Si\(\mathcal{A}\) es verdad, entonces¬\(\mathcal{A}\) es falso. Si\(\mathcal{A}\) es verdad, entonces\(\mathcal{A}\) es falso. Usando 'T' para true y 'F' para false, podemos resumir esto en una tabla de verdad característica para la negación:

\(\mathcal{A}\)	¬\(\mathcal{A}\)
T F	F T

Discutiremos las tablas de la verdad con mayor profundidad en el próximo capítulo.

Conjunción

Considera estas frases:

9. Adam es atlético.
10. Bárbara es atlética.
11. Adam es atlético, y Bárbara también es atlética.

Necesitaremos letras de oración separadas para 9 y 10, así definimos esta clave de simbolización:

R: Adán es atlético.
B: Bárbara es atlética.

La oración 9 puede simbolizarse como\(A\).
La oración 10 puede simbolizarse como\(B\).

La sentencia 11 puede parafrasearse como '\(A\)y'\(B\). Para simbolizar completamente esta frase, necesitamos otro símbolo. Vamos a utilizar '&.' Traducimos '\(A\)y\(B\)' como\(A\) &\(B\). El conectivo lógico '&' se llama conjunción,\(A\) y cada uno\(B\) se llama conjunciones.

Observe que no hacemos ningún intento de simbolizar 'también' en la oración 11. Palabras como 'ambos' y 'también' funcionan para llamar nuestra atención sobre el hecho de que dos cosas están siendo unidas. No están haciendo ningún otro trabajo lógico, por lo que no necesitamos representarlos en SL.

Algunos ejemplos más:

12. Barbara es atlética y enérgica.
13. Barbara y Adam son ambos atléticos.
14. Aunque Bárbara es enérgica, no es atlética.
15. Bárbara es atlética, pero Adam es más atlético que ella.

La sentencia 12 es obviamente una conjunción. La frase dice dos cosas sobre Bárbara, por lo que en inglés está permitido referirse a Bárbara sólo una vez. Podría ser tentador probar esto al traducir el argumento: Dado que\(B\) significa 'Bárbara es atlética', uno podría parafrasear las oraciones como '\(B\)y enérgico'. Esto sería un error. Una vez que traducimos parte de una oración como\(B\), se pierde cualquier estructura adicional. \(B\)es una oración atómica; no es más que verdadera o falsa. Por el contrario, 'energético' no es una frase; por sí sola no es ni verdadera ni falsa. En cambio, deberíamos parafrasear la oración como '\(B\)y Bárbara es enérgica'. Ahora necesitamos agregar una letra de oración a la clave de simbolización. Que\(E\) signifique 'Barbara es energética'. Ahora la oración se puede traducir como\(B\) &\(E\).

Una oración se puede simbolizar como\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\) si se puede parafrasear en inglés como 'Ambos\(\mathcal{A}\), y\(\mathcal{B}\). ' Cada una de las conjunciones debe ser una sentencia.

La frase 13 dice una cosa sobre dos sujetos diferentes. Dice tanto de Bárbara como de Adam que son atléticos, y en inglés usamos la palabra 'athletic' solo una vez. Al traducir a SL, es importante darse cuenta de que la sentencia se puede parafrasear como, 'Bárbara es atlética, y Adán es atlético'. Esto se traduce como\(B\) &\(A\).

La sentencia 14 es un poco más complicada. La palabra 'aunque' establece un contraste entre la primera parte de la oración y la segunda parte. No obstante, la sentencia dice tanto que Bárbara es enérgica como que no es atlética. Para hacer de cada una de las conjunciones una oración atómica, necesitamos sustituir a 'ella' por 'Bárbara'.

Entonces podemos parafrasear la frase 14 como, 'Tanto Bárbara es enérgica, y Bárbara no es atlética.' La segunda conjunción contiene una negación, por lo que parafraseamos más: 'Ambas Bárbara es enérgica y no es el caso de que Bárbara sea atlética.' Esto se traduce como\(E\) &¬\(B\).

La frase 15 contiene una estructura contrastiva similar. Es irrelevante para el propósito de traducirlo a SL, por lo que podemos parafrasear la frase como 'Tanto Bárbara es atlética, y Adam es más atlético que Bárbara.' (Observe que una vez más reemplazamos el pronombre 'ella' por su nombre.) ¿Cómo debemos traducir la segunda conjunción? Ya tenemos la carta de oración\(A\) que trata sobre Adam siendo atlético y\(B\) que se trata de que Barbara sea atlética, pero tampoco se trata de que uno de ellos sea más atlético que el otro. Necesitamos una nueva letra de oración. Que\(R\) signifique 'Adán es más atlético que Bárbara. ' Ahora la oración se traduce como\(B\) &\(R\).

Las oraciones que se pueden parafrasear '\(\mathcal{A}\), pero\(\mathcal{B}\)' o 'Aunque\(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\) 'se simbolizan mejor usando conjunción:\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\)

Es importante tener en cuenta que las letras de la oración\(A\),\(B\), y\(R\) son oraciones atómicas. Considerados como símbolos de SL, no tienen ningún significado más allá de ser verdaderos o falsos. Las hemos utilizado para simbolizar diferentes frases en idioma inglés que tienen que ver con que las personas sean atléticas, pero esta similitud se pierde por completo cuando traducimos a SL. Ningún lenguaje formal puede capturar toda la estructura del idioma inglés, pero mientras esta estructura no sea importante para el argumento no se pierde nada al dejarla fuera.

Para cualquier frase\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\) es cierto si y solo si ambos\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son verdaderos. Podemos resumir esto en la tabla de verdad característica para la conjunción:

\(\mathcal{A}\)	\(\mathcal{B}\)	\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

La conjunción es simétrica porque podemos intercambiar las conjunciones sin cambiar el verdad-valor de la oración. Independientemente de qué\(\mathcal{B}\) y\(\mathcal{A}\) son,\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\) es lógicamente equivalente a\(\mathcal{B}\) &\(\mathcal{A}\).

Disyunción

Considera estas frases:

16. O Denison jugará al golf conmigo, o verá películas.
17. Ya sea Denison o Ellery jugarán al golf conmigo.

Para estas frases podemos usar esta clave de simbolización:

D: Denison jugará al golf conmigo.
E: Ellery jugará al golf conmigo.
M: Denison verá películas.

La sentencia 16 es 'Cualquiera\(D\) o”\(M\). Para simbolizar completamente esto, introducimos un nuevo símbolo. La sentencia pasa a ser\(D\) de 0\(M\). A los conectivos “” se les llama disyunción,\(D\) y\(M\) se llaman disjuntos.

La sentencia 17 es sólo un poco más complicada. Hay dos temas, pero la oración en inglés sólo da el verbo una vez. Al traducir, podemos parafrasearlo como. 'O Denison jugará al golf conmigo, o Ellery jugará al golf conmigo. ' Ahora obviamente se traduce como\(D\) ʼ\(E\).

Una oración se puede simbolizar como\(\mathcal{A}\) “,\(\mathcal{B}\) si se puede parafrasear en inglés como 'Cualquiera\(\mathcal{A}\), o'\(\mathcal{B}\). Cada uno de los disjuntos debe ser una sentencia.

A veces en inglés, la palabra 'o' excluye la posibilidad de que ambos disjuntos sean ciertos. Esto se llama exclusivo o. Una exclusiva o está claramente pensada cuando dice, en el menú de un restaurante, 'Los platos principales vienen con sopa o ensalada'. Puede que tengas sopa; puedes tener ensalada; pero, si quieres tanto sopa como ensalada, entonces tienes que pagar extra.

En otras ocasiones, la palabra 'o' permite la posibilidad de que ambos disjuntos puedan ser ciertos. Este es probablemente el caso de la sentencia 17, arriba. Podría jugar con Denison, con Ellery, o con Denison y Ellery. La sentencia 17 se limita a decir que jugaré con al menos uno de ellos. Esto se llama inclusivo o.

El símbolo 'soa' representa un inclusivo o. Por\(D\) lo tanto,\(E\)\(D\) es cierto si es verdadero, si\(E\) es cierto, o si ambos\(D\) y\(E\) son verdaderos. Es falso sólo si ambos\(D\) y\(E\) son falsos. Podemos resumir esto con la característica tabla de verdad para la disyunción:

\(\mathcal{A}\)	\(\mathcal{B}\)	\(\mathcal{A}\)ricardo\(\mathcal{B}\)
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Como la conjunción, la disyunción es simétrica. \(\mathcal{A}\)ʼ\(\mathcal{B}\) es lógicamente equivalente a\(\mathcal{B}\) ʼ\(\mathcal{A}\). Estas frases son algo más complicadas:

18. O no vas a tener sopa, o no vas a tener ensalada.
19. No tendrás ni sopa ni ensalada.
20. Se obtiene sopa o ensalada, pero no ambas.

Dejamos que\(S\) ₁ signifique que obtienes sopa y\(S\) ₂ significa que obtienes ensalada.

La sentencia 18 se puede parafrasear de esta manera: 'O no es el caso de que te den sopa, o no es el caso de que te den ensalada. ' Traducir esto requiere tanto disyunción como negación. Se convierte en ¬\(S\) ₁ ¬\(S\) ₂.

La sentencia 19 también requiere de negación. Se puede parafrasear como, 'No es el caso de que o que te den sopa o que te den ensalada.' Necesitamos alguna manera de indicar que la negación no sólo niega el disjunto derecho o izquierdo, sino que niega toda la disyunción. Para ello, ponemos paréntesis alrededor de la disyunción: 'No es el caso que (\(S1\)\(S2\)) '. Esto se convierte simplemente ¬ (\(S1\)ʼ\(S2\)). Observe que los paréntesis están haciendo un trabajo importante aquí.

La sentencia¬\(S\) ₁ ＊\(S\) ₂ significaría 'O no vas a tener sopa, o vas a tener ensalada. '

Sentencia 20 es una exclusiva o. Podemos romper la oración en dos partes. La primera parte dice que se obtiene uno u otro. Esto lo traducimos como (\(S\)₁ ricardo\(S\) ₂). La segunda parte dice que no obtienes ambos. Podemos parafrasear esto como, 'No es el caso tanto de que te den sopa como de que te den ensalada. ' Usando tanto la negación como la conjunción, traducimos esto como ¬ (\(S\)₁ y\(S\) ₂). Ahora sólo tenemos que juntar las dos partes. Como vimos anteriormente, 'pero' suele traducirse como una conjunción. La oración 20 puede traducirse así como (\(S\)₁) & ¬ (1 &\(S\) ₂) como (\(S\)₁ &\(S\) ₂). A pesar de que 'ʼ es un inclusivo o, podemos simbolizar una exclusiva o en SL. Solo necesitamos más de un conectivo para hacerlo.

Condicional

Para las siguientes frases, digamos\(R\) 'Cortarás el cable rojo' y\(B\) significa 'La bomba explotará'.

21. Si cortas el cable rojo, entonces la bomba explotará.
22. La bomba explotará sólo si cortas el cable rojo.

La oración 21 puede traducirse parcialmente como 'Si\(R\), entonces'\(B\). Usaremos el símbolo '→' para representar la vinculación lógica. La sentencia se convierte en\(R\) →\(B\). El conectivo se llama condicional. A la oración del lado izquierdo del condicional (\(R\)en este ejemplo) se le llama antecedente. A la oración del lado derecho (\(B\)) se le llama la consecuente.

La sentencia 22 también es condicional. Dado que la palabra 'si' aparece en la segunda mitad de la oración, podría ser tentador simbolizar esto de la misma manera que la oración 21. Eso sería un error.

El\(R\) → condicional\(B\) dice que si\(R\) fuera cierto, entonces también\(B\) sería cierto. No dice que su corte del cable rojo sea la única forma en que la bomba podría explotar. Alguien más podría cortar el cable, o la bomba podría estar en un temporizador. La sentencia\(R\) →\(B\) no dice nada sobre qué esperar si\(R\) es falsa. La sentencia 22 es diferente. Dice que las únicas condiciones en las que explotará la bomba implican que hayas cortado el cable rojo; es decir, si la bomba explota, entonces debes haber cortado el cable. Como tal, la oración 22 debe simbolizarse como\(B\) →\(R\).

Es importante recordar que el conectivo '→' dice solo eso, si el antecedente es verdadero, entonces lo consecuente es cierto. No dice nada sobre la conexión causal entre los dos eventos. Traducir la frase 22 como\(B\) → no\(R\) significa que la explosión de la bomba de alguna manera hubiera provocado que cortaras el alambre. Tanto la frase 21 como la 22 sugieren que, si cortas el cable rojo, tu cortar el cable rojo sería la causa de la explosión de la bomba. Ellos no están en la conexión lógica. Si la sentencia 22 fuera cierta, entonces una explosión nos diría —aquellos de nosotros a salvo lejos de la bomba— que habías cortado el cable rojo. Sin una explosión, la sentencia 22 no nos dice nada.

La frase parafraseada '\(\mathcal{A}\)sólo si\(\mathcal{B}\)' es lógicamente equivalente a 'Si\(\mathcal{A}\), entonces'\(\mathcal{B}\).

'Si\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) entonces' significa que si\(\mathcal{A}\) es verdad entonces así es\(\mathcal{B}\). Entonces sabemos que si el antecedente\(\mathcal{A}\) es verdadero pero el consecuente\(\mathcal{B}\) es falso, entonces el condicional 'Si\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) entonces' es falso. ¿Cuál es el valor de verdad de 'Si\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) entonces' en otras circunstancias? Supongamos, por ejemplo, que el antecedente\(\mathcal{A}\) pasó a ser falso. 'Si\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) entonces' entonces no nos diría nada sobre el valor real de la verdad del consecuente\(\mathcal{B}\), y no está claro cuál sería el valor de verdad de 'Si\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) entonces'.

En inglés, la verdad de los condicionales a menudo depende de lo que sería el caso si el antecedente fuera cierto —aunque, de hecho, el antecedente sea falso. Esto plantea un problema para traducir los condicionales a SL. Consideradas como oraciones de SL,\(R\) y\(B\) en los ejemplos anteriores no tienen nada intrínseco que ver entre sí. Para considerar cómo sería el mundo si\(R\) fuera cierto, necesitaríamos analizar lo que\(R\) dice del mundo. Dado que\(R\) es un símbolo atómico de SL, sin embargo, no hay más estructura por analizar. Cuando sustituimos una oración por una letra de oración, la consideramos meramente como alguna oración atómica que podría ser verdadera o falsa.

Para traducir condicionales a SL, no intentaremos capturar todas las sutilezas del idioma inglés 'Si... entonces... ' En cambio, el símbolo '→' será un condicional material. Esto quiere decir que cuando\(\mathcal{A}\) es falso, el condicional\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) es automáticamente verdadero, independientemente del valor de verdad de\(\mathcal{B}\). Si ambos\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son verdaderos, entonces el condicional\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) es cierto.

En definitiva,\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) es falso si y solo si\(\mathcal{A}\) es verdadero y\(\mathcal{B}\) es falso. Podemos resumir esto con una tabla de verdad característica para el condicional.

\(\mathcal{A}\)	\(\mathcal{B}\)	\(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\)
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

El condicional es asimétrico. No se puede intercambiar el antecedente y lo consecuente sin cambiar el sentido de la oración, porque\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) y\(\mathcal{B}\) → no\(\mathcal{A}\) son lógicamente equivalentes.

No todas las oraciones de la forma 'Si... entonces... 'son condicionales. Considera esta frase:

23. Si alguien quiere verme, entonces estaré en el porche.

Si digo esto, significa que estaré en el porche, independientemente de que alguien quiera verme o no— pero si alguien sí quería verme, entonces deberían buscarme ahí. Si dejamos que\(P\) signifique 'voy a estar en el pórtico, 'entonces la frase 23 puede traducirse simplemente como\(P\).

Bicondicional

Considera estas frases:

24. La figura en el tablero es un triángulo solo si tiene exactamente tres lados.
25. La figura en el tablero es un triángulo si tiene exactamente tres lados.
26. La figura en el tablero es un triángulo si y solo si tiene exactamente tres lados.

Que\(T\) signifique 'La figura es un triangulo' y\(S\) significa 'La figura tiene tres lados'.

La sentencia 24, por las razones discutidas anteriormente, puede traducirse como\(T\) →\(S\).

La sentencia 25 es importantemente diferente. Se puede parafrasear como, 'Si la figura tiene tres lados, entonces es un triangulo. ' Por lo que se puede traducir como\(S\) →\(T\).

La frase 26 dice que\(T\) es cierto si y sólo si\(S\) es verdad; podemos inferir\(S\) de\(T\), y podemos inferir\(T\) de\(S\). Esto se llama bicondicional, porque conlleva los dos condicionales\(S\) →\(T\) y\(T\) →\(S\). Usaremos '↔' para representar lo bicondicional; la frase 26 puede traducirse como\(S\) ↔\(T\).

Podríamos permanecer sin un nuevo símbolo para lo bicondicional. Como la frase 26 significa '\(T\)→\(S\) y\(S\) →'\(T\), podríamos traducirla como (\(T\)→\(S\)) & (\(S\)→\(T\)). Necesitaríamos paréntesis para indicar que (\(T\)→\(S\)) y (\(S\)→\(T\)) son conjunciones separadas; la expresión\(T\)\(S\) →\(S\) & →\(T\) sería ambigua.

Debido a que siempre podríamos escribir (\(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\)) & (\(\mathcal{B}\)→\(\mathcal{A}\)) en lugar de\(\mathcal{A}\) ↔\(\mathcal{B}\), no estrictamente hablando necesitamos introducir un nuevo símbolo para lo bicondicional. Sin embargo, los lenguajes lógicos suelen tener tal símbolo. SL tendrá uno, lo que facilita la traducción de frases como 'si y solo si'.

\(\mathcal{A}\)↔\(\mathcal{B}\) es cierto si y solo si\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) tienen el mismo valor de verdad. Esta es la tabla de verdad característica para el bicondicional:

\(\mathcal{A}\)	\(\mathcal{B}\)	\(\mathcal{A}\)↔\(\mathcal{B}\)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T