Sección 3: Uso de tablas de verdad

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Tautologías, contradicciones y sentencias contingentes

Recordemos que una oración inglesa es una tautología si debe ser cierta como cuestión de lógica. Con una tabla completa de la verdad, consideramos todas las formas en que podría ser el mundo. Si la oración es verdadera en cada línea de una tabla de verdad completa, entonces es verdad como cuestión de lógica, independientemente de cómo sea el mundo.

Entonces una oración es una tautología en sl si la columna bajo su conectivo principal es 1 en cada fila de una tabla de verdad completa.

Por el contrario, una oración es una contradicción en sl si la columna bajo su conectivo principal es 0 en cada fila de una tabla de verdad completa.

Una oración es contingente en sl si no es ni una tautología ni una contradicción; es decir, si es 1 en al menos una fila y 0 en al menos una fila.

De las tablas de verdad de la sección anterior, sabemos que (\(H\)&\(I\)) →\(H\) es una tautología, que [(\(C\)↔\(C\)) →\(C\)] &¬ (\(C\)→\(C\)) es una contradicción, y que\(M\) & (⃣\(N\)\(P\)) es contingente.

Equivalencia lógica

Dos frases son lógicamente equivalentes en inglés si tienen el mismo valor de verdad que una lógica de materia. Una vez más, las tablas de verdad nos permiten deﬁne un concepto análogo para SL: Dos oraciones son lógicamente equivalentes en sl si tienen el mismo valor de verdad en cada fila de una tabla de verdad completa.

Considera las frases ¬\(A\) (alizamos\(B\)) y ¬\(A\) &¬\(B\). ¿Son lógicamente equivalentes? Para averiguar, construimos una tabla de la verdad.

\(A\)

\(B\)

¬ (\(A\)▾\(B\))

¬\(A\) & ¬\(B\)

0 1 1 1

0 1 1 0

0 0 1 1

1 0 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

Mira las columnas para los conectivos principales; negación para la primera oración, conjunción para la segunda. En las primeras tres filas, ambas son 0. En la fila final, ambos son 1. Ya que coinciden en cada fila, las dos frases son lógicamente equivalentes.

Consistencia

Un conjunto de oraciones en inglés es consistente si es lógicamente posible que todas sean ciertas a la vez. Un conjunto de oraciones es lógicamente consistente en sl si hay al menos una línea de una tabla de verdad completa en la que todas las oraciones son verdaderas. Es inconsistente de lo contrario.

Validez

Un argumento en inglés es válido si es lógicamente imposible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa al mismo tiempo. Un argumento es válido en sl si no hay fila de una tabla de verdad completa en la que las premisas son todas 1 y la conclusión es 0; un argumento no es válido en sl si existe tal fila.

Considera este argumento:

¬\(L\) → (\(J\)\(L\))
¬\(L\)
.. \(J\)

¿Es válido? Para averiguar, construimos una tabla de la verdad.

\(J\)

\(L\)

¬\(L\) → (\(J\)▾\(L\))

¬\(L\)

\(J\)

0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1

1 0

0 1

1 0

Sí, el argumento es válido. La única fila en la que ambas premisas son 1 es la segunda fila, y en esa fila la conclusión también es 1.