Sección 2: Interpretaciones y modelos en QL

En SL, una clave de interpretación o simbolización especifica lo que significa cada una de las letras de la oración. La interpretación de una letra de oración junto con el estado del mundo determina si la letra de la oración es verdadera o falsa. Dado que las unidades básicas son letras de oración, una interpretación sólo importa en la medida en que hace que las letras de oración sean verdaderas o falsas. Formalmente, la semántica para SL es estrictamente en términos de asignaciones de valor de verdad. Dos interpretaciones son las mismas, formalmente, si hacen para la misma asignación de valor de verdad.

¿Qué es una interpretación en QL? Al igual que una clave de simbolización para QL, una interpretación requiere un UD, un significado esquemático para cada uno de los predicados y un objeto que es escogido por cada constante. Por ejemplo:

UD: personajes de cómic
Fx:\(x\) lucha contra el crimen.
b: el Batman
w: Bruce Wayne

Considera la sentencia\(Fb\). La frase es cierta sobre esta interpretación, pero —al igual que en SL— la oración no es cierta sólo por la interpretación. La mayoría de la gente en nuestra cultura sabe que Batman lucha contra el crimen, pero esto requiere un mínimo de conocimiento sobre los cómics. La frase\(Fb\) es cierta por la interpretación más algunos hechos sobre los cómics. Esto es especialmente obvio cuando tenemos en cuenta\(Fw\). Bruce Wayne es la identidad secreta del Batman en los cómics —el reclamo de identidad\(b\) =\(w\) es cierto— así\(Fw\) es cierto. Al tratarse de una identidad secreta, sin embargo, otros personajes no saben que eso\(Fw\) es cierto aunque sepan que eso\(Fb\) es cierto.

Podríamos tratar de caracterizar esto como una asignación de valor de verdad, como hicimos para SL. La asignación de valor de verdad asignaría 0 o 1 a cada atómico w:\(\),\(Fb\) Fw, y así sucesivamente. Si tuviéramos que hacer eso, sin embargo, bien podríamos traducir las frases de QL a SL reemplazando\(Fb\) y\(Fw\) con letras de oración. Entonces podríamos confiar en la definición de la verdad para SL, pero a costa de ignorar toda la estructura lógica de predicados y términos. Al escribir una clave de simbolización para QL, no damos definiciones separadas para\(Fb\) y\(Fw\). En cambio, damos significados a\(F\),\(b\), y\(w\). Esto es esencial porque queremos poder utilizar cuantificadores. No existe una forma adecuada de\(xFx\) traducir a la SL.

Entonces queremos una contraparte formal a una interpretación para predicados y constantes, no sólo para oraciones. No podemos usar una asignación de valor de verdad para esto, porque un predicado no es ni verdadero ni falso. En la interpretación dada anteriormente,\(F\) es cierto para Batman (es decir,\(Fb\) es cierto), pero no tiene ningún sentido preguntar si\(F\) por sí solo es cierto. Sería como preguntar si el fragmento de idioma inglés '... fights crime' es cierto.

¿Qué hace una interpretación para un predicado, si no la hace verdadera o falsa? Una interpretación ayuda a seleccionar los objetos a los que se aplica el predicado. \(Fx\)Interpretar como 'lucha\(x\) crime' escoge a Batman, Superman, Spiderman y otros héroes como las cosas que son\(Fs\). Formalmente, se trata de un conjunto de miembros de la UD al que se aplica el predicado; a este conjunto se le llama extensión del predicado.

Muchos predicados tienen extensiones indefinamente grandes. No sería práctico tratar de anotar todas las historias delictivas del cómic individualmente, así que en su lugar usamos una expresión en inglés para interpretar el predicado. Esto es algo impreciso, porque la interpretación por sí sola no te dice qué miembros de la UD están en la extensión del predicado. Para concretar si un miembro particular de la UD está en la extensión del predicado (para concretar si Black Lightning lucha contra el crimen, por ejemplo), es necesario conocer los cómics. En general, la extensión de un predicado es el resultado de una interpretación junto con algunos hechos.

A veces es posible enumerar todas las cosas que están en la extensión de un predicado. En lugar de escribir una oración esquemática en inglés, podemos anotar la extensión como un conjunto de cosas. Supongamos que quisiéramos agregar un predicado de un solo lugar\(M\) a la clave anterior. Queremos\(Mx\) significar '\(x\)vive en Wayne Manor', así que escribimos la extensión como un conjunto de personajes:
extension (\(M\)) = {Bruce Wayne, Alfred el mayordomo, Dick Grayson}

No hace falta saber nada de cómics para poder determinar que, sobre esta interpretación,\(Mw\) es cierto: Bruce Wayne solo está especificado para ser una de las cosas que es\(M\). De igual manera,\(xMx\) es obviamente cierto sobre esta interpretación: Hay al menos un miembro de la UD que es un\(M\) —de hecho, hay tres de ellos.

¿Y qué pasa con la sentencia a\(xMx\)? La sentencia es falsa, porque no es cierto que todos los integrantes de la UD lo sean\(M\). Se requiere del mínimo mínimo de conocimientos sobre cómics para saber que hay otros personajes además de solo estos tres. Aunque especificamos la extensión de una\(M\) manera formalmente precisa, todavía especificamos la UD con una descripción en idioma inglés. Formalmente hablando, un UD es solo un conjunto de miembros.

El significado formal de un predicado está determinado por su extensión, pero ¿qué debemos decir de las constantes como\(b\) y\(w\)? El significado de una constante determina qué miembro de la UD es escogido por la constante. Al individuo que la constante escoge se le llama el referente de la constante. Ambos\(b\) y\(w\) tienen el mismo referente, ya que ambos se refieren al mismo personaje de cómic. Se puede pensar en una letra constante como nombre y al referente como la cosa nombrada. En inglés, podemos usar los diferentes nombres 'Batman' y 'Bruce Wayne' para referirnos al mismo personaje de cómic. En esta interpretación, podemos utilizar las constantes diferentes '' y\(b\) '\(w\)' para referirnos al mismo miembro de la UD.

Sets

Usamos corchetes '{' y '}' para denotar conjuntos. Los miembros del conjunto se pueden enumerar en cualquier orden, separados por comas. El hecho de que los sets puedan estar en cualquier orden es importante, porque significa que {foo, bar} y {bar, foo} son el mismo conjunto.

Es posible tener un conjunto sin miembros en él. A esto se le llama el conjunto vacío. El conjunto vacío a veces se escribe como {}, pero generalmente se escribe como el símbolo único ∅.

Modelos

Como hemos visto, una interpretación en QL solo es formalmente significativa en la medida en que determina un UD, una extensión para cada predicado y un referente para cada constante. Llamamos a esta estructura formal un modelo para QL.

Para ver cómo funciona esto, considera esta clave de simbolización:

UD: Gente que jugó como parte del Three Stooges
Hx:\(x\) tenía pelo en la cabeza.
f: Mister Fine

Si no sabes nada de los Tres Chiflados, no podrás decir qué frases de QL son ciertas en esta interpretación. Quizás solo recuerdes a Larry, Curly y Moe. ¿La sentencia es\(Hf\) verdadera o falsa? Depende de cuál de los chiflados sea Mister Fine.

¿Cuál es el modelo que corresponde a esta interpretación? Fueron seis las personas que jugaron como parte de los Tres Chiflados a lo largo de los años, por lo que la UD contará con seis integrantes: Larry Fine, Moe Howard, Curly Howard, Shemp Howard, Joe Besser y Curly Joe DeRita. Curly, Joe y Curly Joe fueron los únicos chiflados completamente calvos. El resultado es este modelo:

UD = {Larry, Curly, Moe, Shemp, Joe, Curly Joe}
extensión (\(H\)) = {Larry, Moe, Shemp}
referente (\(f\)) = Larry

No necesitas saber nada sobre los Tres Chiflados para evaluar si las oraciones son verdaderas o falsas en este modelo. \(Hf\)es cierto, ya que el referente de\(f\) (Larry) está en la extensión de\(H\). \(xHx\)Tanto como\(x\) ¬\(Hx\) son ciertas, ya que hay al menos un miembro de la UD que se encuentra en la extensión de\(H\) y al menos un miembro que no está en la extensión de\(H\). De esta manera, el modelo captura todo el significado formal de la interpretación.

Consideremos ahora esta interpretación:

UD: números enteros menores a 10
Ex:\(x\) es par.
Nx:\(x\) es negativo.
Lxy:\(x\) es menor que\(y\).
Txyz:\(x\) veces\(y\) es igual\(z\).

¿Cuál es el modelo que va con esta interpretación? El UD es el conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

La extensión de un predicado de un solo lugar como\(E\) o\(N\) es solo el subconjunto de la UD del cual el predicado es verdadero. En términos generales, la extensión del predicado\(E\) es el conjunto de\(Es\) en la UD. La extensión de\(E\) es el subconjunto {2,4,6,8}. Hay muchos números pares además de estos cuatro, pero estos son los únicos integrantes de la UD que son parejos. No hay números negativos en la UD, por lo que\(N\) tiene una extensión vacía; es decir extension (\(N\)) = ∅.

La extensión de un predicado de dos lugares como\(L\) es algo molesto. Parece como si la extensión de\(L\) debería contener 1, ya que 1 es menor que todos los demás números; debería contener 2, ya que 2 es menor que todos los demás números además de 1; y así sucesivamente. Cada miembro de la UD además de 9 es menor que algún miembro de la UD. ¿Qué pasaría si escribiéramos extension (\(L\)) = {1,2,3,4,5,6,7,8}?

El problema es que los conjuntos se pueden escribir en cualquier orden, por lo que esto sería lo mismo que escribir extension (\(L\)) = {8,7,6,5,4,3,2,1}. Esto no nos dice cuáles de los integrantes del conjunto son menores que cuáles otros integrantes.

Necesitamos alguna manera de demostrar que 1 es menor que 8 pero que 8 no es menor que 1. La solución es tener la extensión de\(L\) consistir en pares de números. Un par ordenado es como un conjunto con dos miembros, excepto que el orden sí importa. Escribimos pares ordenados con corchetes angulares ''< 'and '>. El par ordenado <foo, bar> es diferente que el par ordenado <bar, foo>. La extensión de\(\) L es una colección de pares ordenados, todos los pares de números en la UD tal que el primer número es menor que el segundo. Escribiendo esto completamente:

extensión (L) = {<1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>, <1,6>, <1,7>,
<1,8>, <1,9>, <2,3>, <2,4>, <2,5>, <2,6>, <2,7>, <2,8>, <2,9>,
<3,4>, <3,5>, <3,6>, <3,7>, <3,8>, <3,9>, <4,5>, <4,6>, <4,7>,
<4,8>, < ; 4,9>, <5,6>, <5,7>, <5,8>, <5,9>, <6,7>, <6,8>, <6,9>,
<7,8>, <7,9>, <8,9>}

Los predicados de tres lugares funcionarán de manera similar; la extensión de un predicado de tres lugares es un conjunto de triples ordenados donde el predicado es cierto para esas tres cosas en ese orden. Por lo que la extensión de\(T\) en este modelo contendrá triples ordenadas como <2,4,8>, porque 2×4 = 8.

Generalmente, la extensión de un predicado\(n\) -place es un conjunto de todas las\(n\) -tuplas ordenadas <\(a\) ₁,\(a\) ₂,... ,\(a\) _n > tal que\(a\) ₁ —\(a\) _n son miembros de la UD y el predicado es verdadero de\(a\) ₁ —\(a\) _n en ese orden.