Sección 01: Reglas básicas para SL

Al diseñar un sistema de prueba, podríamos comenzar con el silogismo disyuntivo y el modus ponens. Siempre que descubrimos un argumento válido que no podía probarse con reglas que ya teníamos, podíamos introducir nuevas reglas. Procediendo de esta manera, tendríamos una bolsa de agarre poco sistemática de reglas. Podríamos agregar por error algunas reglas extrañas, y seguramente terminaríamos con más reglas de las que necesitamos.

En cambio, desarrollaremos lo que se llama un sistema de deducción natural. En un sistema de deducción natural, habrá dos reglas para cada operador lógico: una regla de introducción que nos permita probar una oración que la tenga como operador lógico principal y una regla de eliminación que nos permita probar algo dada una oración que la tiene como lógica principal operador.

Además de las reglas para cada operador lógico, también tendremos una regla de reiteración. Si ya has mostrado algo en el transcurso de una prueba, la regla de reiteración permite repetirla en una nueva línea. Por ejemplo:

Cuando agregamos una línea a una prueba, escribimos la regla que justifica esa línea. También escribimos los números de las líneas a las que se aplicó la regla. La regla de reiteración anterior se justifica por una línea, la línea que usted está reiterando. Por lo que la 'R 1' de la línea 2 de la prueba significa que la línea está justificada por la regla de reiteración (R) aplicada a la línea 1.

Obviamente, la regla de reiteración no nos permitirá mostrar nada nuevo. Para ello, necesitaremos más reglas. El resto de esta sección dará reglas de introducción y eliminación para todas las conectivas sentenciales. Esto nos dará un sistema completo de prueba para SL. Posteriormente en el capítulo, introducimos reglas para cuantificadores e identidad.

Conjunción

Piensa por un momento: ¿Qué necesitarías mostrar para poder probar\(E\) &\(F\)?

Por supuesto, podrías mostrar\(E\) & probando\(E\) y probando\(F\) por separado\(F\). Esto se sostiene aunque las dos conjunciones no sean oraciones atómicas. Si puedes probar [(\(A\)J) →\(V\)] y [(\(V\)→\(L\)) ↔\(F\) (\(N\)⃣)], entonces has probado de manera efectiva

[(\(A\)J) →\(V\)] & [(\(V\)→\(L\)) ↔ (\(F\)ricardo\(N\))].

Entonces esta será nuestra regla de introducción a la conjunción, que abreviamos &I:

Una línea de prueba debe ser justificada por alguna regla, y aquí tenemos '&I\(m\),\(n\). ' Esto significa: Introducción de conjunción aplicada a línea\(m\) y línea\(n\). Estas son variables, no números de línea reales;\(m\) es alguna línea y\(n\) es alguna otra línea. En una prueba real, las líneas están numeradas 1,2,3,... y se deben aplicar reglas a los números de línea específicos. Sin embargo, cuando definimos la regla, utilizamos variables para subrayar el punto de que la regla puede aplicarse a cualquiera de las dos líneas que ya están en la prueba. Si tiene\(K\) en la línea 8 y\(L\) en la línea 15, puede probar (\(K\)&\(L\)) en algún momento posterior de la prueba con la justificación '&I 8, 15'.

Ahora, considere la regla de eliminación para la conjunción. ¿Qué tienes derecho a concluir a partir de una oración como\(E\) &\(F\)? Seguramente, tienes derecho a concluir\(E\); si\(E\) &\(F\) fuera verdad, entonces\(E\) sería verdad. De igual manera, tiene derecho a concluir\(F\). Esta será nuestra regla de eliminación de conjunción, que abreviamos &E:

Cuando tienes una conjunción en alguna línea de una prueba, puedes usar &E para derivar cualquiera de las conjunciones. La regla &E requiere solo una frase, por lo que escribimos un número de línea como justificación para aplicarla.

Incluso con solo estas dos reglas, podemos aportar algunas pruebas. Considera este argumento.

El principal operador lógico tanto en la premisa como en la conclusión es la conjunción. Dado que la conjunción es simétrica, el argumento es obviamente válido. Para aportar una prueba, comenzamos por anotar la premisa. Después de las premisas, trazamos una línea horizontal, todo por debajo de esta línea debe ser justificado por una regla de prueba. Entonces el comienzo de la prueba se ve así:

Desde la premisa, podemos obtener cada una de las conjunciones por &E. La prueba ahora se ve así:

La regla &I requiere que tengamos cada una de las conjunciones disponibles en algún lugar de la prueba. Se pueden separar entre sí, y pueden aparecer en cualquier orden. Entonces, al aplicar la regla &I a las líneas 3 y 2, llegamos a la conclusión deseada. La prueba finalizada se ve así:

Esta prueba es trivial, pero muestra cómo podemos utilizar juntas reglas de prueba para demostrar la validez de una forma argumental. También: Usar una tabla de verdad para mostrar que este argumento es válido habría requerido unas asombrosas 256 líneas, ya que hay ocho letras de oración en el argumento.

Disyunción

Si\(M\) fuera cierto, entonces también\(N\) lo sería\(M\), a partir de entonces, también. Entonces, la regla de introducción de disyunción (\(I\)) nos permite derivar una disyunción si tenemos uno de los dos disyuntos:

Observe que\(\mathcal{B}\) puede ser cualquier sentencia. Por lo que la siguiente es una prueba legítima:

Puede parecer extraño que con solo saber\(M\) podamos derivar una conclusión que incluya oraciones como\(A\), y el resto\(B\), oraciones que no tienen nada que ver con ellas\(M\). Sin embargo, la conclusión sigue inmediatamente por I. Esto es como debería ser: Las condiciones de verdad para la disyunción significan que, si\(\mathcal{A}\) es verdad, entonces,\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) es cierto independientemente de lo que\(\mathcal{B}\) sea. Entonces la conclusión no podría ser falsa si la premisa fuera cierta; el argumento es válido.

Consideremos ahora la regla de eliminación de disyunciones. ¿Qué se puede concluir a partir de\(M\) la planta\(N\) de No se puede concluir\(M\). Podría ser la verdad\(M\) la que hace que se\(M\) convierta en\(N\) cierto a, como en el ejemplo anterior, pero puede que no. \(N\)Tan\(M\) solo a partir de los dos, no se puede concluir nada sobre ninguno\(M\)\(N\) o específicamente. Si también supieras que eso\(N\) era falso, sin embargo, entonces podrías concluir\(M\).

Esto es solo silogismo disyuntivo, será la regla de eliminación de disyunción (ʼ\(E\)).

Condicional

Considera este argumento:

El argumento es ciertamente válido. ¿Cuál debería ser la regla de introducción condicional, de tal manera que podamos sacar esta conclusión?

Comenzamos la prueba anotando la premisa del argumento y dibujando una línea horizontal, así:

Si tuviés¬\(R\) como premisa adicional, podríamos derivar\(F\) por la regla E. No tenemos ¬\(R\) como premisa de este argumento, ni podemos derivarlo directamente de la premisa que sí tenemos— así que no podemos simplemente probar\(F\). Lo que haremos en cambio es iniciar una subprueba, una prueba dentro de la prueba principal. Cuando iniciamos una subprueba, dibujamos otra línea vertical para indicar que ya no estamos en la prueba principal. Entonces escribimos en una suposición para la subprueba. Esto puede ser lo que queramos. Aquí, será útil asumir ¬\(R\). Nuestra prueba ahora se ve así:

Es importante notar que no estamos pretendiendo haber probado ¬\(R\). No necesitamos escribir en ninguna justificación para la línea de suposición de una subprueba. Se puede pensar en la subprueba como planteando la pregunta: ¿Qué podríamos mostrar si ¬\(R\) fuera verdad? Por una cosa, podemos derivar\(F\). Así que hacemos:

Esto ha demostrado que si tuviéramos ¬\(R\) como premisa, entonces podríamos probar\(F\). En efecto, hemos probado ¬\(R\) →\(F\). Por lo que la regla de introducción condicional (→I) nos permitirá cerrar la subprueba y derivar ¬\(R\) →\(F\) en la prueba principal. Nuestra prueba final se ve así:

Observe que la justificación para aplicar la regla →I es todo el subprueba. Por lo general, eso va a ser más que sólo dos líneas.

Puede parecer como si la capacidad de asumir algo en absoluto en una subprueba conduciría al caos: ¿Te permite probar alguna conclusión desde alguna premisas? La respuesta es no, no lo hace. Considera esta prueba:

Puede parecer como si esto es una prueba de que se puede derivar cualquier conclusión\(\mathcal{B}\) de cualquier premisa\(\mathcal{A}\). Cuando termina la línea vertical para la subprueba, la subprueba se cierra. Para completar una prueba, debe cerrar todas las subepruebas. Y no se puede cerrar la subprueba y volver a utilizar la regla R en la línea 4 para derivar\(\mathcal{B}\) en la prueba principal. Una vez que cierras una subprueba, no puedes volver a referir a líneas individuales dentro de ella.

Cerrar una subprueba se llama descargar los supuestos de esa subprueba. Entonces podemos poner el punto de esta manera: No se puede completar una prueba hasta que no haya dado de alta todas las suposiciones además de las premisas originales del argumento.

Por supuesto, es legítimo hacer esto:

Esto no debería parecer tan extraño, sin embargo. Dado que\(\mathcal{B}\) →\(\mathcal{B}\) es una tautología, no deben requerirse premisas particulares para derivarla válidamente. (En efecto, como veremos, una tautología se desprende de cualquier premisas.)

Poner en una forma general, la regla →I se ve así:

Cuando introducimos una subprueba, normalmente escribimos lo que queremos derivar en la columna. Esto es solo para que no olvidemos por qué iniciamos la subprueba si continúa por cinco o diez líneas. No hay una regla de 'querer'. Es una nota para nosotros mismos y no formalmente parte de la prueba.

Aunque siempre es permisible abrir una subprueba con cualquier suposición que le plazca, hay alguna estrategia involucrada en elegir una suposición útil. Comenzar una subprueba con una suposición arbitraria y alocada simplemente desperdiciaría líneas de la prueba. Para derivar un condicional por el →I, por ejemplo, se debe asumir el antecedente del condicional en una subprueba.

La regla →I requiere también que el consecuente del condicional sea la última línea de la subprueba. Siempre es permisible cerrar una subprueba y descargar sus supuestos, pero no será útil hacerlo hasta que consigas lo que quieres.

Consideremos ahora la regla de eliminación condicional. Nada se desprende del\(M\) →\(N\) solo, pero si tenemos ambos\(M\) →\(N\) y\(M\), entonces podemos concluir\(N\). Esta regla, modus ponens, será la regla de eliminación condicional (→E).

Ahora que tenemos reglas para el condicional, consideremos este argumento:

Comenzamos la prueba escribiendo las dos premisas como suposiciones. Dado que el operador lógico principal en la conclusión es un condicional, podemos esperar usar la regla →I. Para ello, necesitamos una subprueba— así que escribimos en el antecedente del condicional como suposición de una subprueba:

Lo pusimos a\(P\) disposición asumiendo en una subprueba, lo que nos permite usar →E en la primera premisa. Esto nos da\(Q\), lo que nos permite usar →E en la segunda premisa. Habiendo derivado\(R\), cerramos la subprueba. Al asumir\(P\) que pudimos probar\(R\), entonces aplicamos la regla →I y finalizamos la prueba.

Bicondicional

Las reglas para lo bicondicional serán como versiones de doble barril de las reglas para el condicional.

Para derivar\(W\) ↔\(X\), por ejemplo, debes ser capaz de probar\(X\) asumiendo\(W\) y probar\(W\) asumiendo\(X\). La regla de introducción bicondicional (↔ I) requiere de dos subpruebas. Las subpruebas pueden venir en cualquier orden, y la segunda subprueba no necesita venir inmediatamente después de la primera, sino que esquemáticamente, la regla funciona así:

La regla de eliminación bicondicional (↔ E) te permite hacer un poco más que la regla condicional. Si tienes la suboración de la izquierda del bicondicional, puedes derivar la suboración de la derecha. Si tienes la suboración de la derecha, puedes derivar la suboración de la izquierda. Esta es la regla:

Negación

Aquí hay un simple argumento matemático en inglés:

Supongamos que hay algún mayor número natural. Llámalo\(A\).
Ese número más uno también es un número natural.
Obviamente,\(A\) + 1 >\(A\).
Por lo que hay un número natural mayor que\(A\).
Esto es imposible, ya que\(A\) se supone que es el mayor número natural.
.. No hay mayor número natural.

Esta forma de argumento se llama tradicionalmente reductio. Su nombre latino completo es reductio ad absurdum, que significa 'reducción al absurdo'. En una reductio, asumimos algo en aras de la argumentación —por ejemplo, que hay un mayor número natural. Entonces demostramos que la suposición lleva a dos frases contradictorias —por ejemplo, ese\(A\) es el mayor número natural y que no lo es. De esta manera, demostramos que la suposición original debió haber sido falsa.

Las reglas básicas para la negación permitirán argumentos como este. Si asumimos algo y demostramos que lleva a frases contradictorias, entonces hemos probado la negación del supuesto. Esta es la regla de introducción de negación (¬I):

Para que se aplique la regla, las dos últimas líneas del subprueba deben ser una contradicción explícita: alguna frase seguida en la siguiente línea por su negación. Escribimos 'para reductio' como una nota para nosotros mismos, un recordatorio de por qué iniciamos la subprueba. No forma parte formalmente de la prueba, y puedes dejarla fuera si la encuentras distrayendo.

Para ver cómo funciona la regla, supongamos que queremos probar la ley de la no contradicción: ¬ (\(G\)&¬\(G\)). Podemos probarlo sin premisas iniciando inmediatamente una subprueba. Queremos aplicar ¬I a la subprueba, por lo que asumimos (\(G\)&¬\(G\)). Entonces obtenemos una contradicción explícita por parte de &E. La prueba se ve así:

La regla ¬E funcionará de la misma manera. Si asumimos ¬\(\mathcal{A}\) y demostramos que conduce a una contradicción, lo hemos probado de manera efectiva\(\mathcal{A}\). Entonces la regla se ve así: