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LibreTexts Español

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Capítulo 1 Parte C

    1. consistente
    2. inconsistente
    3. consistente
    4. consistente

    Capítulo 1 Parte D 1, 2, 3, 6, 8 y 10 son posibles.

    Capítulo 2 Parte A

    1. ¬\(M\)
    2. \(M\)¬\(M\)
    3. \(G\)B.\(C\)
    4. ¬\(C\) &¬\(G\)
    5. \(C\)→ (¬\(G\) &¬\(M\))
    6. \(M\)\(C\)(\(G\))

    Capítulo 2 Parte C

    1. \(E\)1 y\(E\) 2
    2. \(F\)1 →\(S\) 1
    3. \(F\)1 ricardo\(E\) 1
    4. \(E\)2 &¬\(S\) 2
    5. ¬\(E\) 1 &¬\(E\) 2
    6. \(E\)1 &\(E\) 2 &¬ (\(S\)1 ricardo\(S\) 2)
    7. \(S\)2 →\(F\) 2
    8. (¬\(E\) 1 → ¬\(E\) 2) y (\(E\)1 →\(E\) 2)
    9. \(S\)1 ↔ ¬\(S\) 2
    10. (\(E\)2 y\(F\) 2) →\(S\) 2
    11. ¬ (\(E\)2 y\(F\) 2)
    12. (\(F\)1 y\(F\) 2) ↔ (¬\(E\) 1 &¬\(E\) 2)

    Capítulo 2 Parte D

    R: Alice es una espía.
    B: Bob es un espía.
    C: Se ha roto el código.
    G: La embajada alemana estará alborotada.

    1. \(A\)&\(B\)
    2. (\(A\)\(B\)) →\(C\)
    3. ¬ (\(A\)\(B\)) →¬\(C\)
    4. \(G\)\(C\)
    5. (\(C\)¬\(C\)) y\(G\)
    6. (\(A\)rido\(B\)) &¬ (\(A\)&\(B\))

    Capítulo 2 Parte G

    1. (a) no (b) no
    2. a) no b) sí
    3. a) sí b) sí
    4. (a) no (b) no
    5. a) sí b) sí
    6. (a) no (b) no
    7. a) no b) sí
    8. a) no b) sí
    9. (a) no (b) no

    Capítulo 3 Parte A

    1. tautología
    2. contradicción
    3. contingente
    4. tautología
    5. tautología
    6. contingente
    7. tautología
    8. contradicción
    9. tautología
    10. contradicción
    11. tautología
    12. contingente
    13. contradicción
    14. contingente
    15. tautología
    16. tautología
    17. contingente
    18. contingente

    Capítulo 3 Parte B 2, 3, 5, 6, 8 y 9 son lógicamente equivalentes.

    Capítulo 3 Parte C 1, 3, 6, 7 y 8 son consistentes.

    El Capítulo 3 Parte D 3, 5, 8 y 10 son válidos.

    Capítulo 3 Parte E

    1. \(\mathcal{A}\)y\(\mathcal{B}\) tienen el mismo valor de verdad en cada línea de una tabla de verdad completa, así que\(\mathcal{A}\) ↔\(\mathcal{B}\) es cierto en cada línea. Se trata de una tautología.
    2. La sentencia es falsa en alguna línea de una tabla de verdad completa. En esa línea,\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son verdaderas y\(\mathcal{C}\) son falsas. Entonces el argumento no es válido.
    3. Como no hay línea de una tabla de verdad completa en la que las tres oraciones sean verdaderas, la conjunción es falsa en cada línea. Entonces es una contradicción.
    4. Ya que\(\mathcal{A}\) es falso en cada línea de una tabla de verdad completa, no hay línea en la que\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son verdaderas y\(\mathcal{C}\) son falsas. Entonces el argumento es válido.
    5. Ya que\(\mathcal{C}\) es cierto en cada línea de una tabla de verdad completa, no hay línea en la que\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son verdaderas y\(\mathcal{C}\) son falsas. Entonces el argumento es válido.
    6. No mucho. (\(\mathcal{A}\)∅\(\mathcal{B}\)) es una tautología si\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) son tautologías; es una contradicción si son contradicciones; es contingente si son contingentes.
    7. \(\mathcal{A}\)y\(\mathcal{B}\) tener valores de verdad diferentes en al menos una línea de una tabla de verdad completa, y (\(\mathcal{A}\)**\(\mathcal{B}\)) será cierto en esa línea. En otras líneas, podría ser verdadero o falso. Entonces,\(\mathcal{A}\) (\(\mathcal{B}\)∅) es o una tautología o es contingente; no es una contradicción.

    Capítulo 3 Parte F

    1. ¬\(A\) →\(B\)
    2. ¬ (\(A\)→¬\(B\))
    3. ¬ [(\(A\)→\(B\)) →¬ (\(B\)→\(A\))]

    Capítulo 4 Parte A

    1. \(Za\)&\(Zb\) &\(Zc\)
    2. \(Rb\)&¬\(Ab\)
    3. \(Lcb\)→\(Mb\)
    4. (\(Ab\)&\(Ac\)) → (\(Lab\)&\(Lac\))
    5. \(x\)(\(Rx\)&\(Zx\))
    6. [\(Ax\)→\(x\)] (→\(Rx\))
    7. \(x\)[\(Zx\)→ (\(Mx\)∅\(Ax\))]
    8. \(x\)(\(Rx\)&¬\(Ax\))
    9. \(x\)(\(Rx\)&\(Lcx\))
    10. \(x\)[(\(Mx\)&\(Zx\)) →\(Lbx\)]
    11. \(x\)[(\(Mx\)&\(Lax\)) →\(Lxa\)]
    12. \(xRx\)→\(Ra\)
    13. [\(Ax\)→\(x\)] (→\(Rx\))
    14. \(x\)[(\(Mx\)&\(Lcx\)) →\(Lax\)]
    15. \(x\)(\(Mx\)&\(Lxb\) &¬\(Lbx\))

    Capítulo 4 Parte E

    1. \(xTx\)
    ¬2. [\(Mx\)→\(x\)] (→\(Sx\))
    3. \(x\)¬\(Sx\)
    4. \(x\)[\(Cx\)\(yByx\)&¬]
    5. \(xBxx\)
    ¬6. \(x\)¬(\(Cx\) &¬\(Sx\) &\(Tx\))
    7. \(x\)(\(Cx\)&\(Tx\))\(x\) &(\(Mx\) &\(Tx\))\(x\) &¬(\(Cx\) &\(Mx\) &\(Tx\))
    8. \(x\)[\(Cx\)→α\(y\) (¬\(Cy\) →\(Bxy\))]
    9. [\(x\)(\(Cx\)&\(Mx\)) →α\(y\) [(¬\(Cy\) &¬\(My\)) →\(Bxy\)])

    Capítulo 4 Parte G

    1. [\(Cxp\)→\(x\)] (→\(Dx\))
    2. \(Cjp\)&\(Fj\)
    3. \(x\)(\(Cxp\)&\(Fx\))
    4. \(xSxj\)
    ¬5. \(x\)[(\(Cxp\)&\(Fx\)) →\(Dx\)]
    6. \(x\)¬(\(Cxp\) &\(Mx\))
    7. \(x\)(\(Cjx\)&\(Sxe\) &\(Fj\))
    8. \(Spe\)Y\(Mp\)
    9. \(x\)[(\(Sxp\)&\(Mx\))\(yCyx\) →¬]
    10. \(x\)(\(Sxj\)\(yCyx\)&&\(Fj\))
    11. \(x\)[\(Dx\)\(y\)→(\(Sxy\) &\(Fy\) &\(Dy\))]
    12. \(x\)[(\(Mx\)&\(Dx\))\(y\) →(\(Cxy\) &\(Dy\))]

    Capítulo 4 Parte J

    1. [\(Cx\)→\(x\)] (→\(Bx\))
    2. \(xWx\)
    ¬3. \(y\)(\(x\)&\(Cx\)\(Cy\) &\(x\) ≠\(y\))
    4. \(y\)(\(x\)&\(Jx\) &\(Ox\) &\(Jy\)\(Oy\) &\(x\) ≠\(y\))
    5. \(z\)[(\(Jx\)& & & &\(Ox\) &\(Jy\) &\(Oy\)\(Jz\) &\(Oz\)) → (\(x\)=\(y\) 1925\(x\) =\(z∨\)\(y\) =\(z\))]
    6.\(x\)\(y\) \(yJx\)&\(x\) & &\(Bx\)\(Jy\)\(By\) &\(x\) ≠\(y\) &α\(z\) [(\(Jz\)&\(Bz\)) → (\(x\)= 1925\(z\)\(y\) =\(z\))])
    7. \(x\)1\(x\) 2\(x\) 3\(x\) 4 [\(Dx\)1 &\(Dx\) 2 &\(Dx\) 3 &\(Dx\) 4 &\(x\) 1 ≠\(x\) 2 & amp;\(x\) 1 ≠\(x\) 3 &\(x\) 1 ≠\(x\) 4 &\(x\) 2 ≠\(x\) 3 &\(x\) 2 ≠\(x\) 4 &\(x\) 3 ≠\(x\) 4\(y\) &¬(\(Dy\) &\(y\) ≠\(x\) 1 &\(y\) ≠\(x\) 2 &\(y\) ≠\(x\) 3 &\(y\) ≠\(x\) 4)]
    8. \(xDx\)&\(Cx\) &α\(y\) [(\(Dy\)&\(Cy\)) →\(x\) =\(y\)] &\(Bx\))
    9. \(x\)[(\(Ox\)&\(Jx\)) →\(vWx\)]\(x\) &[\(Mx\) &α\(y\) (\(My\)→\(x\) =\(y\)) &\(Wx\)]
    10. \(xDx\)&\(Cx\) &α\(y\) [(\(Dy\)&\(Cy\)) →\(x\) =\(y\)] &\(Wx\))\(x\) →α\(y\) (\(Wx\)↔\(x\) =\(y\))
    11. amplio alcance:\(x\) ¬[\(Mx\) &α\(y\) (\(My\)→ \(x\)=\(y\)) &\(Jx\)} alcance
    estrecho:\(x\) [\(Mx\)&α\(y\) (\(My\)→\(x\) =\(y\)) &¬\(Jx\)]
    12. alcance amplio:\(x\)\(zDx\) ¬&\(Cx\) &\(Mz\) &α\(y\) [(\(Dy\)&\(Cy\)) →\(x\) =\(y\)] &α\(y\) [(\(My\)→\(z\) =\(y\)) &\(x\) =\(z\)]) alcance
    estrecho:\(x\) &\(zDx\) &\(Cx\) &\(Mz\) &α\(y\) [(\(Dy\)& \(Cy\)) →\(x\) =\(y\)] &α\(y\) [(\(My\)→\(z\) =\(y\)) &\(x\) ≠\(z\)])

    Capítulo 5 Parte A 2, 3, 4, 6, 8 y 9 son ciertas en el modelo.

    Capítulo 5 Parte B 4, 5 y 7 son ciertas en el modelo.

    Capítulo 5 Parte D

    UD = {10,11,12,13}
    extensión (\(O\)) = {11,13}
    extensión (\(S\)) = ∅
    extensión (\(T\)) = {10,11,12,13}
    extensión (\(U\)) = {13}
    extensión (\(N\)) = {<11,10>, <12,11>, <13,12>}

    Capítulo 5 Parte E

    1. La frase es cierta en este modelo:

    UD = {Stan}
    extensión (\(D\)) = {Stan}
    referente (\(a\)) =
    Referente Stan (\(b\)) = Stan

    Y es falso en este modelo:

    UD = {Stan}
    extensión (\(D\)) = ∅
    referente (\(a\)) =
    Referente Stan (\(b\)) = Stan 2.

    La frase es cierta en este modelo:

    UD = {Stan}
    extensión (\(T\)) = {<Stan, Stan>}
    referente (\(h\)) = Stan

    Y es falso en este modelo:

    UD = {Stan}
    extensión (\(T\)) = ∅
    referente (\(h\)) = Stan

    3. La frase es cierta en este modelo:

    UD = {Stan, Ollie}
    extensión (\(P\)) = {Stan}
    referente (\(m\)) = Stan

    Y es falso en este modelo:

    UD = {Stan}
    extensión (\(P\)) = ∅
    referente (\(m\)) = Stan

    Capítulo 5 Parte F Hay muchas posibles respuestas correctas. Aquí hay algunos:

    1. Haciendo que la primera frase sea verdadera y la segunda falsa:

    UD = {alpha}
    extensión (\(J\)) = {alpha}
    extensión (\(K\)) = ∅
    referente (\(a\)) = alfa

    2. Haciendo que la primera frase sea verdadera y la segunda falsa:

    UD = {alfa, omega}
    extensión (\(J\)) = {alfa}
    referente (\(m\)) = omega

    3. Haciendo falsa la primera frase y la segunda verdadera:

    UD = {alfa, omega}
    extensión (\(R\)) = {<alpha, alpha>}

    4. Haciendo falsa la primera frase y la segunda verdadera:

    UD = {alfa, omega}
    extensión (\(P\)) = {alfa}
    extensión (\(Q\)) = ∅
    referente (\(c\)) = alfa

    5. Haciendo que la primera frase sea verdadera y la segunda falsa:

    UD = {iota}
    extensión (\(P\)) = ∅
    extensión (\(Q\)) = ∅

    6. Haciendo falsa la primera frase y la segunda verdadera:

    UD = {iota}
    extensión (\(P\)) = ∅
    extensión (\(Q\)) = {iota}

    7. Haciendo que la primera frase sea verdadera y la segunda falsa:

    UD = {iota}
    extensión (\(P\)) = ∅
    extensión (\(Q\)) = {iota}

    8. Haciendo que la primera frase sea verdadera y la segunda falsa:

    UD = {alfa, omega}
    extensión (\(R\)) = {<alpha, omega>, <omega, alpha>}

    9. Haciendo falsa la primera frase y la segunda verdadera:

    UD = {alfa, omega}
    extensión (\(R\)) = {<alpha, alpha>, <alpha, omega>}

    Capítulo 5 Parte I

    1. Hay muchas respuestas posibles. Aquí hay uno:
    UD = {Harry, Sally}
    extension (\(R\)) = {<Sally, Harry>}
    referente (\(a\)) = Harry

    2. No hay predicados ni constantes, así que solo necesitamos dar un UD. Cualquier UD con 2 miembros servirá.

    3. Tenemos que demostrar que es imposible construir un modelo en el que ambos sean ciertos. Supongamos\(x\)\(x\) ≠\(a\) es cierto en un modelo. Hay algo en el universo del discurso que no es el referente de\(a\). Entonces hay al menos dos cosas en el universo del discurso: referent (\(a\)) y esta otra cosa. Llama a esta otra cosa\(β\) — sabemos\(a\) ≠\(β\). Pero si\(a\) ≠\(β\), entonces [alpha]\(x\) [alpha]\(y\)\(x\) =\(y\) es falso. Entonces, la primera oración debe ser falsa si la segunda oración es verdadera. Como tal, no existe un modelo en el que ambos sean verdaderos. Por lo tanto, son inconsistentes.

    Capítulo 5 Parte J

    2. No, no haría ninguna diferencia. La satisfacción de una fórmula con una o más variables libres depende de lo que haga la asignación de variables para esas variables. Debido a que una oración no tiene variables libres, sin embargo, su satisfacción no depende de la asignación de variables. Entonces, una oración que se satisface con alguna asignación de variables también se satisface con todas las demás asignaciones de variables.

    Capítulo 6 Parte A

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