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1.3: Algunos conjuntos importantes

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxZach

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    En su mayoría trataremos con conjuntos cuyos elementos son objetos matemáticos. Cuatro de estos conjuntos son lo suficientemente importantes como para tener nombres específicos:

    \ [\ begin {reunió}
    \ begin {array} {lr}
    \ Nat =\ {0, 1, 2, 3,\ ldots\} &\\
    & {\ text {el conjunto de números naturales}}\\
    {\ Int =\ {\ ldots, -2, -1, 0, 1, 2,\ ldots\}}
    &\\\\ text {el conjunto de enteros}}\\\
    Rata =\ Setab {\ nicefrac {m} {n}} {m, n\ in\ Int\ text {y} n\ neq 0}} &\\
    & {\ text {el conjunto de racionales}}\\
    {\ Real = (-\ infty,\ infty)} &\\
    &\ text {el conjunto de números reales (el continuo)}
    \ end {array}
    \ end {reunidos}\]

    Todos estos son conjuntos infinitos, es decir, cada uno tiene infinitamente muchos elementos.

    A medida que avanzamos por estos conjuntos, estamos agregando más números a nuestras acciones. En efecto, debe quedar claro que\(\Nat \subseteq \Int \subseteq \Rat \subseteq \Real\): después de todo, cada número natural es un entero; cada entero es un racional; y cada racional es un real. Igualmente, debe quedar claro que\(\Nat \subsetneq \Int \subsetneq \Rat\), ya que\(-1\) es un número entero pero no un número natural, y\(\nicefrac{1}{2}\) es racional pero no entero. Es menos obvio que\(\Rat \subsetneq \Real\), es decir, que hay algunos números reales que no son racionales.

    A veces también usaremos el conjunto de enteros positivos\(\PosInt = \{1, 2, 3, \dots\}\) y el conjunto que contiene solo los dos primeros números naturales\(\Bin = \{0, 1\}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Strings

    Otro ejemplo interesante es el conjunto\(A^{*}\) de cadenas finitas sobre un alfabeto\(A\): cualquier secuencia finita de elementos de\(A\) es una cadena sobre\(A\). Incluimos la cadena vacía\(\Lambda\) entre las cadenas sobre\(A\), para cada alfabeto\(A\). Por ejemplo,

    \ [\ begin {reunió}
    \ begin {aligned}
    \ Bin^* =\ {\ lambda,0,1,00&,01,10,11,\\
    &000,001,010,011,100,101,110,111,0000,\ ldots\}.
    \ end {alineado}
    \ end {reunido}\]

    Si\(x=x_{1}\ldots x_{n}\in A^{*}\) es una cadena que consiste en\(n\) “letras” de\(A\), entonces decimos longitud de la cadena es\(n\) y escribir\(\len{x}=n\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Infinite sequences

    Para cualquier conjunto también\(A\) podemos considerar el conjunto\(A^\omega\) de secuencias infinitas de elementos de\(A\). Una secuencia infinita\(a_1a_2a_3a_4\dots\) consiste en una lista infinita unidireccional de objetos, cada uno de los cuales es un elemento de\(A\).


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