1.4: Uniones e Intersecciones

Template:MathJaxZach

En la sección 1.1, introdujimos definiciones de conjuntos por abstracción, es decir, definiciones de la forma\(\Setabs{x}{\phi(x)}\). Aquí, invocamos alguna propiedad\(\phi\), y esta propiedad puede mencionar conjuntos que ya hemos definido. Entonces, por ejemplo, si\(A\) y\(B\) son conjuntos, el conjunto\(\Setabs{x}{x \in A \lor x \in B}\) consiste en todos aquellos objetos que son elementos de cualquiera\(A\) o\(B\), es decir, es el conjunto el que combina los elementos de\(A\) y \(B\). Podemos visualizar esto como en Figura\(\PageIndex{1}\), donde el área resaltada indica los elementos de los dos conjuntos\(A\) y\(B\) juntos.

Figura\(\PageIndex{1}\): La unión\(A \cup B\) de dos conjuntos es conjunto de elementos de\(A\) junto con los de\(B\).

Esta operación sobre conjuntos —combinándolos— es muy útil y común, por lo que le damos un nombre formal y un símbolo.

Definición\(\PageIndex{1}\): Union

La unión de dos conjuntos\(A\) y\(B\), escrito\(A \cup B\), es el conjunto de todas las cosas que son elementos de\(A\)\(B\), o ambas.

\[A \cup B = \Setabs{x}{x \in A \lor x \in B}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dado que la multiplicidad de elementos no importa, la unión de dos conjuntos que tienen un elemento en común contiene ese elemento solo una vez, e.g\(\{ a, b, c\} \cup \{ a, 0, 1\} = \{a, b, c, 0, 1\}\).

La unión de un conjunto y uno de sus subconjuntos es solo el conjunto más grande:\(\{a, b, c \} \cup \{a \} = \{a, b, c\}\).

La unión de un conjunto con el conjunto vacío es idéntica al conjunto:\(\{a, b, c \} \cup \emptyset = \{a, b, c \}\).

Problema\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que si\(A \subseteq B\), entonces\(A \cup B = B\).

También podemos considerar una operación “dual” a la unión. Esta es la operación que forma el conjunto de todos los elementos que son elementos de\(A\) y también son elementos de\(B\). Esta operación se llama intersección, y se puede representar como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): La intersección\(A \cap B\) de dos conjuntos es el conjunto de elementos que tienen en común.

Definición\(\PageIndex{2}\): Intersection

La intersección de dos conjuntos\(A\) y\(B\), escrito\(A \cap B\), es el conjunto de todas las cosas que son elementos de ambos\(A\) y\(B\).

\[A \cap B = \Setabs{x}{x \in A \land x \in B}\nonumber\]

Dos conjuntos se llaman disjuntos si su intersección está vacía. Esto significa que no tienen elementos en común.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si dos conjuntos no tienen elementos en común, su intersección está vacía:\(\{ a, b, c\} \cap \{ 0, 1\} = \emptyset\).

Si dos conjuntos tienen elementos en común, su intersección es el conjunto de todos esos:\(\{a, b, c \} \cap \{a, b, d \} = \{a, b\}\).

La intersección de un conjunto con uno de sus subconjuntos es solo el conjunto más pequeño:\(\{a, b, c\} \cap \{a, b\} = \{a, b\}\).

La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío está vacía:\(\{a, b, c \} \cap \emptyset = \emptyset\).

Problema\(\PageIndex{2}\)

Demostrar rigurosamente que si\(A \subseteq B\), entonces\(A \cap B = A\).

También podemos formar la unión o intersección de más de dos conjuntos. Una manera elegante de lidiar con esto en general es la siguiente: supongamos que recolecta todos los conjuntos que desea formar la unión (o intersección) de en un solo conjunto. Entonces podemos definir la unión de todos nuestros conjuntos originales como el conjunto de todos los objetos que pertenecen a al menos un elemento del conjunto, y la intersección como el conjunto de todos los objetos que pertenecen a cada elemento del conjunto.

Definición\(\PageIndex{3}\)

Si\(A\) es un conjunto de conjuntos, entonces\(\bigcup A\) es el conjunto de elementos de elementos de\(A\):\[\begin{aligned} \bigcup A & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to an element of } A}, \text{ i.e.,}\\ & = \Setabs{x}{\text{there is a } B \in A \text{ so that } x \in B}\end{aligned}\]

Definición\(\PageIndex{4}\)

Si\(A\) es un conjunto de conjuntos, entonces\(\bigcap A\) es el conjunto de objetos que todos los elementos de\(A\) tienen en común:\[\begin{aligned} \bigcap A & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to every element of } A}, \text{ i.e.,}\\ & = \Setabs{x}{\text{for all } B \in A, x \in B}\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(A = \{ \{ a, b \}, \{ a, d, e \}, \{ a, d \} \}\). Entonces\(\bigcup A = \{ a, b, d, e \}\) y\(\bigcap A = \{ a \}\).

Problema\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que si\(A\) es un conjunto y\(A \in B\), entonces\(A \subseteq \bigcup B\).

También podríamos hacer lo mismo para una secuencia de conjuntos\(A_1\),\(A_2\),...\[\begin{aligned} \bigcup_i A_i & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to one of the } A_i}\\ \bigcap_i A_i & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to every } A_i}.\end{aligned}\]

Cuando tenemos un índice de conjuntos, es decir, algún conjunto\(I\) tal que estamos considerando\(A_i\) para cada uno\(i \in I\), también podemos usar estas abreviaturas:\[\begin{aligned} \bigcup_{i \in I} A_i & = \bigcup \Setabs{A_i }{i \in I}\\ \bigcap_{i \in I} A_i & = \bigcap\Setabs{A_i}{i \in I}\end{aligned}\]

Por último, tal vez queramos pensar en el conjunto de todos los elementos en los\(A\) que no se encuentran\(B\). Podemos representar esto como en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): La diferencia\(A \setminus B\) de dos conjuntos es el conjunto de aquellos elementos s de los\(A\) cuales no son también elementos de\(B\).

Definición\(\PageIndex{5}\): Difference

La diferencia de conjunto\(A \setminus B\) es el conjunto de todos los elementos de los\(A\) cuales no son también elementos de\(B\), es decir,

\[A\setminus B = \Setabs{x}{x\in A \text{ and } x \notin B}.\nonumber\]

Problema\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(A \subsetneq B\), entonces\(B \setminus A \neq \emptyset\).