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1.6: La paradoja de Russell

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    Extensionalidad licencia la notación\(\Setabs{x}{\phi(x)}\), para el conjunto de\(x\)'s tal que\(\phi(x)\). Sin embargo, toda esa extensionalidad realmente licencias es el siguiente pensamiento. Si hay un conjunto cuyos miembros son todos y sólo los\(\phi\)'s, entonces sólo hay uno de esos conjuntos. De lo contrario poner: habiendo arreglado algunos\(\phi\), el conjunto\(\Setabs{x}{\phi(x)}\) es único, si existe.

    ¡Pero este condicional es importante! Fundamentalmente, no toda propiedad se presta a la comprensión. Es decir, algunas propiedades no definen conjuntos. Si todos lo hicieran, entonces nos encontraríamos con contradicciones rotundas. El ejemplo más famoso de esto es la Paradoja de Russell.

    Los conjuntos pueden ser elementos de otros conjuntos, por ejemplo, el conjunto de potencia de un conjunto\(A\) se compone de conjuntos. Y así tiene sentido preguntar o investigar si un conjunto es un elemento de otro conjunto. ¿Puede un conjunto ser miembro de sí mismo? Nada sobre la idea de un conjunto parece descartar esto. Por ejemplo, si todos los conjuntos forman una colección de objetos, uno podría pensar que se pueden recopilar en un solo conjunto, el conjunto de todos los conjuntos. Y al ser un conjunto, sería un elemento del conjunto de todos los conjuntos.

    La paradoja de Russell surge cuando consideramos la propiedad de no tenerse a sí misma como elemento, de no ser automembrado. ¿Y si suponemos que hay un conjunto de todos los conjuntos que no se tienen a sí mismos como elemento? ¿\[R = \Setabs{x}{x \notin x}\nonumber\]Existe? Resulta que podemos probar que no lo hace.

    Teorema\(\PageIndex{1}\): Russell's Paradox

    No hay set\(R = \Setabs{x}{x \notin x}\).

    Prueba. Para reductio, supongamos que eso\(R = \Setabs{x}{x \notin x}\) existe. Entonces\(R \in R\) iff\(R \notin R\), ya que los conjuntos son extensionales. Pero esto es una contradicion. ◻

    Repasemos la prueba de que ningún conjunto\(R\) de conjuntos no automiembros puede existir más lentamente. Si\(R\) existe, tiene sentido preguntar si\(R \in R\) o no, debe ser cualquiera\(\in R\) o\(\notin R\). Supongamos que lo primero es cierto, es decir,\(R \in R\). \(R\)se definió como el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, y así si\(R \in R\), entonces\(R\) no tiene esta propiedad definitoria de\(R\). Pero solo los conjuntos que tienen esta propiedad están en\(R\), por lo tanto,\(R\) no pueden ser un elemento de\(R\), es decir,\(R \notin R\). Pero no\(R\) pueden ser ambos y no ser un elemento de\(R\), entonces tenemos una contradicción.

    Desde el supuesto que\(R \in R\) lleva a una contradicción, tenemos\(R \notin R\). ¡Pero esto también lleva a una contradicción! Porque si\(R \notin R\), tiene la propiedad definitoria de\(R\), y así sería un elemento de al\(R\) igual que todos los demás conjuntos no automiembros. Y nuevamente, no puede no ser ambos y ser un elemento de\(R\).

    ¿Cómo establecemos una teoría de conjuntos que evite caer en la Paradoja de Russell, es decir, que evite hacer la afirmación inconsistente que\(R = \Setabs{x}{x \notin x}\) existe? Bueno, necesitaríamos establecer axiomas que nos den condiciones muy precisas para afirmar cuándo existen conjuntos (y cuándo no).

    La teoría de conjuntos esbozada en este capítulo no hace esto. Es genuinamente ingenuo. Te dice sólo que los conjuntos obedecen a la extensibilidad y que, si tienes algunos conjuntos, puedes formar su unión, intersección, etc. Es posible desarrollar la teoría de conjuntos de manera más rigurosa que esta.


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