Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

2.1: Relaciones como conjuntos

  • Page ID
    103796
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxZach

    En la sección 1.3, mencionamos algunos conjuntos importantes:\(\Nat\),\(\Int\),\(\Rat\),\(\Real\). Sin duda recordarás algunas relaciones interesantes entre los elementos de algunos de estos conjuntos. Por ejemplo, cada uno de estos conjuntos tiene una relación de orden completamente estándar en él. También está la relación es idéntica con la que cada objeto lleva consigo mismo y a ninguna otra cosa. Hay muchas más relaciones interesantes que encontraremos, y aún más relaciones posibles. Antes de revisarlos, sin embargo, comenzaremos señalando que podemos ver las relaciones como una especie de conjunto especial.

    Para ello, recordemos dos cosas de la sección 1.5. Primero, recordemos la noción de un par ordenado: dado\(a\) y\(b\), podemos formar\(\tuple{a, b}\). Es importante destacar que el orden de los elementos importa aquí. Entonces si\(a \neq b\) entonces\(\tuple{a, b} \neq \tuple{b, a}\). (Contraste esto con pares desordenados, es decir,\(2\) -conjuntos de elementos, donde\(\{a, b\}=\{b, a\}\).) Segundo, recordar la noción de un producto cartesiano: si\(A\) y\(B\) son conjuntos, entonces podemos formar\(A \times B\), el conjunto de todos los pares\(\tuple{x, y}\) con\(x \in A\) y\(y \in B\). En particular,\(A^{2}= A \times A\) es el conjunto de todos los pares ordenados de\(A\).

    Ahora consideraremos una relación particular en un conjunto: la\(<\) -relación sobre el conjunto\(\Nat\) de números naturales. Considere el conjunto de todos los pares de números\(\tuple{n, m}\) donde\(n<m\), es decir,\[R=\Setabs{\tuple{n, m}}{n, m \in \Nat \text{ and } n<m}.\nonumber\] Hay una estrecha conexión entre\(n\) ser menor que\(m\), y el par\(\tuple{n, m}\) ser miembro de\(R\) , a saber:\[n<m\text{ iff }\tuple{n, m} \in R.\nonumber\] Efectivamente, sin ninguna pérdida de información, podemos considerar\(R\) que el conjunto es la\(<\) -relación sobre\(\Nat\).

    De la misma manera podemos construir un subconjunto de\(\Nat^{2}\) para cualquier relación entre números. Por el contrario, dado cualquier conjunto de pares de números\(S \subseteq \Nat^{2}\), existe una relación correspondiente entre los números, es decir, la relación\(n\) lleva a\(m\) si y sólo si\(\tuple{n, m} \in S\). Esto justifica la siguiente definición:

    Definición\(\PageIndex{1}\): Binary relation

    Una relación binaria en un conjunto\(A\) es un subconjunto de\(A^{2}\). Si\(R \subseteq A^{2}\) es una relación binaria en\(A\) y\(x, y \in A\), a veces escribimos\(Rxy\) (o\(xRy\)) para\(\tuple{x, y} \in R\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    El conjunto\(\Nat^{2}\) de pares de números naturales se puede enumerar en una matriz bidimensional como esta:\[\begin{array}{ccccc} \mathbf{\tuple{ 0,0 }} & \tuple{ 0,1 } & \tuple{ 0,2 } & \tuple{ 0,3 } & \ldots\\ \tuple{ 1,0 } & \mathbf{\tuple{ 1,1 }} & \tuple{ 1,2 } & \tuple{ 1,3 } & \ldots\\ \tuple{ 2,0 } & \tuple{ 2,1 } & \mathbf{\tuple{ 2,2 }} & \tuple{ 2,3 } & \ldots\\ \tuple{ 3,0 } & \tuple{ 3,1 } & \tuple{ 3,2 } & \mathbf{\tuple{ 3,3 }} & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \mathbf{\ddots} \end{array}\nonumber\] Hemos puesto la diagonal, aquí, en negrita, ya que el subconjunto de\(\Nat^2\) que consiste en los pares que se encuentran en la diagonal, es decir,\[\{\tuple{0,0 }, \tuple{ 1,1 }, \tuple{ 2,2 }, \dots\},\nonumber\] es el relación de identidad en\(\Nat\). (Dado que la relación de identidad es popular, definamos\(\Id{A}=\Setabs{\tuple{ x,x }}{x \in X}\) para cualquier conjunto)\(A\). El subconjunto de todos los pares que se encuentra por encima de la diagonal,\[L = \{\tuple{ 0,1 },\tuple{ 0,2 },\ldots,\tuple{ 1,2 }, \tuple{ 1,3 }, \dots, \tuple{ 2,3 }, \tuple{ 2,4 },\ldots\},\nonumber\] es decir, es la relación menor que, es decir,\(Lnm\) iff\(n<m\). El subconjunto de pares por debajo de la diagonal, es decir,\[G=\{ \tuple{ 1,0 },\tuple{ 2,0 },\tuple{ 2,1 }, \tuple{ 3,0 },\tuple{ 3,1 },\tuple{ 3,2 }, \dots\},\nonumber\] es la relación mayor que, es decir,\(Gnm\) iff\(n>m\). La unión de\(L\) con\(I\), que podríamos llamar\(K=L\cup I\), es la relación menor o igual a:\(Knm\) iff\(n \le m\). De igual manera,\(H=G \cup I\) es la relación mayor que o igual a. Estas relaciones\(L\),\(G\),\(K\), y\(H\) son clases especiales de relaciones llamadas órdenes. \(L\)y\(G\) tener la propiedad que ningún número lleva\(L\) o\(G\) a sí mismo (es decir, para todos\(n\),\(Lnn\) ni ni tampoco\(Gnn\)). Las relaciones con esta propiedad se llaman irreflexivas, y, si también resultan ser órdenes, se les llama órdenes estrictas.

    Si bien los órdenes y la identidad son relaciones importantes y naturales, cabe destacar que según nuestra definición cualquier subconjunto de\(A^{2}\) es una relación sobre\(A\), independientemente de lo antinatural o ideado que parezca. En particular,\(\emptyset\) es una relación sobre cualquier conjunto (la relación vacía, que ningún par de elementos lleva), y en\(A^{2}\)\(A\) sí misma es una relación también (una que cada par lleva), llamada la relación universal. Pero también algo así como\(E=\Setabs{\tuple{n, m}}{n>5 \text{ or } m \times n \ge 34}\) cuenta como una relación.

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Enumere los elementos de la relación\(\subseteq\) en el conjunto\(\Pow{\{a, b, c\}}\).


    This page titled 2.1: Relaciones como conjuntos is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .