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2.4: Relaciones de equivalencia

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    Template:MathJaxZach

    La relación de identidad en un conjunto es reflexiva, simétrica y transitiva. Las relaciones\(R\) que tienen las tres propiedades son muy comunes.

    Definición\(\PageIndex{1}\): Equivalence relation

    Una relación\(R \subseteq A^2\) reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. \(A\)Se dice que\(y\) los elementos\(x\) y de son\(R\) -equivalentes si\(Rxy\).

    Las relaciones de equivalencia dan lugar a la noción de una clase de equivalencia. Una relación de equivalencia “divide” el dominio en diferentes particiones. Dentro de cada partición, todos los objetos están relacionados entre sí; y ningún objeto de diferentes particiones se relaciona entre sí. A veces, es útil solo hablar de estas particiones directamente. Para ello, introducimos una definición:

    Definición\(\PageIndex{2}\)

    \(R \subseteq A^2\)Sea una relación de equivalencia. Para cada uno\(x \in A\), la clase de equivalencia de\(x\) in\(A\) es el conjunto\(\equivrep{x}{R} = \Setabs{y \in A}{Rxy}\). El cociente de\(A\) under\(R\) es\(\equivclass{A}{R} = \Setabs{\equivrep{x}{R}}{x \in A}\), es decir, el conjunto de estas clases de equivalencia.

    El siguiente resultado reivindica la definición de una clase de equivalencia, al demostrar que las clases de equivalencia son efectivamente las particiones de\(A\):

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Si\(R \subseteq A^2\) es una relación de equivalencia, entonces\(Rxy\) iff\(\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}\).

    Comprobante. Para la dirección de izquierda a derecha, supongamos\(Rxy\), y vamos\(z \in \equivrep{x}{R}\). Por definición, entonces,\(Rxz\). Dado que\(R\) es una relación de equivalencia,\(Ryz\). (Deletreando esto: como\(Rxy\) y\(R\) es simétrico tenemos\(Ryx\),\(Rxz\) y como y\(R\) es transitivo tenemos\(Ryz\).) Entonces\(z \in \equivrep{y}{R}\). Generalizando,\(\equivrep{x}{R} \subseteq \equivrep{y}{R}\). Pero exactamente de manera similar,\(\equivrep{y}{R} \subseteq \equivrep{x}{R}\). Entonces\(\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}\), por extensionalidad.

    Para la dirección de derecha a izquierda, supongamos\(\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}\). Ya que\(R\) es reflexivo,\(Ryy\), entonces\(y \in \equivrep{y}{R}\). Así también\(y \in \equivrep{x}{R}\) por el supuesto de que\(\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}\). Entonces\(Rxy\). ◻

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un buen ejemplo de relaciones de equivalencia proviene de la aritmética modular. Para cualquiera\(a\),\(b\), y\(n \in \Nat\), decir que\(a \equiv_n b\) iff dividiendo\(a\) por\(n\) da resto\(b\). (Algo más simbólicamente:\(a \equiv_n b\) iff\((\exists k \in \Nat)a - b = kn\).) Ahora,\(\equiv_n\) es una relación de equivalencia, para cualquiera\(n\). Y hay exactamente clases de equivalencia\(n\) distintas generadas por\(\equiv_n\); es decir,\(\equivclass{\Nat}{\equiv_n}\) tiene\(n\) elementos. Estos son: el conjunto de números divisibles por\(n\) sin resto, es decir,\(\equivrep{0}{\equiv_n}\); el conjunto de números divisibles por\(n\) con resto\(1\), es decir,\(\equivrep{1}{\equiv_n}\);...; y el conjunto de números divisibles por \(n\)con resto\(n-1\), es decir,\(\equivrep{n-1}{\equiv_n}\).

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que\(\equiv_n\) es una relación de equivalencia, para cualquiera\(n \in \Nat\), y que\(\equivclass{\Nat}{\equiv_n}\) tiene exactamente\(n\) miembros.


    This page titled 2.4: Relaciones de equivalencia is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .