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3.1: Conceptos básicos

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    Template:MathJaxZach

    Una función es un mapa que envía cada elemento de un conjunto dado a un elemento específico en algún (otro) conjunto dado. Por ejemplo, la operación de agregar\(1\) define una función: cada número\(n\) se asigna a un número único\(n+1\).

    De manera más general, las funciones pueden tomar pares, triples, etc., como entradas y devuelve algún tipo de salida. Muchas funciones nos son familiares desde la aritmética básica. Por ejemplo, la suma y la multiplicación son funciones. Toman en dos números y regresan un tercero.

    En este sentido matemático, abstracto, una función es una caja negra: lo que importa es solo qué salida se empareja con qué entrada, no el método para calcular la salida.

    Definición\(\PageIndex{1}\): Function

    Una función\(f \colon A \to B\) es un mapeo de cada elemento de\(A\) a un elemento de\(B\).

    Llamamos\(A\) al dominio de\(f\) y\(B\) al codominio de\(f\). Los elementos de\(A\) se llaman entradas o argumentos de\(f\), y el elemento de\(B\) que se empareja con un argumento\(x\) por\(f\) se llama el valor de\(f\) por argumento\(x\), escrito\(f(x)\).

    El rango\(\ran{f}\) de\(f\) es el subconjunto del codominio que consiste en los valores de\(f\) para algún argumento;\(\ran{f} = \Setabs{f(x)}{x \in A}\).

    El diagrama de la Figura\(\PageIndex{1}\) puede ayudar a pensar en las funciones. La elipse de la izquierda representa el dominio de la función; la elipse de la derecha representa el codominio de la función; y una flecha apunta desde un argumento en el dominio hasta el valor correspondiente en el codominio.

    function.png

    Figura\(\PageIndex{1}\): Una función es un mapeo de cada elemento de un conjunto a un elemento de otro. Una flecha apunta desde un argumento en el dominio hasta el valor correspondiente en el codominio.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    La multiplicación toma pares de números naturales como entradas y los mapea a números naturales como salidas, así va de\(\Nat \times \Nat\) (el dominio) a\(\Nat\) (el codominio). Como resulta, el rango también lo es\(\Nat\), ya que cada\(n \in \Nat\) es\(n \times 1\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    La multiplicación es una función porque empareja cada entrada, cada par de números naturales, con una sola salida:\(\times \colon \Nat^2 \to \Nat\). Por el contrario, la operación de raíz cuadrada aplicada al dominio no\(\Nat\) es funcional, ya que cada entero positivo\(n\) tiene dos raíces cuadradas:\(\sqrt{n}\) y\(-\sqrt{n}\). Podemos hacerlo funcional solo devolviendo la raíz cuadrada positiva:\(\sqrt{\phantom{X}} \colon \Nat \to \Real\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    La relación que empareja a cada alumno en una clase con su calificación final es una función: ningún estudiante puede obtener dos calificaciones finales diferentes en la misma clase. La relación que empareja a cada alumno de una clase con sus padres no es una función: los estudiantes pueden tener cero, o dos, o más padres.

    Podemos definir funciones especificando de alguna manera precisa cuál es el valor de la función para cada argment posible. Diferentes formas de hacer esto son dando una fórmula, describiendo un método para calcular el valor, o enumerando los valores para cada argumento. Sin embargo las funciones están definidas, debemos asegurarnos de que para cada argment especificamos uno, y solo uno, valor.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Que\(f \colon \Nat \to \Nat\) se definan de tal manera que\(f(x) = x+1\). Esta es una definición que especifica\(f\) como una función que toma números naturales y genera números naturales. Nos dice que, dado un número natural\(x\),\(f\) dará salida a su sucesor\(x+1\). En este caso, el codominio no\(\Nat\) es el rango de\(f\), ya que el número natural no\(0\) es el sucesor de ningún número natural. El rango de\(f\) es el conjunto de todos los enteros positivos,\(\Int^{+}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Que\(g \colon \Nat \to \Nat\) se definan de tal manera que\(g(x) = x+2-1\). Esto nos dice que\(g\) es una función que toma números naturales y da salida a números naturales. Dado un número natural\(n\),\(g\) dará salida al predecesor del sucesor del sucesor de\(x\), es decir,\(x+1\).

    Acabamos de considerar dos funciones,\(f\) y\(g\), con distintas definiciones. Sin embargo, estas son la misma función. Después de todo, para cualquier número natural\(n\), tenemos eso\(f(n) = n+1 = n+2-1 = g(n)\). De lo contrario poner: nuestras definiciones para\(f\) y\(g\) especifican el mismo mapeo por medio de diferentes ecuaciones. Implícitamente, entonces, estamos confiando en un principio de extensibilidad para las funciones,\[\text{if }\forall x\, f(x) = g(x)\text{, then }f = g\nonumber\] siempre que\(f\) y\(g\) compartan el mismo dominio y codominio.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    También podemos definir funciones por casos. Por ejemplo, podríamos definir\(h \colon \Nat \to \Nat\) por\[h(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & \text{if $x$ is even} \\ \frac{x+1}{2} & \text{if $x$ is odd.} \end{cases}\nonumber\] Dado que cada número natural es par o impar, la salida de esta función siempre será un número natural. Solo recuerde que si define una función por casos, cada entrada posible debe caer en exactamente un caso. En algunos casos, esto requerirá una prueba de que los casos son exhaustivos y exclusivos.


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