Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

3.2: Tipos de funciones

  • Page ID
    103733
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxZach

    Será útil introducir una especie de taxonomía para algunos de los tipos de funciones que encontramos con mayor frecuencia.

    Para comenzar, podríamos querer considerar funciones que tienen la propiedad de que cada miembro del codominio es un valor de la función. Tales funciones se llaman suryectivas, y pueden ser fotografiadas como en la Figura\(\PageIndex{1}\).

    surjective.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Una función suryectiva tiene como valor cada elemento del codominio.

    Definición\(\PageIndex{1}\): Surjective function

    Una función\(f \colon A \rightarrow B\) es suryectiva iff\(B\) es también el rango de\(f\), es decir, para cada\(y \in B\) hay al menos uno\(x \in A\) tal que\(f(x) = y\), o en símbolos:\[(\forall y \in B)(\exists x \in A)f(x) = y.\nonumber\] Llamamos tal función una sobrejección de\(A\) a\(B\).

    Si quieres mostrar que\(f\) es una sobrejección, entonces necesitas mostrar que cada objeto en\(f\) el codominio es el valor de\(f(x)\) para alguna entrada\(x\).

    Tenga en cuenta que cualquier función induce una sobreyección. Después de todo, dada una función\(f \colon A \to B\), dejar\(f' \colon A \to \ran{f}\) ser definido por\(f'(x) = f(x)\). Dado que\(\ran{f}\) se define como\(\Setabs{f(x) \in B}{x \in A}\), esta función\(f'\) está garantizada para ser una sobrejección

    Ahora, cualquier función asigna cada entrada posible a una salida única. Pero también hay funciones que nunca mapean diferentes entradas a las mismas salidas. Tales funciones se denominan inyectoras, y se pueden representar como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

    injective.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Una función de inyección nunca mapea dos argumentos diferentes al mismo valor.

    Definición\(\PageIndex{2}\): Injective function

    Una función\(f \colon A \rightarrow B\) es iff inyectable para cada uno\(y \in B\) hay a lo sumo una\(x \in A\) tal que\(f(x) = y\). Llamamos a tal función una inyección de\(A\) a\(B\).

    Si quieres mostrar que\(f\) es una inyección, necesitas mostrar eso para cualquier elemento\(x\) y\(y\) de\(f\)'s dominio, si\(f(x)=f(y)\), entonces\(x=y\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    La función constante\(f\colon \Nat \to \Nat\) que da no\(f(x) = 1\) es ni inyectiva, ni suryectiva.

    La función de identidad\(f\colon \Nat \to \Nat\) dada por\(f(x) = x\) es tanto inyectiva como suryectiva.

    La función sucesora\(f \colon \Nat \to \Nat\) dada por\(f(x) = x+1\) es inyectiva pero no suryectiva.

    La función\(f \colon \Nat \to \Nat\) definida por:\[f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & \text{if $x$ is even} \\ \frac{x+1}{2} & \text{if $x$ is odd.} \end{cases}\nonumber\] es suryectiva, pero no inyectable.

    Con bastante frecuencia, queremos considerar funciones que son a la vez inyectivas y suryectivas. Llamamos a tales funciones biyectivas. Parecen la función que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Las bijecciones también se denominan a veces correspondencias uno a uno, ya que emparejan de manera única elementos del codominio con elementos del dominio.

    bijective.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Una función biyectiva empareja de manera única los elementos del codominio con los del dominio.

    Definición\(\PageIndex{3}\): Bijection

    Una función\(f \colon A \to B\) es biyectiva si es tanto suryectiva como inyectable. Llamamos a tal función una bijección de\(A\) a\(B\) (o entre\(A\) y\(B\)).


    This page titled 3.2: Tipos de funciones is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .