3.6: Isomorfismo

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Un isomorfismo es una bijección que preserva la estructura de los conjuntos que relaciona, donde la estructura es una cuestión de las relaciones que obtienen entre los elementos s de los conjuntos. Considera los siguientes dos conjuntos\(X=\{1,2,3\}\) y\(Y=\{4,5,6\}\). Estos conjuntos están estructurados por el sucesor de relaciones, menor que, y mayor que. Un isomorfismo entre los dos conjuntos es una biyección que preserva esas estructuras. Entonces una función biyectiva\(f \colon X \to Y\) es un isomorfismo si,\(i<j\) iff\(f(i)<f(j)\),\(i>j\) iff\(f(i)>f(j)\), y\(j\) es el sucesor de\(i\) iff\(f(j)\) es el sucesor de\(f(i)\).

Definición\(\PageIndex{1}\): Isomorphism

Dejar\(U\) ser la pareja\(\langle X, R\rangle\) y\(V\) ser la pareja\(\langle Y, S\rangle\) tal que\(X\) y\(Y\) son conjuntos y\(R\) y\(S\) son relaciones en\(X\) y \(Y\)respectivamente. Una bijección\(f\) de\(X\) a\(Y\) es un isomorfismo de\(U\)\(V\) a si conserva la estructura relacional, es decir, para cualquier\(x_{1}\) y \(x_{2}\)in\(X\),\(\tuple{x_1,x_2} \in R\) iff\(\tuple{f(x_1),f(x_2)} \in S\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considere los siguientes dos conjuntos\(X=\{1,2,3\}\) y\(Y=\{4,5,6\}\), y las relaciones menores que y mayores que. La función\(f\colon X \to Y\) donde\(f(x) = 7-x\) es un isomorfismo entre\(\tuple{X,<}\) y\(\tuple{Y,>}\).