4.1: Introducción

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Cuando Georg Cantor desarrolló la teoría de conjuntos en la década de 1870, uno de sus objetivos era hacer palatable la idea de una colección infinita, un infinito real, como dirían los medievales. Una parte clave de esto fue su tratamiento del tamaño de diferentes conjuntos. Si\(a\),\(b\) y\(c\) son todos distintos, entonces el conjunto\(\{a, b, c\}\) es intuitivamente más grande que\(\{a, b\}\). Pero ¿qué pasa con los conjuntos infinitos? ¿Son todas tan grandes como las otras? Resulta que no lo son.

La primera idea importante aquí es la de una enumeración. Podemos enumerar cada conjunto finito enumerando todos sus elementos s. Para algunos conjuntos infinitos, también podemos enumerar todos sus elementos s si permitimos que la lista en sí sea infinita. Tales conjuntos se llaman contables. El sorprendente resultado de Cantor, que entenderemos completamente al final de este capítulo, fue que algunos conjuntos infinitos no son contables.