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4.8: Equinumerosidad

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    Template:MathJaxZach

    Tenemos una noción intuitiva de “tamaño” de conjuntos, que funciona bien para conjuntos finitos. Pero ¿qué pasa con los conjuntos infinitos? Si queremos llegar a una forma formal de comparar los tamaños de dos conjuntos de cualquier tamaño, es una buena idea comenzar por definir cuándo los conjuntos son del mismo tamaño. Aquí está Frege:

    Si un mesero quiere estar seguro de que ha puesto exactamente tantos cuchillos como platos sobre la mesa, no necesita contar ninguno de ellos, si simplemente pone un cuchillo a la derecha de cada plato, para que cada cuchillo de la mesa quede a la derecha de algún plato. Por lo tanto, las placas y cuchillos están correlacionados de manera única entre sí, y de hecho a través de esa misma relación espacial. (Frege, 1884, §70)

    La perspicacia de este pasaje se puede sacar a relucir a través de una definición formal:

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    \(A\)es equinumero con\(B\)\(\cardeq{A}{B}\), escrito, si hay una biyección\(f \colon A \to B\).

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    La equinumerosidad es una relación de equivalencia.

    Prueba. Debemos demostrar que la equinumerosidad es reflexiva, simétrica y transitiva. Dejar\(A, B\), y\(C\) ser conjuntos.

    Reflexividad. El mapa de identidad\(\Id{A} \colon A \to A\), donde\(\Id{A} (x) = x\) para todos\(x \in A\), es una biyección. Entonces\(\cardeq{A}{A}\).

    Simetría. Supongamos\(\cardeq{A}{B}\), es decir, hay una biyección\(f\colon A \to B\). Dado que\(f\) es biyectiva, su inversa\(f^{-1}\) existe y también es biyectiva. De ahí,\(f^{-1}\colon B \to A\) es una bijección, entonces\(\cardeq{B}{A}\).

    Transitividad. Supongamos que\(\cardeq{A}{B}\) y\(\cardeq{B}{C}\), es decir, hay bijecciones\(f\colon A \to B\) y\(g\colon B \to C\). Entonces la composición\(\comp{f}{g}\colon A \to C\) es biyectiva, así que eso\(\cardeq{A}{C}\). ◻

    Proposición\(\PageIndex{2}\)

    Si\(\cardeq{A}{B}\), entonces\(A\) es contable si y sólo si\(B\) es.

    Prueba. Supongamos\(\cardeq{A}{B}\), entonces hay alguna bijección\(f \colon A \to B\), y supongamos que eso\(A\) es contable. Entonces ya sea\(A = \emptyset\) or there is a surjective function \(g\colon \PosInt \to A\). If \(A = \emptyset\), then \(B = \emptyset\) also (otherwise there would be an element \(y \in B\) but no \(x \in A\) with \(g(x) = y\)). If, on the other hand, \(g\colon \PosInt \to A\) is surjective, then \(\comp{f}{g} \colon \PosInt \to B\) is surjective. To see this, let \(y \in B\). Since \(g\) is surjective, there is an \(x \in A\) such that \(g(x) = y\). Since \(f\) is surjective, there is an \(n \in \PosInt\) such that \(f(n) = x\). Hence, \[(\comp{f}{g})(n) = g(f(n)) = g(x) = y\nonumber\] and thus \(\comp{f}{g}\) is surjective. We have that \(\comp{f}{g}\) is an enumeration of \(B\), and so \(B\) is  contable.

    Si\(B\) es contable, obtenemos que\(A\) es contable repitiendo el argumento con la biyección\(f^{-1}\colon B \to A\) en lugar de\(f\). ◻

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    \(\cardeq{A}{C}\)Demuéstralo si y\(\cardeq{B}{D}\), y\(A \cap B = C \cap D = \emptyset\), entonces\(\cardeq{A \cup B}{C \cup D}\).

    Problema\(\PageIndex{2}\)

    Mostrar que si\(A\) es infinito y contable, entonces\(\cardeq{A}{\Nat}\).


    This page titled 4.8: Equinumerosidad is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .