4.10: La noción de tamaño, y Schröder-Bernstein

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 103743

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Template:MathJaxZach

Aquí hay un pensamiento intuitivo: si no\(A\) es más grande que\(B\) y no\(B\) es mayor que\(A\), entonces\(A\) y\(B\) son equinumeros. Para ser honestos, si este pensamiento estuviera equivocado, entonces apenas podríamos justificar el pensamiento de que nuestra noción definida de equinumerosidad tiene algo que ver con comparaciones de “tamaños” entre conjuntos! Afortunadamente, sin embargo, el pensamiento intuitivo es correcto. Esto se justifica por el Teorema de Schröder-Bernstein.

Teorema\(\PageIndex{1}\) (Schröder-Bernstein)

Si\(\cardle{A}{B}\) y\(\cardle{B}{A}\), entonces\(\cardeq{A}{B}\).

En otras palabras, si hay una inyección de\(A\) a\(B\), y una inyección de\(B\) a\(A\), entonces hay una biyección de\(A\) a\(B\).

Este resultado, sin embargo, es realmente bastante difícil de probar. En efecto, aunque Cantor declaró el resultado, otros lo demostraron. ¹ Por ahora, puedes (y debes) tomarlo en confianza.

Afortunadamente, Schröder-Bernstein tiene razón, y reivindica nuestro pensamiento de las relaciones que definimos, es decir,\(\cardeq{A}{B}\) y\(\cardle{A}{B}\), como que tienen algo que ver con el “tamaño”. Además, Schröder-Bernstein es muy útil. Puede ser difícil pensar en una bijección entre dos conjuntos equinúmeros. El Teorema de Schröder-Bernstein nos permite descomponer la comparación en casos por lo que sólo tenemos que pensar en una inyección de la primera a la segunda, y viceversa.

Para más información sobre la historia, véase por ejemplo, Potter (2004, pp. 165—6). ↩ ︎