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4.11: Resumen

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    El tamaño de un conjunto se\(A\) puede medir por un número natural si el conjunto es finito, y los tamaños se pueden comparar comparando estos números. Si los sets son infinitos, las cosas son más complicadas. El primer nivel del infinito es el de conjuntos contabilizadamente infinitos. Un conjunto\(A\) es contable si sus elementos se pueden organizar en una enumeración, una lista infinita unidireccional, es decir, cuando hay una función suryectiva\(f\colon \PosInt \to A\). Es contablemente infinito si es contable pero no finito. El método zig-zag de Cantor muestra que los conjuntos de pares de elementos de conjuntos contablemente infinitos también son contables; y esto puede usarse para mostrar que incluso el conjunto de números racionales\(\Rat\) es contable.

    Hay, sin embargo, conjuntos infinitos que no son contables: estos conjuntos se llaman incontables. Hay dos formas de mostrar que un conjunto es incontable: directamente, usando un argumento diagonal, o por reducción. Para dar un argumento diagonal, asumimos que el conjunto\(A\) en cuestión es contable, y utilizamos una enumeración hipotética para definir un elemento del\(A\) cual, por la misma manera que lo definimos, se garantiza que sea diferente de cada elemento de la enumeración. Entonces la enumeración no puede ser una enumeración de todos\(A\) después de todo, y hemos demostrado que ninguna enumeración de\(A\) puede existir. Una reducción muestra que\(A\) es incontable al asociar cada elemento de\(A\) con un elemento de algún conjunto incontable conocido de\(B\) manera surjectiva. Si esto es posible, entonces una enumeración hipotética de\(A\) produciría una enumeración de\(B\). Dado que\(B\) es incontable, no\(A\) puede existir ninguna enumeración de.

    En general, los conjuntos infinitos se pueden comparar dimensionalmente:\(A\) y\(B\) son del mismo tamaño, o equinúmeros, si hay una biyección entre ellos. También podemos definir que no\(A\) es mayor que\(B\) (\(\cardle{A}{B}\)) si existe una función de inyección de\(A\) a\(B\). Según el Teorema de Schröder-Bernstein, esto de hecho proporciona un orden considerable de conjuntos infinitos. Por último, el teorema de Cantor dice que para cualquier\(A\),\(\cardless{A}{\Pow{A}}\). Esta es una generalización de nuestro resultado que\(\Pow{\PosInt}\) es incontable, y muestra que no solo hay dos, sino infinitamente muchos niveles de infinito.


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